晶格動力學8——熱傳導

1. 基本概念

定義:當固體中溫度分布不均勻時,將會有熱能從高溫處流向低溫處,這種現象稱為熱傳導。

j=-kfrac{dT}{dx}

熱流密度(j):單位時間內通過單位截面傳輸的熱能;熱傳導係數(熱導率k);負號表明熱能傳輸總是從高溫流向低溫

該式意味著能量傳輸過程是一個無規過程,晶格熱導並不簡單是格波的「自由」傳播。因為如果是自由傳播的話,熱流密度的表達式將不是依賴於溫度梯度,而是依賴於樣品兩端的溫度差。

熱傳導的種類:固體中可以通過電子運動導熱(電子熱導),也可以通過格波的傳播導熱(晶格熱導)。絕緣體和一般半導體中的熱傳導主要是靠晶格的熱導。

簡諧振動——>熱傳導

在我們研究理想氣體時,我們假定理想氣體中的分子之間是無任何相互作用的,但無相互作用的分子組成的絕對理想氣體是無法達到熱平衡的。同樣,當我們研究晶體時,如果用簡諧近似來處理晶體中的原子振動,其結果就是小振動理論(簡諧近似)得到的不同格波間是完全獨立的,不存在不同聲子之間的相互碰撞,這種情況相當於完全忽略氣體分子之間的相互作用。如果果真如此,格波不可能達到統計平衡。

因此,在研究晶體的熱傳導問題時,必須考慮非簡諧效應。非諧作用使不同格波之間發生耦合,正是這種非諧作用使得格波之間有能量交換,從而達到統計平衡。

2、晶格振動的熱傳導

溫度高區域的分子運動到溫度低的區域時,通過碰撞,把平均動能傳給其它分子;反過來也一樣,這樣的能量傳遞宏觀上就表現為熱傳導,熱導率為:

k=frac{1}{3}C_{V} lambda ar{v}

其中CV為單位體積的熱容;lambda平均自由程; ar{v}熱運動的平均速度

?理想氣體:溫差——>能量輸運——>熱傳導

晶格振動的熱傳導

?將有限溫度下的晶體想像成包含聲子氣的容器,不同模式的聲子具有不同的動量、能量;

?假設晶體的比熱為CV,晶體存在溫度差,高溫的一端,晶體的晶格振動將具有較多的振動模式和較大的振動幅度,也即較多的聲子被激發。當這些格波傳至晶體的冷端,使那裡的晶格振動趨於具有同樣多的振動模式和幅度,這樣聲子就把熱量從晶體一端傳到另一端。

如果晶格振動間也即聲子間不存在相互作用,則熱導係數κ將為無窮大,即在晶體內不能存在溫度梯度。(對N過程,由於總動量守恆,熱導也為無窮大)。

?考慮非簡諧效應,聲子之間存在相互作用,當它們從一端移向另一端時,相互間會發生碰撞,也會與晶體中的缺陷發生碰撞,因此聲子在晶體中移動時,有一個在兩次碰撞之間聲子所走過的路程,即平均自由程lambda,為兩次碰撞間聲子移動的距離,設t為聲子兩次碰撞間的相隔時間,則

lambda=	au v_{x}

?假設晶體內溫度梯度為dT/dx,則在晶體中距離相差lambda的兩個區域間的溫度差deltaT可寫成:

?聲子移動lambda後,把熱量C_{V} Delta T從距離lambda的一端攜帶到另一端。若聲子在晶體中沿x方向的移動速率為v_{x},則單位時間內通過單位面積的熱量,即熱能流密度j寫成:

v_{x}^{2} 是對所有聲子的平均值ar{v_{x}^2}=frac{1}{3}ar{v^2}

?熱流密度改寫為

晶格振動的熱傳導

?晶格振動——>聲子——>聲子數分布

與溫度有關

當樣品內存在溫度梯度時,「聲子氣體」的密度分布是不均勻的,高溫處「聲子」密度高,低溫處「聲子」密度低,因而「聲子」氣體在無規則的基礎上產生平均的定向的運動,即聲子的擴散運動。

