Angular spin current

02-16

#Archive of my manuscripts. Tuesday, February 15

對於電荷流 ( charge current ) 而言，電荷流密度 $vec{j}_{e}= ext{Re}left[Psi^dagger(m r,t)ecdotvec{v}Psi(m r,t) ight]$ ，滿足連續性方程

$egin{equation}label{} frac{d}{dt} ho_e(m r,t)+ ablacdotvec{j}_e(m r,t)=0. end{equation}$

$ho_e=ePsi^daggerPsi$ 為電荷密度。該方程起源與電荷不變性，即電子所帶電荷 e 在輸運過程中保持不變。對於描述標量流 (電荷流) 來說，一個局域電荷流密度 $vec{j}_{e}(m r,t)$ 就足夠了。然而在自旋輸運中，自旋流為矢量流，輸運過程除了考慮電荷自身的平動外，自旋角動量還可能存在轉動，從而自旋 $vec{s}$ 不再是不變數。因此，為了完整描述自旋輸運過程，除了有描述平動過程的 $mathbf{j}_s$ 外，還需要有描述轉動過程的 $vec{j}_{omega}$ 。考慮經典情下帶有磁矩 $vec{m}$ 的粒子 (磁矩的大小 $|vec{m}|$ 保持不變)，為了準確描述粒子流，除了知道局域矢量密度 $vec{M}(m r,t)= ho(m r,t)vec{v}(m r,t)$ 外，還需要知道粒子運動的線速度 $vec{v}(m r,t)$ 和矢量矩的轉動角速度 $vec{omega}(m r,t)$ 。這裡 $ho(m r,t)$ 為粒子密度。由於 $|vec{m}|$ 不變，在 $dt$ 內局域矢量矩在體積元 $Delta V=Delta xDelta yDelta z$ 中的變化為

$egin{equation} egin{aligned} dleft[vec{M}(m r,t)Delta V ight]&=sum_{i=x,y,z}left[frac{Delta V}{Delta i}v_i(m r,t)dtvec{M}(m r,t)-frac{Delta V}{Delta i}v_i(m r+Delta hat{i},t)dtvec{M}(m r+Delta hat{i},t) ight]\ &+vec{omega}(m r,t) imesvec{M}(m r,t)Delta Vdt. end{aligned} end{equation}$

右邊第一項和第二項分別是流入和流出 $Delta V$ 的矢量流，當 $Delta V$ 趨於 0 時，可以得到連續性方程

$egin{equation}label{} frac{d}{dt}vec{M}(m r,t)=- ablacdotvec{v}(m r,t)vec{M}(m r,t)+vec{omega}(m r,t) imesvec{M}(m r,t). end{equation}$

其中 $vec{v}vec{M}$ 為張量，張量元 $left(vec{v}vec{M} ight)_{ij}=v_iM_j$ 。類似與標量流連續性方程 (3.1) 起源於電荷 e 不變，(3.3) 源於矢量大小 $|vec{m}|$ 不變。引入記號 $mathbf{j}_s(m r,t)=vec{v}(m r,t)vec{M}(m r,t)$ 和 $vec{j}_{omega}(m r,t)=vec{omega}(m r,t) imesvec{M}(m r,t)$ ，連續性方程寫做

$egin{equation}label{} frac{d}{dt}vec{M}(m r,t)=- ablacdotmathbf{j}_s(m r,t)+vec{j}_{omega}(m r,t). end{equation}$

其中 $mathbf{j}_s=vec{v}vec{M}$ 來源於矢量 $vec{m}$ 的平動， $vec{j}_{omega}=vec{omega} imesvec{M}$ 來源於 $vec{m}$ 的轉動。類似於 $vec{v}$ 和 $vec{omega}$ 分別稱為線速度和角速度， $mathbf{j}_s$ 和 $vec{j}_{omega}$ 分別稱為線電流密度和角電流密度。有時 $vec{j}_{omega}$ 也稱為自旋轉矩 ( spin torque)。

從經典情形可以很自然的過渡到量子情形，只需重新定義 $mathbf{j}_s= ext{Re}left{Psi^dagger widehat{vec{v}}widehat{vec{s}}Psi ight}$ ， $vec{j}_{omega}= ext{Re}left{Psi^dagger widehat{vec{omega}} imeswidehat{vec{s}}Psi ight}$ ，連續性方程 (3.4) 式仍然成立。線自旋流是張量， $ext{Re}left{Psi^dagger widehat{vec{v}}widehat{vec{s}}Psi ight}$ 不但給出了電子運動方向，還給出了自旋極化方向，因而可以完全描述電子的平動，比如分量： $j_{s,xy}$ 描述的是沿 y 極化的電子在 x 方向的運動。通過線自旋流密度，我們可以計算通過某個表面的線自旋流： $vec{I^{S}_s}=iint_S dvec{S}cdotmathbf{j}_s$ ，但是對於角自旋流密度而言，計算通過某個面的角自旋流是沒有意義的，因為 $vec{j}_{omega}$ 是角動量空間的矢量。

This definition comes from Q. F. SUN AND X. C. XIE(2005).