為什麼P=UI

02-19

某一天一個可愛的小同學邀請我回答一個問題，為什麼P=UI？

我們還是用Maxwell方程組來證一證

眾所周知，能流密度坡印廷矢量 $[vec S =vec E imes vec H]$ ，所以給定曲面內消耗電功率為 $P=-iint vec S cdot dvec s$

將積分區域分為如下三部分：

$S_1$ 和 $S_2$ 為電流流入和流出的導線截面，且面積很小，近似為等勢面， $S_3$ 為將所考慮的系統完全包裹的曲面，且其上電流密度為 $0$ .

將以上公式變形：

$egin{align} P&=-iint -varepsilon_{ikl}H_lpartial_k Uds_i\ &=iint varepsilon_{ikl}[partial_k {(UH_l)}-Upartial_kH_l]ds_i\ &=-iint U quad abla imes H quad vec {ds}\ &=-iint U quad vec j cdot vec {ds} end{align}$

解釋一下第二行第一項。由於 $UH_l$ 可看作一個矢量，而一個封閉曲面上矢量的旋度的積分為 $0$ (不發散，且其旋度，散度也不發散的矢量肯定如此)，所以此項為 $0$

又由於 $S_3$ 上電流密度為 $0$ ，所以最後的積分只可能在 $S_1$ 、 $S_2$ 上有貢獻。因為其面積很小， $U$ 在其上為定值 $U_1$ 、 $U_2$ ，得 $egin{align} P&=I(U_1-U_2)\ &=UI\ end{align}$

q.e.d