Matrix and Transform Conversion 1/3

最近折騰很久關於坐標系轉換的一些問題，零零碎碎記了不少筆記，趁著放假整理個脈絡出來，一者方便自己以後翻閱，二者把一些經驗分享給大家。

註：個別辭彙不好用中文描述，故直接用英文

矩陣的兩種語義

引擎中矩陣無外乎表示旋轉、平移以及縮放，基礎的東西就不說了，該部分主要討論矩陣的兩種描述形式。

舉個例子，假若有一矩陣：

熟悉公式的應該很快就能看出來，該矩陣幾何意義是繞x軸旋轉+90度（準確來說是在右手坐標系下從x軸正方向看逆時針旋轉90度，後文具體說明）。

換種方式看矩陣，該矩陣可以理解為一組基坐標。以行矩陣為例，第一行{1, 0, 0}為x軸，第二行{0, 0, -1}為y軸，第三行{0, 1, 0}為z軸。該矩陣的幾何意義為子空間在父空間中的表達。

再舉一例：

如上圖所示，從數值上看，x和y都是相對於父坐標系，橙色坐標系可以表示為矩陣：

以上，可以看出。矩陣既可以理解為過程量（具體解釋為旋轉x度，縮放x倍等），也可以理解為狀態量（具體解釋為空間b在空間a的表達），兩者從數值上來說是完全等價的，但從語義上來說天差地別，最好在一開始就嚴格區分兩種語義，不然可能會造成理解上的歧義。

綜上，結論如下：

• 當矩陣被描述旋轉、平移等操作時，被理解為過程量
• 當矩陣被描述Transform等坐標系時，被理解為狀態量

左右手系和旋轉

也是一個比較細節的問題，在使用歐拉角之前，需要確定歐拉角的正方向。一般來說射線逆時針旋轉的角為正角，反之為負角。這是二維空間中的定義，但在三維空間中，對於正角的定義往往會更分的更細，主要原因在於左右手坐標系。

其實區分起來也很簡單，對於右手坐標系，正角的定義滿足右手定則，以x軸為例，正角的定義為：從x軸正方向看，逆時針（y到z）旋轉的角為正角，反之為負角，具體見上圖右；對於左手坐標系，正角滿足左手定則，以x軸為例，正角的定義為：從x軸正方向看，順時針（y到z）旋轉的角為正角，反之為負角。

再來看一下矩陣，由於左手坐標系對應行矩陣，而右手坐標系對應列矩陣，所以兩者互為轉置（也可說互為逆）。

1. 右手坐標系下，繞x軸旋轉+90度：
2. 右手坐標系下，繞x軸旋轉-90度：
3. 左手坐標系下，繞x軸旋轉+90度：
4. 左手坐標系下，繞x軸旋轉-90度：

可以看出，2和3數值上是一樣的，1和4數值上也是一樣的。這和上文中的矩陣含義有著異曲同工之妙，雖然數值相同，但在語義上具有天差地別的不同，主要原因在於三維空間中，左右手系會導致觀察旋轉的方向產生差異。例如上圖右，x軸正方向其實是從右邊看yoz平面，而上圖左，x軸正方向其實是從左邊看yoz平面。

綜上，結論如下：

• 旋轉的定義需註明手系，並默認從旋轉軸正方向來定義正角與負角

Transform和旋轉

Transform一般定義為4*4的矩陣，形式如下（以行矩陣為例）：

一般習慣性理解為子空間在父空間的表達（狀態量），常用於骨骼動畫，具體如下圖所示：

下面分別對Child空間和Parent空間進行旋轉，研究一下其間的差異。

左乘一旋轉矩陣R：

可見，左乘矩陣對於Translation分量並無影響，一般稱該旋轉為Child空間（或者Local空間）的旋轉，具體結果如下圖：

對照前文的公式，可以看出Transform的Rotation分量發生了改變，即繞Child空間（左手系）的x軸旋轉-90度。

右乘一旋轉矩陣R：

可見，右乘矩陣對於Translation分量產生了影響，一般稱該旋轉為Parent空間的旋轉，具體結果如下圖：

對照前文的公式，可以看出Transform的Rotation分量和Translation分量都發生了改變，即繞Parent空間（左手系）的x軸旋轉-90度。

綜上，結論如下：

• 對於行矩陣，左乘矩陣等效於對Child空間進行線性變換
• 對於行矩陣，右乘矩陣等效於對Parent空間進行線性變換

旋轉的兩種語義

優先假設某一坐標系下有一頂點，如下圖：

對頂點繞x軸順時針旋轉90度，可以理解下面兩個操作：

• 對頂點直接旋轉（坐標系固定不動）：

• 對頂點所處的Local坐標系進行旋轉（頂點固定不動）：

由圖可知，兩者從數值上來說都是從{0, 1, 0}轉換成了{0, 0, 1}，但從語義上兩者一個是針對物體，一個是針對坐標系。下面結合Transform，具體說說兩種語義在具體問題中的應用。

Transform本身即狀態量，表示Child空間的坐標系在Parent空間中的表達，其中包含Rotation分量和Translation分量,所以Transform可以看作是Parent空間中的物體。

本文上一節分別對Transform左乘和右乘同一個旋轉矩陣（繞x軸旋轉-90度）。

左乘的結果：Child空間的坐標系量系繞Child空間（左手系）的x軸旋轉-90度。

右乘的結果：Transform整體繞Parent空間（左手系）的x軸旋轉-90度，換種角度思考，其實可以認為是Parent空間的坐標系繞Parent空間（左手系）的x軸旋轉+90度，具體如下圖：

綜上，結論如下：

• 對於矩陣M，左乘矩陣等效於對Child空間的坐標系進行變換（M）
• 對於矩陣M，右乘矩陣等效於對Parent空間的坐標系進行逆變換（Inverse M）

先寫到這，後文預告：

1. 坐標系變換
2. 鏡像變換

推薦閱讀：