Quantum Condensed Matter Physics

對於無序體系的金屬態，我們可以從乾淨體系的金屬態出發，微擾的加入雜質散射。

我們假設將體系分成N個原胞，每個原胞都是宏觀大小。這樣在每個原胞裡面雜質的分布都是不一樣的。如果我們計算外延量，如自由能，我們需要把每個原胞的自由能加起來（不同原胞的邊界也會貢獻自由能，不過在熱力學極限下可以忽略，或者說每個原胞當做一個系綜）。由於每個原胞的雜質分布都不同，所以求和相當於對雜質分布取平均。所以對於無序系統的自由能可以通過計算某個特定分布的雜質的體系的自由能，然後自由能對所有可能的雜質分布（以一定概率分布）取平均。這樣的近似在熱力學極限下是嚴格成立的，被稱為quenched approximation，這樣取平均的方法被稱為quenched average。

加入雜質意味著作用量（哈密頓量）裡面加入一個隨機勢，這個隨機勢和電子密度耦合，反應了電子被勢能的散射。一般我們不考慮雜質自身的動力學（與此相反的就是Kondo效應，單個雜質的動力學起了很重要的作用），也即靜態隨機勢，勢能不依賴於時間。從費曼圖的角度來理解，就是產生了一個新的頂角項，通過雜質轉移動量（但不轉移能量），把隨機勢當做微擾，我們可以得到自由能的微擾展式。與乾淨體系類似，我們計算自由能只需要考慮連通圖。

在對雜質求平均之前，我們對雜質的概率分布要做一個假定（依實際體系而定），一般對於比較稀薄和微弱的雜質，我們可以假定高斯分布，同時雜質的隨機勢的力程可以認為很小（如果考慮體系的宏觀低能性質的話）。這樣子對雜質的平均就是對上述的自由能取一個高斯分布的平均。由於之前我們是微擾的計算自由能，也即是按照雜質的隨機勢的級數來計算，那麼對其求高斯積分等價於Wick定理，所以雜質平均值後對相應的費曼圖規則也要有所變化。首先，原來的雜質引入的頂角項需要通過雜質線連接，對應的雜質傳播子正比於雜質濃度乘上雜質勢強度的平方。同時，由於我們考慮靜態雜質，也即發生的都是彈性碰撞，所以雜質線上沒有能量交換，只有動能交換。最後，平均之後得到的費曼圖即使把雜質線切斷之後也必須是連通的（question）。特例就是如果幹凈體系是無相互作用體系，那麼雜質平均之後就不能包含通過雜質線連接的圈圖。

關聯函數可以通過在作用量里加入流算符，然後對其求泛函導數得到，上述的費曼規則仍舊適用。

23.4.5 Weak Localization

弱局域化的物理圖像基於相干背散射。

用費曼路徑積分的語言，電子從r到r的振幅是對其所有路徑的作用量求積分，由於雜質的存在，路徑包含了雜質的無規隨機散射。由於作用量處於指數上，所以不同的路徑有時候相干，有時候相消。但是如果我們考慮r到r的路徑兩條通過時間反演聯繫的路徑（被同樣的雜質散射，但是按照相反的順序，因為時間反演下動量相反），這兩條路徑一定是相干的（我們考慮作用量不依賴於路徑的方向，或者說體系保持時間反演對稱性）。所以相比於從r到r的振幅，從r到r的振幅由於時間反演對稱保護的背散射而有所增強，這個增強的背散射就是弱局域化的根源。

但是如果加入弱的磁場（強磁場由於會有朗道能級，又是另一個故事），磁場會破壞時間反演對稱性，所以會抑制弱局域化。我們可以根據磁場定義一個磁長度，這個尺度等價於被這個路徑包圍的磁通產生的相位為pi，這樣使得之前提到的相干的兩條路徑變得相消。所以弱磁場下，隨著磁場增強，電導也增強（抑制弱局域化），也即磁阻是負的。

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