Pell方程

02-18

費馬在他的筆記中提到了這樣一件事：

命題：設N為非平方自然數, 那麼方程 $x^2-Ny^2=1$ 有無窮自然數解.

例如,方程 $x^2-2y^2=1$ 有

$3^2-2 imes2^2=1,17^2-2 imes12^2=1,99^2-2 imes70^2=1$

等無窮個類似的自然數解.形如 $x^2-Ny^2=1$ 的方程就是Pell方程, 這裡的 $N$ 顯然只能是非平方數, 否則沒有自然數解.

事實上英國數學家John Pell和這個Pell方程沒有多大關係, 因為該問題的提出是費馬, 問題的解決是拉格朗日, 命名的錯誤是歐拉, 我們對於歐拉的錯誤只能將錯就錯了. 其實這個方程本身的解決是簡單的, 網上有很多且都比較初等, 讀者不用擔心解法的深奧, 本文更想去討論它與其它東西的某種聯繫, 這比證明和計算有趣多了.

我們將Pell方程改寫一下:

$(x+ysqrt{N})(x-ysqrt{N})=1$

從現代代數學的角度來看, Pell方程和環 $mathbb{Z}[sqrt{N}]={a+bsqrt{N}}$ 緊密聯繫:尋求方程的解其實就是尋求環 $mathbb{Z}[sqrt{N}]$ 的非平凡單位. 比如 $N=2$ 時, 我們知道 $mathbb{Z}[sqrt{2}]$ 的可逆元全體, 而 $mathbb{Z}[sqrt{2}]$ 的可逆元全體為無限集 ${ pm (1+sqrt{2})^n |nin mathbb{N}}$ , 這也說明 $x^2-2y^2=1$ 有無窮多自然數解; 反過來當 $N=-1$ 時, $x^2+y^2=1$ 的解只有4個, 實際上背後在說明 $mathbb{Z}[sqrt{-1}]$ 的可逆元個數是有限的. 事實上我們可以把Pell方程的可解性問題看作是Dirichlet單位定理的特例.這也是數論問題與代數學發展之間的聯繫, 事實上現在正有一個數學分支就是"代數數論".

下面我們來看一個例子，考慮 $N=14$ ,我們有

$sqrt{14}=3+cfrac{1}{1+ cfrac{1}{2+ cfrac{1}{1+ cfrac{1}{cfrac{1}{3+sqrt{14}}}}}}$

可以看到 $sqrt{14}$ 的連分數是有周期的, 周期為4.如果我們只取第一個周期的分數:

$3+cfrac{1}{1+ cfrac{1}{2+ cfrac{1}{frac{1}{1}}}}=frac{15}{4}$

恰有 $15^2-14 imes4^2 =1$ ,且(15, 4)是 $x^2-14y^2=1$ 的最小自然數解.

難道這是一種巧合嗎？其實這又是一種聯繫.

在連分數理論中有一個結論是: 一個非完全平方數的平方根的連分數是有周期的，反過來也成立.所以當我們確定Pell方程的係數N時, 方程的解實際上就是給出了 $sqrt{N}$ 的近似解,反過來我們也可以通過 $sqrt{N}$ 的分數近似尋求對應方程的解.

早在公元前400年,印度和希臘就有人開始研究簡單的Pell方程的解, 到18世紀Pell方程理論得到了完美解決. 我們並不知道兩千多年前的人們為什麼會去思考Pell方程的解, 但神奇的是後來的人們依然對其產生無窮的興趣，而且得到了一些令人驚嘆的成果. 也許, 數學在人類社會開始去思考它的時候，它的發展軌跡就被勾勒出來了.