Spin-triplet Cooper pairs and d-vector

02-16

#Archive of my manuscripts. Tuesday, February 13

Cooper 對波函數的自旋部分可以寫成

$Psi=psi_{uparrowuparrow}|uparrowuparrow angle+psi_{downarrowdownarrow}|downarrowdownarrow angle+psi_{uparrowdownarrow}|uparrowdownarrow angle+psi_{downarrowuparrow}|downarrowuparrow angle.$

其中 $psi_{sigmasigma}$ 為自旋組態 $|sigmasigma angle$ 所對應的係數， $sigma (sigma)=uparrow,downarrow$ 。

然而，用上式來描述自旋三重態的Cooper 對是不方便的，為了得到方便簡潔的描述方式，可以引入四分量的旋量場算符 $C(x_+)=left[c_{uparrow}(x_+),c_downarrow(x_+),-c^{dagger}_{downarrow}(x_-),c^{dagger}_{uparrow}(x_-) ight]^ ext{T}$ ，其中 $x_{pm}=(pmepsilon,m r)$ ， $epsilon$ 和 $m r$ 分別為能量和對應的空間位置坐標。在二次量子化的語言下可以寫出密度矩陣

$mathcal{D}_{ij}(x_{+})=-iG^{<}_{ij}(x_+)=leftlangle C^{dagger}_{j}(x_+)otimes C_{i}(x_+) ight angle,$

其中 $G^<$ 為小于格林函數。序參量幅值所對應的反常密度矩陣 ( 即 4 $imes$ 4 的 $mathcal{D}$ 矩陣右上角 2 $imes$ 2 的的分塊矩陣 ) 可寫為

$egin{equation}label{} f(x_+)=egin{pmatrix} -leftlangle c_downarrow(x_-)c_uparrow(x_+) ight angle& leftlangle c_uparrow(x_-)c_uparrow(x_+) ight angle\ -leftlangle c_downarrow(x_-)c_downarrow(x_+) ight angle&leftlangle c_uparrow(x_-)c_downarrow(x_+) ight angle end{pmatrix}=egin{pmatrix} -psi_{uparrowdownarrow}&psi_{uparrowuparrow} \ -psi_{downarrowdownarrow}&psi_{uparrowdownarrow} end{pmatrix} end{equation}$

這裡的 $langleldots angle$ 代表熱力學平均。通過反常密度矩陣，可以定義 $m d$ 矢量

$m d= ext{Tr}left[frac{1}{2}m{sigma} ext{f} ight].$

這裡 $m{sigma}=(sigma_x,sigma_y,sigma_z)$ 為自旋空間的 Pauli 矩陣。由上式可得

$egin{equation}label{} d_x=frac{psi_{uparrowuparrow}-psi_{downarrowdownarrow}}{2},~d_y=ifrac{psi_{uparrowuparrow}+psi_{downarrowdownarrow}}{2},~d_z=-frac{psi_{uparrowdownarrow}+psi_{downarrowuparrow}}{2}. end{equation}$

在 $m d$ 矢量的表示下，考慮 $psi_{uparrowuparrow}=e^{-i heta}$ ， $psi_{downarrowdownarrow}=-e^{i heta}$ ， $psi_{uparrowdownarrow}=psi_{downarrowuparrow}=0$ 的自旋組態，對應的反常密度矩陣為

$egin{equation}label{} f=egin{pmatrix} 0&e^{-i heta} \ e^{i heta}&0 end{pmatrix}=cos hetacdotsigma_x+sin hetacdotsigma_y. end{equation}$

對應 $m d$ 矢量為 $m d=(cos heta,sin heta,0)$ 。值得注意的是，雖然 Cooper 對為自旋三重態，但是卻沒有自旋極化，稱為幺正三重態。對於幺正態， $m d$ 矢量總可以寫成實矢量乘上一個整體的 U(1)相位，因此滿足 $|m dcdotm d|=|d_x|^2+|d_y|^2+|d_z|^2$ 。除此之外，還存在另外一種三重態，其配對電子的自旋限制在同一個通道內，因而 Copper 對是完全自旋極化的。對於這樣的配對形式，我們總可以選擇一組基，使得 $psi_{uparrowuparrow}=1$ ， $psi_{downarrowdownarrow}=psi_{uparrowdownarrow}=psi_{downarrowuparrow}=0$ ，此時反常密度矩陣為

$egin{equation}label{} f=egin{pmatrix} 0&1 \ 0&0 end{pmatrix}=frac{1}{2}sigma_x+frac{i}{2}sigma_y, end{equation}$

從而 $m d=(1/2,i/2,0)$ ，滿足 $m dcdotm d=0$ 。