?因此如果將晶格熱運動系統看作是聲子氣,則晶格導熱就是聲子擴散的過程,這個過程可以看作從聲子密度高的區域向低的區域擴散。聲子是能量子,聲子的「定向流動」就意味著能量輸運,形成熱傳導。

晶體熱傳導係數

?如果勢能的非簡諧項比簡諧項小得多時,用微擾,這時聲子仍可看作理想氣體,但聲子之間有相互作用——碰撞

?用與理想氣體同樣的方法得到同樣的結果:

平均速度v_{p}為聲子速度(為了簡化通常取固體中的聲速),lambda為聲子平均自由程。

3、影響聲子平均自由程的因素

聲子平均自由程的大小由兩種過程來決定:

1. 聲子之間的碰撞,它是非簡諧效應的反映

一個聲子的存在會引起周期性彈性應變;

這種彈性應變如果較大,則不可能再用簡諧近似來描述;

這樣,非簡諧彈性應變對晶體的彈性常數產生空間和時間上的調製

第二個聲子感受到這種彈性常數的調製,受到散射而產生第三個聲子

2. 晶體中雜質、缺陷以及晶體邊界對聲子的散射

聲子碰撞(耦合)

(1)處理方法

?考慮非簡諧項後,一維單原子鏈運動方程的求解:

方程求解複雜,特別是非諧項比較大時,完全不能用類似的方法表述。

?處理弱非簡諧情況時,可把簡諧近似下得到的相互獨立的簡諧振子解作為基礎,把非簡諧項作為微擾來處理,這就導致聲子之間存在著相互作用,就會發生碰撞,能量改變且只有有限的壽命。一種頻率的聲子可以湮滅而產生另一種頻率的聲子,這樣經過一段時間後,各種頻率的聲子數目就會達到和環境溫度相平衡的分布。

(2)聲子與聲子之間的碰撞

?通過非簡諧項的作用,本來相互獨立的諧振子之間發生耦合。不同格波之間的相互作用,表示為聲子間的「碰撞」。非諧作用中的勢能三次方項對應三聲子過程:二個聲子碰撞產生另外一個聲子或一個聲子劈裂成二個聲子。非諧作用中勢能四次方項則對應四個聲子相互作用的過程。在熱傳導問題中,聲子的碰撞起著限制聲子平均自由程的作用

?聲子間相互「碰撞」需要滿足能量守恆和准動量守恆關係,以兩個聲子碰撞產生另一個聲子的三聲子過程為例,有:

其中vec{G_{h}}表示倒格矢

?由於波數必須在第一布里淵區取值,因此動量守恆的要求會存在兩種情況:

q3仍在第一布里淵區內的稱為正常過程,此時

新聲子的q值等於第一布里淵區內某個值q3加一個倒易矢量Gh的稱為倒逆過程,此時

?這裡波矢q3和波矢q3+Gh是對同一聲子的,表述了同樣一個運動狀態。

(3)正常過程(N過程,NormalProcess)

-正常過程,對應q1和q2較小;

-聲子的動量沒有發生變化,因此,N過程只改變聲子的動量分布;

-如果聲子的總動量為零,就沒有熱流

-在熱平衡下,由於 omega(-q)=omega(q) ,因此,N過程由於只改變聲子的動量分布,而基本上不影響熱流的方向,對熱阻是沒有貢獻的

正常過程能使系統達到熱平衡嗎?

