配極理論與調和點列

02-17

今天向大家分享一些高中數學平面解析幾何的小技巧。

（本篇均以橢圓為例，雙曲線及拋物線有著同樣的結論）

定義1.1. 如圖所示，Γ是以點A、B為焦點的橢圓，點D是平面中任意一點，過點D任做兩條不重合的直線EH、GF交Γ於點E、H、G、F，連接EF、GH並延長相交於點J，連接EG、FH並延長相交於點I.連接IJ.那麼我們稱點D為極點，稱直線IJ為點D對曲線Γ的極線.

對於曲線

以及平面內任意一點 P

點P關於Γ的極線?方程為

事實上，極點極線有以下性質：

這些性質很有用，還希望讀者能牢牢記住.

以上性質我們現階段不能給出證明.

2. 調和點列與完全四邊形

我們先給出以下定義：

定義2.1 設點相異三點A、B、C共線,稱 ACCB 為點列A,B,C的單比,記作

這裡AC、BC都為有向線段.

定義2.2 設相異四點A、B、C、D共線，稱

為點列A,B,C,D的交比.記作

.這裡AC、BC、AD、BD都為有向線段.

定義2.3 設相異四點A、B、C、D共線，如果（A,B,C,D）=-1

，則稱它們是調和點列，其中點D 稱為A,B,C的第四調和點

基於定義，我們可以得到交比的下列性質:

基於以上性質，任給共線的三點A,B,C，我們可以通過下述步驟得到他們的第四調和點：

在直線AB之外任取一點S，連接SA,SB,SC,在直線SC上任取異於S,C兩點的點G，連接AG與SB交於E，連接BG與SA交於F，則FE與AB的交點D就是A,B,C的第四調和點.

事實上，點列F,R,E,D也組成了調和點列.

我們回頭看1，連接JD並延長分別交IH、IG於點K、L，則K,D,L,J為一調和點列；同理也有N,D,M,I為一調和點列.

我們不由得讚歎，幾何學是多麼的整齊與統一呀！

平面解析幾何我們先介紹至此，其實基於1.1、1.2的理論，完全可以展開一系列相關的結論.比如，下面這個簡潔的結論：

定理：如圖，設D是圓錐曲線Γ外一點，l是點D關於圓錐曲線Γ的極線，過D的直線交圓錐曲線Γ於A、B，交直線l於點C，則（A,B,C,D）=-1

下面這個題目留作練習，第二問可以通過上面的知識輕易解決.，

答案

最後，我想和大家交流下學習平面解析幾何的心得：

要培養一種數學直覺。這種直覺要靠平時的練習獲得，一定要敢於開腦洞（假期是個開腦洞的好時機），更應多觀察，觀察圖形的對稱和整齊對解題很有幫助。
要不斷感悟。不要一味做題，要體會數學美，尤其是幾何學的美。「幾何是思維的體操」，幾何學是鍛煉人理性邏輯的好方法，不要把學習幾何當作一種負擔，而是提升自己的工具。
打心裡不能厭惡解幾中繁瑣的運算，這是不可避免的。要換個角度把它看作鍛煉自己耐心的方式。

囿於筆者水平，文章中難免出現錯誤，還望各位知友及時給予反饋，以便做出修改。

最後，歡迎大家和我交流學習經驗！