隨筆一則

min max 和 max min 到底誰大？

想了想，max x (min y (f x y)) <= min y (max x (f x y))

if：

forall x, min y (f x y) <= min y (max x (f x y)) （forall x, min y (f x y) <= max x (min y (f x y))）

if：

forall x y, min y (f x y) <= max x (f x y) （後續省去forall）

if：

f x y <= max x (f x y) （forall y, min y (f x y) <= f x y，並選y = y）

if：

f x y <= f x y

要倒推出大小關係的話，

min y (max x (f x y))可得

forall x, min y (f x y) <= min y (max x (f x y))，由於forall x y, f x y <= max x (f x y)，並且min單調遞增。

max x (min y (f x y))可得

exists x, max x (min y (f x y)) = min y (f x y)

x unify兩邊，就得出

exists x, max x (min y (f x y)) = min y (f x y) <= min y (max x (f x y))

用自然語言來講，就是（這是max min開始推的），max x min y f小於等於（y任意）max x f，而最小化這任意的y的時候max x f就是min y max f