圓的面積公式是如何推導出來的？

02-18

給一個不同的想法：

1.由於確定一個圓只需要圓心和半徑，而圓心的位置和面積是沒有關係的（圖形的平移不變性），所以圓的面積應該是一個關於半徑 r 的函數：S = S ( r )。

2.等比例的坐標放縮變換對一維對象的作用是等比放縮，對二維對象的作用是平方放縮，因此各種平面圖形的面積S如果滿足S = S (d1, d2, ... , dk)，那麼S (k.d1, k.d2, ... , k.dm) = k^2 . S (d1, d2, ... , dk). 所以圓的面積S ( r ) = r^2 S ( 1 )，它正比於r^2。

3.假設圓的面積S ( r ) = C r^2，那麼考慮圓中一個扇形的面積。假設這個扇形的弧邊長度是 ar，那麼由於圓形的對稱性，扇形的面積和整個圓形面積的比值應該等於弧長和圓周長的比值

S(扇形)/S(圓形) = ar/圓周長

4.在弧長趨於0的時候，可以將扇形看成是以弧長ar為高，半徑 r 為底的三角形，面積約等於 ar^2/2，

所以a趨於0的時候，

ar^2/2Cr^2 ~ ar/圓周長

也就是說，圓周長/2r = C

所以C等於圓周率π。

圓面積 = (圓周/2) x 半徑 = (π x 半徑) x 半徑 = π x 半徑2

如下圖所示

圓心在原點，半徑為 $r$ 的圓方程為 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$

當 $yge0$ 時， $x$ 和 $y$ 是一一對應關係，可以看出函數 $y=sqrt{r^{2}-x^{2}},yge 0$

基本微積分知識告訴我們，當我們求積分 $int_{-r}^{r}sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$ 時，就是求半圓的面積，於是利用對稱性，我們可知 $S=2int_{-r}^{r}sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$

可以利用第一換元積分法等方法求出該積分的值，最後結果就是 $S=pi r^{2}$

把圓用切蛋糕的方法切成無數多個小扇形，扇形的頂角無窮小，這時候可以近似認為扇形的曲線邊是直線，近似認為扇形是等腰三角形，腰是半徑，底邊是很短很短的線段。把這些小三角形正一個倒一個的拼起來，就成了一個長方形啦~ 長方形的長為圓周長的一半（因為有兩條長邊~），寬為圓的半徑面積相等，所以有 r*(r+6.42)=3.14*r*r 解方程就行了~ 或者由題設可列方程 3.14*r=r+6.42 兩個方程都可以 ===========================================================

詳情參考小學六年級課本，圓那一章，購書地址：http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=22807328

微積分的思想，我看了這裡有許多回答，都是很優質的，如果樓主不怎麼了解微積分，可以看下牛頓推導勻速直線運動位移—時間公式的過程，方便理解

可以用積分的思想，在知道圓的周長公式的基礎上，進行推導。

已知圓的周長＝2πR

想像一個圓(可以想像成一個圓餅是有後面的很多圓環疊加而成)是由很多個同心圓(可以想像成圓環)構成的，只是半徑不同，所以圓的面積可以用很多個同心圓的周長相加近似得到，當同心圓的個數越來越多越細密，相加後得到的面積與實際面積越接近，再根據微積分里的極限的思想。

得到圓的面積s＝∫2πx dx(0～R的積分)＝?×2πR2－?×2π×02＝πR2

∫是積分符號

R是所求面積圓的半徑(已知常量)

x是變數代指變化的半徑

積分的公式不規範，不熟練輸入法，打不出想要的效果。

圓內接正n邊形面積的極限。從圓心連接此正n邊形的每個頂點，就將正n邊形割成了n個小等腰三角形，此等腰三角形面積用兩腰乘積乘以夾角正弦除以二分之一非常容易計算。然後用一次基本極限公式，就出來了。

更新： @邱幸瓏指出不嚴謹，感謝之餘，更正如下：同樣的方法可以計算圓外接正N邊形面積的極限，內接和外接趨於相同的極限，由夾逼原理，這個極限就是圓的面積。