單向，雙向和零貿易

02-20

在international trade領域一個重要的問題是單向貿易：i國向j國有出口但是i國對j國的進口為0；還有就是零貿易，它的存在會導致對gravity equation的估計產生bias （相關文獻：Silva and Tenreyro (2006) ，among others）。

儘管如此，之前很少能夠把這3種貿易模式（trade regime）納入到一個理論框架裡面。Okubo, Picard and Thisse (2011)的discussion paper很好的討論了這3種模式並且討論了資本流向問題。這個paper都是theory。結論：當貿易成本（trade cost)足夠小時，兩國的貿易會是雙向的；當貿易成本增大，貿易就是從大國到小國的單向進行；當它足夠大，兩國沒有trade。當資本能夠自由流動時，資本就從小國流向大國，並且過度集中於大國（capital ratio between large and small countries are larger then the social optimum）。

模型的基本：兩個國家,home country (H) and foreign country (F),人口大小分別為 $heta_{H}$ 和 $heta_{F}$ ,兩者之和等於1。global的總資本等於1。工資等於1，等於numeraire 的價格。如果一個公司需要固定成本（資本） $f$ ,那麼globally，公司總數等於 $M=1/f$

representative consumer最大化效用：

約束條件

其中z是numéraire，r是資本率，p是價格，q是消費數量。

由此可以推出linear demand function

這樣能求出邊際variety （q=0）

需求函數：

indirect welfare

以上是模型的基本setup，與Melitz and Ottavino (2008)類似。不同的是，這裡的firm沒有marginal cost

短期的均衡： $p_{ii}( u)$ 是variety $u$ produced in i 且sold in i 的價格； $p_{ji}( u)$ 是produced in j 而sold in i 的價格；假設trade cost 對稱。國內的利潤： $pi_{ii}( u)= heta_{i}q_{ii}( u)p_{ii}( u)$ 利潤最大化可得：

for a firm in j exporting to i, the profit is $pi_{ji}= heta_{i}(p_{ji}( u)-t)q_{ji}( u)$ ,可得：

且

由此可得，若一個j的variety要出口到i，trade cost 必須滿足條件

設 $lambda_{i}$ 為i國的資本量（一個firm只produce一件variety）， $mu_{j}in[0,lambda_{j}]$ 為j出口到i 的variety比例。那麼country i 總共有的variety： $N_{i}=(lambda_{i}+mu_{j})M$ .i國的價格指數為

均衡的optimal price 為

將 $mu_{j}=0$ , $mu_{j}=lambda_{j}$ 帶入trade cost 滿足條件，得到臨界值 $ar{t}(lambda_{i})=frac{2}{2+gammalambda_{i}M}$ ; t大於它，j對i沒有出口；t小於它，所有j的firm都對i 出口；t等於它，一些會出口到i。

長期資本分配：雙邊貿易滿足條件

$lambda_{H}$ （home country的capital ratio）均衡值滿足 $pi_{HH}+pi_{HF}=pi_{FF}+pi_{FH}$ 。所以

同樣的，當零貿易時，均衡滿足

one way trade：在這個情況下，only large country (home country) export to smaller country。利潤差變成 $Delta pi _{H}=pi_{HH}+pi_{HF}-pi_{FF}$ ,且 $mu_{j}=0$ $mu_{i}=lambda_{i}$ , $N_{j}=M$ , $N_{i}=lambda_{i}M$ (i=H,j=F)，所以

對 $lambda_{H}$ 單調減，所以＝0有惟一解。after some algebra， $lambda_{H}>1/2$

Efficient Allocation: Social planner maximises global welfare

$W= heta_{H}S_{H}+ heta_{F}S_{F}+rf$

under two-way trade

under no trade

under one way trade

因為 $lambda(n)$ 對n 單調減，所以

結論

當trade cost 足夠小或足夠大，兩國進行雙向或零貿易
當trade cost 處於中間值，兩國之間進行單向貿易，並且只有大國向小國出口一種可能
資本向大國流動，並且過度集中於大國
It creates a unified framework on firm level and aggregate level trade regimes
some further extension: trade cost is not symmetric between two countries but has some correlations; non-nomothetic preferences

Reference:

Okubo, Toshihiro & Picard, Pierre M & Thisse, Jacques-Fran?ois, 2010."No trade, one-way or two-way trade?,"CEPR Discussion Papers 8161, C.E.P.R. Discussion Papers.