外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運動的動量,在由非平衡態向平衡態過渡時,定向運動的動量應當逐漸減到零,這樣才能使系統進入熱平衡狀態。

為了能進入熱平衡狀態,顯然應當存在這樣一種機制,它能衰減聲子定向運動的動量。

正常過程並沒有使動量衰減,系統總的動量不變,定向運動沒有被衰減。

正常過程對實現熱平衡沒有貢獻。

(4)翻轉過程(U過程,UmklappProcess)

-對應q1和q2較大,與布里淵區的尺度可比時才能發生U過程,能量大的格波參與才能發生;-U過程要求q1和q2較大,這樣屬性的聲子數隨溫度很快下降,因此,U過程可改變聲子數的分布。-聲子的總動量改變了一個非零的倒格矢的動量

-在翻轉過程中使聲子的動量發生很大變化(如圖所示,vec{q_{1}}+vec{q_{2}} 是向「右」的,碰撞後 vec{q_{3}}是向「左」的),從而破壞了熱流的方向,U過程對熱阻是有貢獻的,對熱導率的下降十分有效。

倒逆過程能使系統達到熱平衡嗎?

外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運動的動量,在由非平衡態向平衡態過渡時,定向運動的動量應當逐漸減到零,這樣才能使系統進入熱平衡狀態。

為了能進入熱平衡狀態,顯然應當存在這樣一種機制,它能衰減聲子定向運動的動量。

倒逆過程使得聲子某個方向動量發生倒轉,從而衰減了整個聲子團的動量。

倒逆過程對實現熱平衡(熱傳導)有貢獻。

聲子能量、動量守恆關係圖(將原點移到w1)

(5)發生U過程/N過程的可能性估算

雜質、缺陷、邊界散射、尺寸效應

(1)聲子與晶體中的缺陷(雜質、位錯)碰撞

-晶體的不完整性,如雜質和缺陷,也散射聲子。這時因為它們部分破壞了理想的周期性,而它恰好是格波自由傳播概念的基礎;

-與基質原子質量不同的替代式雜質引起波在雜質處散射。質量差別和雜質密度越大,則散射越強,平均自由程越短;

-特別是在低溫下,聲子間相互碰撞的作用迅速減弱,自由程將由其它散射所決定。

(2)聲子和樣品的外部邊界發生碰撞

-在很低的溫度(<10K),聲子-聲子以及聲子-不完整性的碰撞都變得無效,因為在前面的情形,僅有少數聲子存在,而在後面的情形,在這樣低的溫度所激發的聲子是長波聲子,這時由於衍射作用,雜質、缺陷不再是有效的散射體(即這些聲子不能被大小比波長小得多的物體如雜質有效地散射)。

-聲子數隨溫度降低按指數規律急劇下降,則l增大很快,當溫度下降到接近0K時,l?¥。但這時即使在很純的晶體中,熱導率仍是有限的,這是晶體邊界對聲子的散射所致。隨溫度降低,l增大。當l增大到與晶體尺寸可相比擬時,則聲子的l就由樣品的邊界決定,不再增大,l?D。而且在很低的溫度下,U過程出現的幾率很小,邊界散射成為主要因素。這種情況稱為尺寸效應,此時點陣的熱導率

4、聲子平均自由程與溫度的關係

5、熱導率的影響因素:示例

-在峰值和它左邊更低溫度範圍,樣品表面散射已成為主要限制自由程的因素,因此,尺寸小的樣品自由程較短,熱導更低;

-在這種情況下,熱導率隨溫度的變化主要決定於比熱,熱導率隨溫度下降趨近T3關係。

合金的熱導率

-原子無序分布給熱導率帶來的影響:雜質、缺陷參與聲子散射,使得平均自由程減小,熱導率降低

關鍵是改變聲子分布

看上去是平均自由程,關鍵是改變聲子數分布;

晶體中存在這樣的機制,使聲子分布可以局域地趨於平衡。否則,不能說晶體一端的聲子處於T1的熱平衡中,另一端處於T2的熱平衡中;

l這就需要建立使聲子趨於平衡的機制,這就是聲子之間的碰撞,三聲子碰撞;

N過程不能建立熱平衡

-不改變總動量,某溫度下的聲子局域平衡分布可以以某個漂移速度在晶體中運動,熱流一旦建立,永不衰減。

U過程對改變聲子數分布最有效

-兩個動量在某一方向的聲子碰撞,產生一個動量方向相反的聲子,改變了聲子的分布,對熱傳導有貢獻。
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