實際工業相機有多層鏡片，那麼光心、焦距該如何定義？

02-18

多層鏡片的相機使用小孔成像模型嗎？

謝題主邀請。

雖然我很想先寫一個簡單的總結在前面，然而水平有限，不得不從頭說起。還望題主多多包涵。

我們通常說的針孔模型是一個極度簡化的模型，其簡化的對象是「單一的薄透鏡作為鏡頭的相機」，其含義是：在適當程度近似後，一個單一的薄透鏡作為鏡頭的相機，其光學行為一定程度上近似於一個針孔相機。

首先看看薄透鏡成像，這個在中學裡都學過，大致可以用下圖說明（http://siddhantahuja.wordpress.com/2009/06/02/proof-of-thin-lens-law/）：

對於一個薄透鏡而言，其光學行為完全由四個因素決定：光軸，光心，前焦點（物方焦點），後焦點（像方焦點）。在上圖中，光軸就是圖中水平的虛線，光心是 O 點，前焦點是 G 點，後焦點是 C 點。至於為什麼需要區別對待兩個焦點，是因為需要考慮到透鏡兩側介質不同——雖然通常情況下透鏡兩側都是空氣罷了。只要確定了這四個要素，那麼這個薄透鏡的光學行為也完全確定了，對於空間中任何一個點（當然由於空間的對稱性，我們不妨假定光線是從左至右傳播的，這個意義下空間中任何一個點，作為「源」的角度來看都是唯一確定的），我們都可以找出在「透鏡成像」這個變換之後對應的像。

從這四個要素出發，我們可以定義三條特殊的光線：1. 經過物點，平行於光軸的光線，它經過透鏡後將射向像方焦點；2. 經過物點與光心的光線，其方向不變；3. 經過物點與物方焦點的光線，經過透鏡後平行於光軸射出。

這些都是中學課本上的知識，在此基礎上，尤其是在上述第二種特殊光線的存在下，我們對於單一薄透鏡鏡頭的相機，才可以用針孔模型來建模。

以上是預備知識，接下來就是多鏡片的鏡頭了。

在更進一步之前，我先岔開去，重新回顧一下上面的單一薄透鏡的模型。這個模型的合理性是可以嚴格通過折射定律和數學推導進行證明的，證明過程不是這裡的重點。重點是，我們從單純數學的角度來看待這一模型，可以帶來下一步的啟發。

如果我們將空間中的物點看做原象，將「經過透鏡成像」這一過程看做一個函數映射，將通過透鏡成的像看做是函數映射的結果，那麼薄透鏡模型就在整個歐式空間中建立了一個映射的關係，而且是一一映射。考慮到無窮遠點，那麼經過簡單地數學推導可以得出結論，這個映射關係是一個射影變換。藉助齊次坐標，我們可以直接寫成矩陣相乘的形式。僅以二維空間為例，

$lambdaleft[egin{array}{c}x\y\1end{array} ight]= left[egin{array}{ccc}f00\0f0\10fend{array} ight] left[egin{array}{c}x\y\1end{array} ight]$

這裡用帶撇的量表示像方空間

也就是，從數學上說，對於物方空間（這裡物方空間並非指的是透鏡左邊的半空間，而可以是整個空間）的點，經過左乘一個矩陣，就能變換到像方空間來。物方空間與像方空間通過這個矩陣（也就是透鏡）建立了共軛的關係。

而前面說的四個要素，就是確立這個共軛關係所必不可少的條件，同時也是在這個映射下的某些特殊的共軛點。比如，如果一個點在某映射下保持不變，這就是「不動點Stationary point」，很明顯，光心就是這個映射的不動點。再比如，物方的無窮遠點其共軛點就是像方焦點，像方的無窮遠點其共軛點就是物方焦點。當然，對於直線也有類似的共軛關係（可以思考一下上面那三條直線之間的共軛關係）。

再回到主線。

既然物體經過一個透鏡之後，在數學上就相當於左乘了一個矩陣，進行了一個射影變換，那麼多片鏡片的組合，實際上就是不斷地將上一個鏡片成的像作為下一個鏡片的物，反覆的運用不同的射影變換（當然，從上一個鏡片轉到下一個鏡片的時候還包括了鏡片之間的平移，這在齊次坐標下也是可以用一個射影變換的矩陣來表示的）——從數學上來說，就是不斷左乘一系列的射影變換矩陣。而這些射影變換矩陣可以先相乘，得到一個總體的「系統矩陣」，這個系統矩陣就完全確定了這整個光學系統的行為。

說具體過程就顯得冗長了，一句話說明，由於考慮了鏡片之間間隔（平移變換）的因素，這個系統矩陣需要由更多一些參數來刻畫，具體來說，一個複雜的光學系統，其特性是由以下幾個特徵點來刻畫的（Cardinal point (optics)）：

0. 光軸（Optical Axis），這個不用解釋了；

1. 節點（Nodal Point），節點是一對共軛點，其表現為，所有經過物方（像方）節點的光線，方向不變地經過像方（物方）節點（如下圖）；

2. 主點（Principal Point）與主平面（Principal Plane），主平面是一對共軛平面，其表現為，所有與物方（像方）主平面相交的光線，對應的共軛光線都與像方（物方）主平面在相同高度相交。而主點就是主平面與光軸的交點，如下圖，點P/P以及豎直方向虛線代表的平面：

4. 焦點（Focal Point），無窮遠點的共軛點，參見上圖。而焦距，就定義為主平面到焦點的距離（這裡主平面和焦點是需要對應的）

對於一般的光學系統，以上這些點，尤其是節點與主點，甚至一對共軛的主點或共軛的節點之間，不一定是重合的，需要通過計算或者實驗測定。當然，退化到薄透鏡的情形下，主點與節點都重合為光心。回到題主的問題，看到這裡，我想已經不用特意說明，題主應該能明白這幾個概念了吧？