晶格動力學8——熱傳導

02-17

1. 基本概念

定義：當固體中溫度分布不均勻時，將會有熱能從高溫處流向低溫處，這種現象稱為熱傳導。

$j=-kfrac{dT}{dx}$

熱流密度（j）：單位時間內通過單位截面傳輸的熱能；熱傳導係數（熱導率k）；負號表明熱能傳輸總是從高溫流向低溫

該式意味著能量傳輸過程是一個無規過程，晶格熱導並不簡單是格波的「自由」傳播。因為如果是自由傳播的話，熱流密度的表達式將不是依賴於溫度梯度，而是依賴於樣品兩端的溫度差。

熱傳導的種類：固體中可以通過電子運動導熱（電子熱導），也可以通過格波的傳播導熱（晶格熱導）。絕緣體和一般半導體中的熱傳導主要是靠晶格的熱導。

簡諧振動——>熱傳導

在我們研究理想氣體時，我們假定理想氣體中的分子之間是無任何相互作用的，但無相互作用的分子組成的絕對理想氣體是無法達到熱平衡的。同樣，當我們研究晶體時，如果用簡諧近似來處理晶體中的原子振動，其結果就是小振動理論（簡諧近似）得到的不同格波間是完全獨立的，不存在不同聲子之間的相互碰撞，這種情況相當於完全忽略氣體分子之間的相互作用。如果果真如此，格波不可能達到統計平衡。

因此，在研究晶體的熱傳導問題時，必須考慮非簡諧效應。非諧作用使不同格波之間發生耦合，正是這種非諧作用使得格波之間有能量交換，從而達到統計平衡。

2、晶格振動的熱傳導

溫度高區域的分子運動到溫度低的區域時，通過碰撞，把平均動能傳給其它分子；反過來也一樣，這樣的能量傳遞宏觀上就表現為熱傳導，熱導率為：

$k=frac{1}{3}C_{V} lambda ar{v}$

其中CV為單位體積的熱容； $lambda$ 平均自由程; $ar{v}$ 熱運動的平均速度

?理想氣體：溫差——>能量輸運——>熱傳導

晶格振動的熱傳導

?將有限溫度下的晶體想像成包含聲子氣的容器，不同模式的聲子具有不同的動量、能量；

?假設晶體的比熱為CV，晶體存在溫度差，高溫的一端，晶體的晶格振動將具有較多的振動模式和較大的振動幅度，也即較多的聲子被激發。當這些格波傳至晶體的冷端，使那裡的晶格振動趨於具有同樣多的振動模式和幅度，這樣聲子就把熱量從晶體一端傳到另一端。

如果晶格振動間也即聲子間不存在相互作用，則熱導係數κ將為無窮大，即在晶體內不能存在溫度梯度。（對N過程，由於總動量守恆，熱導也為無窮大）。

?考慮非簡諧效應，聲子之間存在相互作用，當它們從一端移向另一端時，相互間會發生碰撞，也會與晶體中的缺陷發生碰撞，因此聲子在晶體中移動時，有一個在兩次碰撞之間聲子所走過的路程，即平均自由程 $lambda$ ，為兩次碰撞間聲子移動的距離，設t為聲子兩次碰撞間的相隔時間，則

$lambda= au v_{x}$

?假設晶體內溫度梯度為dT/dx，則在晶體中距離相差 $lambda$ 的兩個區域間的溫度差deltaT可寫成：

?聲子移動 $lambda$ 後，把熱量 $C_{V} Delta T$ 從距離 $lambda$ 的一端攜帶到另一端。若聲子在晶體中沿x方向的移動速率為 $v_{x}$ ，則單位時間內通過單位面積的熱量，即熱能流密度j寫成：

$v_{x}^{2}$ 是對所有聲子的平均值 $ar{v_{x}^2}=frac{1}{3}ar{v^2}$

?熱流密度改寫為

晶格振動的熱傳導

?晶格振動——>聲子——>聲子數分布

與溫度有關

當樣品內存在溫度梯度時，「聲子氣體」的密度分布是不均勻的，高溫處「聲子」密度高，低溫處「聲子」密度低，因而「聲子」氣體在無規則的基礎上產生平均的定向的運動，即聲子的擴散運動。

?因此如果將晶格熱運動系統看作是聲子氣，則晶格導熱就是聲子擴散的過程，這個過程可以看作從聲子密度高的區域向低的區域擴散。聲子是能量子，聲子的「定向流動」就意味著能量輸運，形成熱傳導。

晶體熱傳導係數

?如果勢能的非簡諧項比簡諧項小得多時，用微擾，這時聲子仍可看作理想氣體，但聲子之間有相互作用——碰撞

?用與理想氣體同樣的方法得到同樣的結果：

平均速度 $v_{p}$ 為聲子速度（為了簡化通常取固體中的聲速）， $lambda$ 為聲子平均自由程。

3、影響聲子平均自由程的因素

聲子平均自由程的大小由兩種過程來決定：

1. 聲子之間的碰撞，它是非簡諧效應的反映

一個聲子的存在會引起周期性彈性應變；

這種彈性應變如果較大，則不可能再用簡諧近似來描述；

這樣，非簡諧彈性應變對晶體的彈性常數產生空間和時間上的調製

第二個聲子感受到這種彈性常數的調製，受到散射而產生第三個聲子

2. 晶體中雜質、缺陷以及晶體邊界對聲子的散射

聲子碰撞（耦合）

（1）處理方法

?考慮非簡諧項後，一維單原子鏈運動方程的求解：

方程求解複雜，特別是非諧項比較大時，完全不能用類似的方法表述。

?處理弱非簡諧情況時，可把簡諧近似下得到的相互獨立的簡諧振子解作為基礎，把非簡諧項作為微擾來處理，這就導致聲子之間存在著相互作用，就會發生碰撞，能量改變且只有有限的壽命。一種頻率的聲子可以湮滅而產生另一種頻率的聲子，這樣經過一段時間後，各種頻率的聲子數目就會達到和環境溫度相平衡的分布。

