(1 條消息)怎麼畫六方晶胞的第一布里淵區？

02-20

多謝多謝。

蛤蛤,這個問題其實書上都有嘛,要是第二布里淵區還真挺麻煩的,第一布里淵區那就簡單啦. 不過我還從來沒有自己畫過呢,這次就試試吧.

步驟倒是很簡單,不過似乎不大容易想像,我還是畫出來吧.

三步走: 先算倒格矢, 然後畫倒格子, 最後在倒易空間畫垂直平分面得到布里淵區.

1. 計算倒格矢

先看晶體點陣的基矢（假設 $|vec a_1| = |vec a_2| = 1,|vec a_3| = 3$ ）：

$vec a_1=(frac{sqrt3}{2},-frac{1}{2},0),vec a_2=(0,1,0),vec a_3=(0,0,3)$

畫出來是這個樣子：

然後算倒格矢：

$vec b_1 = 2pifrac{vec a_2 imes vec a_3}{vec a_1 cdot (vec a_2 imes vec a_3)}=frac{4pi}{sqrt3}(1,0,0)$

$vec b_2 = 2pifrac{vec a_3 imes vec a_1}{vec a_2 cdot (vec a_3 imes vec a_1)}=frac{4pi}{sqrt3}(-frac{1}{2},frac{sqrt3}{2},0)$

$vec b_3 = 2pifrac{vec a_1 imes vec a_2}{vec a_3 cdot (vec a_1 imes vec a_2)}=frac{4pi}{sqrt3}(0,0,frac{1}{2sqrt{3}})$

可以看出倒格子仍然是一個六方晶系的結構，只不過基矢長度和方向有所不同。

為了方便和偷懶，倒格子我就不畫了，下面畫布里淵區時仍用上面正格子中所用的基矢來畫。

2. 畫倒格子

略

3. 畫布里淵區

定義：布里淵區就是在倒易點陣中隨便選取一點O，作這一點與其他倒易點陣連線（倒格矢）的垂直平分面，這些垂直平分面將倒易空間分成很多份，其中最靠近O點的面圍成的區域就叫第一布里淵區，第一布里淵區邊界與次遠垂直平分面圍成的區域叫做第二布里淵區，依次類推。

下圖是二維布里淵區的一個例子，圖中的數字代表布里淵區的編號：

知道定義就好辦啦，只要做出倒格矢的垂直平分面就好了。考慮到只要畫第一布里淵區，那就只需要用到兩個慣用晶胞，正如上圖所示。取上圖中心點(0,0,1.5)為O點，畫出所有垂直平分面的效果圖為：

哈哈，啥也看不清。不用著急，先看看二維的，只考慮平行於xy面的倒格矢：

可以看到，這幾個垂直平分面圍成了一個六稜柱。

容易發現，如果再考慮進兩個平行於z軸的倒格矢的垂直平分面，那這總共八個面就構成了一個封閉的六稜柱。

那頂層和底部的其他點代表的倒格矢的垂直平分面會不會切割掉這個六稜柱呢？其實自己算一算就會發現——永遠不會！（計算過程略:p）。所以第一布里淵區只需要考慮八個面就能作出來啦。

也可以換一種方法畫，直接在空間里撒點，然後計算點到O點的向量在每個垂直平分面法向量上的投影，如果該投影小於O點到所有面的距離，那這個點就在第一布里淵區內部，撒點得到結果如下圖：

你看，是個六稜柱吧！

最後，如果你非要看正常畫出來的第一布里淵區是個什麼樣子，那看下面的圖吧～

圖中黑色球和線是正格子，g1, g2, g3是倒易空間基矢，G, A, H, K,M, L是第一布里淵區的高對稱點，紅線為沿高對稱點的路徑，藍色的面就是第一布里淵區邊界。你看，第一布里淵區還是個六方的形狀嘛！

BTW. 上文的圖大部分是用 matplotlib 畫出來的，你可以在這裡看到詳細代碼。

哈哈，作業剛剛有類似的題目。

其實高票答案已經寫得很好了，這裡提供另外一個思路吧。（手機打字不方便，直接貼一下寫的作業答案吧～）

根據計算髮現，不考慮2pi和長度量綱的話，倒格子b1，b2形成的二維格子是與原胞形狀一樣的，只是轉了30度，而b3和a3是重合的。那麼，畫第一布里淵區只需要畫倒格子的WS原胞就好了。（這裡順帶畫了二維的第二第三布里淵區）

至於三維，因為b3還是豎直的，那麼僅僅就是二維的縱向拉長咯～

其實有一個顯然的最初猜測。因為倒易空間不能改變對稱性，所以猜也得猜六稜柱，何況第一布里淵區還要密鋪倒易空間，六稜柱顯然是可以密鋪的。再稍微檢驗一下定義，發現沒問題。最後根據定義確認一下六稜柱取向和大小就好了。