（2）聲子與聲子之間的碰撞

?通過非簡諧項的作用，本來相互獨立的諧振子之間發生耦合。不同格波之間的相互作用，表示為聲子間的「碰撞」。非諧作用中的勢能三次方項對應三聲子過程：二個聲子碰撞產生另外一個聲子或一個聲子劈裂成二個聲子。非諧作用中勢能四次方項則對應四個聲子相互作用的過程。在熱傳導問題中，聲子的碰撞起著限制聲子平均自由程的作用。

?聲子間相互「碰撞」需要滿足能量守恆和准動量守恆關係，以兩個聲子碰撞產生另一個聲子的三聲子過程為例，有：

其中 $vec{G_{h}}$ 表示倒格矢

?由於波數必須在第一布里淵區取值，因此動量守恆的要求會存在兩種情況：

q3仍在第一布里淵區內的稱為正常過程，此時

新聲子的q值等於第一布里淵區內某個值q3加一個倒易矢量Gh的稱為倒逆過程，此時

?這裡波矢q3和波矢q3+Gh是對同一聲子的，表述了同樣一個運動狀態。

（3）正常過程（N過程，NormalProcess）

-正常過程，對應q1和q2較小；

-聲子的動量沒有發生變化，因此，N過程只改變聲子的動量分布；

-如果聲子的總動量為零，就沒有熱流

-在熱平衡下，由於 $omega(-q)=omega(q)$ ，因此，N過程由於只改變聲子的動量分布，而基本上不影響熱流的方向，對熱阻是沒有貢獻的

正常過程能使系統達到熱平衡嗎？

外界干擾使聲子獲得了某一方向的定向運動的動量，在由非平衡態向平衡態過渡時，定向運動的動量應當逐漸減到零，這樣才能使系統進入熱平衡狀態。

為了能進入熱平衡狀態，顯然應當存在這樣一種機制，它能衰減聲子定向運動的動量。

正常過程並沒有使動量衰減，系統總的動量不變，定向運動沒有被衰減。

正常過程對實現熱平衡沒有貢獻。

（4）翻轉過程（U過程，UmklappProcess）

-對應q1和q2較大，與布里淵區的尺度可比時才能發生U過程，能量大的格波參與才能發生；-U過程要求q1和q2較大，這樣屬性的聲子數隨溫度很快下降，因此，U過程可改變聲子數的分布。-聲子的總動量改變了一個非零的倒格矢的動量

-在翻轉過程中使聲子的動量發生很大變化（如圖所示， $vec{q_{1}}+vec{q_{2}}$ 是向「右」的，碰撞後 $vec{q_{3}}$ 是向「左」的），從而破壞了熱流的方向，U過程對熱阻是有貢獻的，對熱導率的下降十分有效。

倒逆過程能使系統達到熱平衡嗎？

為了能進入熱平衡狀態，顯然應當存在這樣一種機制，它能衰減聲子定向運動的動量。

倒逆過程使得聲子某個方向動量發生倒轉，從而衰減了整個聲子團的動量。

倒逆過程對實現熱平衡（熱傳導）有貢獻。

聲子能量、動量守恆關係圖（將原點移到w1）

（5）發生U過程/N過程的可能性估算

雜質、缺陷、邊界散射、尺寸效應

（1）聲子與晶體中的缺陷（雜質、位錯）碰撞

-晶體的不完整性，如雜質和缺陷，也散射聲子。這時因為它們部分破壞了理想的周期性，而它恰好是格波自由傳播概念的基礎；

-與基質原子質量不同的替代式雜質引起波在雜質處散射。質量差別和雜質密度越大，則散射越強，平均自由程越短；

-特別是在低溫下，聲子間相互碰撞的作用迅速減弱，自由程將由其它散射所決定。

（2）聲子和樣品的外部邊界發生碰撞

-在很低的溫度（<10K），聲子-聲子以及聲子-不完整性的碰撞都變得無效，因為在前面的情形，僅有少數聲子存在，而在後面的情形，在這樣低的溫度所激發的聲子是長波聲子，這時由於衍射作用，雜質、缺陷不再是有效的散射體（即這些聲子不能被大小比波長小得多的物體如雜質有效地散射）。

-聲子數隨溫度降低按指數規律急劇下降，則l增大很快，當溫度下降到接近0K時，l?￥。但這時即使在很純的晶體中，熱導率仍是有限的，這是晶體邊界對聲子的散射所致。隨溫度降低，l增大。當l增大到與晶體尺寸可相比擬時，則聲子的l就由樣品的邊界決定，不再增大，l?D。而且在很低的溫度下，U過程出現的幾率很小，邊界散射成為主要因素。這種情況稱為尺寸效應，此時點陣的熱導率