拓撲學|筆記整理（6）——連續函數，積拓撲（續）

大家好！

近期我一直在想寒假這一系列的筆記更新到什麼樣的進度算是「完成」。因為如果寒假結束，但是筆記的進度比我預先的期望要慢的話，就會讓我的安排出現一些困難（因為這就意味著我得再花點時間去把寒假的坑填了）。後來我參考了一下下學期的課程大綱，最終確定一下，實分析的筆記更新到導數和微分理論的部分（也就是原書的第三章結束）即不再更新。拓撲學會在度量拓撲（第二章結束）處暫停，等實分析更新完之後再更新。而兩個學科剩下的部分會在日後有時間，或者本專業的大綱涉及到的時候再找時間進行更新。

因為本專業下學期的課程異常的難（課程量少了一節，但是課程的難度卻都上了一個檔次……），所以暫時還沒有辦法確定地說下學期會給專欄帶來什麼新的變化。所以可能需要大家在開學後再等我出現了（順便吐槽我們25號開學……），哈哈。

另外，為了方便閱讀，我們會在這一節筆記開始，添加每一節的筆記對應原書的範圍，並且為定理，性質等進行標號，方便查詢（但因為我懶，所以之前的我開學統一來加，不急哈）。

廢話不說了，提供之前筆記的目錄：

• 拓撲學|筆記整理（1）——集合，函數，關係
• 拓撲學|筆記整理（2）——數域系統，笛卡爾積，有限集
• 拓撲學|筆記整理（3）——無限集，可列集，選擇公理，良序集
• 拓撲學|筆記整理（4）——引入，基，常見拓撲舉例（1）
• 拓撲學|筆記整理（5）——常見拓撲舉例（2），閉集，極限點

我們開始本節的內容，本節的範圍是P102-118

目錄

• 連續函數
• 同胚
• 積拓撲（續）

連續函數

只要你學過數分一，就不應該對連續函數陌生。但是另一方面，它在拓撲中的定義對我們來說又是新的東西。所以有必要再來看一下這個概念。

Definition:continuous

設 為拓撲空間，如果對於 的每一個開集 ， 都是 的一個開集，那麼函數 即為連續函數。

根據這個定義你就應該明白的事情是：連續與否，是由兩個拓撲空間所對應的拓撲決定的。也就是說，這裡的定義域和值域對應的其實是集合的拓撲空間。

當然，有幾個注意的地方：

Note 1

如果值域空間 由基 給定，那麼只需要證明每一個基元的逆元都是定義域集合 上的一個開集就好，因為如果 ，那麼 。

如果由一個子集 決定，那麼也只需要證明每一個子基元的逆元都是開集就好，因為子基中的元素交完就是基。

關於連續函數，一個比較綜合的性質是下面這個。

Theorem 1:

設 ，那麼下面命題等價

(1) 是連續函數。

(2)對於 的每一個子集 ，有 。

(3)對於 中的每一個閉集 ， 在 中也是閉集。

(4)對於每一個元素 和每一個 的鄰域 ，存在一個 的鄰域 ，滿足 。

（我希望你不要弄混一些東西， 這裡指的是閉包）

等價性的證明這裡是不太容易的，我們一步步來，挑簡單的下手。

先看 ，要證明這個結論，只需要證明對於任意的 ，有 即可。

考慮 的一個鄰域 （請不要混淆分析學中的鄰域，這裡的鄰域就是包含元素的開集而已），那麼 是開集（根據連續的定義），並且包含 ，且它一定會交一個 中的另一個元素 （這可以通過上一節關於閉包和鄰域的定理性質得到）。那麼 既在 內，也在 內。再用上一節那個性質，就可以得到 。

再看 ，要證明這個結論，考慮令 ，那麼只要證明 即可。因為有一個方向是顯然的，所以只需要證明 。注意到 ，所以如果 ，就會有 ，那麼 ，這就已經證明了 。

再看 （不要叫，我沒寫錯），如果設 是一個 內的開集，那麼令 ，那麼 是閉集，並且就有 （值域的逆元當然是定義域）。又根據條件(3)可以知道 是開集，這就證明了 是開集，也就證明了結論。

然後，我們再轉一下，證明 。其實很簡單，因為 ，設 是 的鄰域，那麼根據連續的定義， 就是 的鄰域，並且 。就證明了結論。

最後是 。設 是 內的開集，那麼對於給定的 。 。根據假設，存在一個 的鄰域 滿足 。那麼也就有 。所以其實根據這個推論，可以得到的是， 可以被寫為一系列的開集的並，那自然還是開集。這也就證明了結論。

所以這個證明還是比較有趣的，並沒有按照我們正常的思路去做，可能是想簡單點吧？

同胚

這是拓撲學中比較有趣的概念。它的定義如下：

Definition:Homeomorphism

設 是一個雙射，如果它和它的逆函數都是連續的，則稱 是一個同胚。

這似乎沒什麼，可是要注意到的是，它的另一種定義是

滿足條件 是開集當且僅當 是開集的雙射

這說明什麼？說明其實，每一個拓撲空間 中的開集，都可以通過一個映射，映射到一個 中的開集。這就其實保持了拓撲結構的一個完整性。根據這個特性，我們一般把同胚和抽代中的「同構」相比較。

下面這個定義有點像函數中的「限制」。

Definition:imbedding

設 是一個單射連續函數，設 （視為 的子空間），如果 恰好是一個同胚，那麼稱 是一個拓撲嵌入。

顯然是個雙射，不用我說了吧？我們來看幾個例子緩衝一下。

Example 1

函數 是一個同胚，因為 是逆函數，並且它們倆都是連續函數。

第二個例子則是一個反例。

Example 2

考慮映射 ，其中 為 的子空間，令 ，那麼函數是雙射並且連續，但是逆函數不連續。這是因為，開集 在 作用下的結果並不是一個開集，因為找不到一個開集 ，它涵蓋點 ，同時滿足 。

下面這個圖其實就描述了這個情況，紅色的矩形框定了範圍，而 處的任意一個鄰域都不完全落在矩形的範圍內。而需要提一下的是，我們考慮的是對應的子空間拓撲。

事實上，連續函數可以有很多種構造的方法，書上列舉了六種規則。整合成為了一個定理。

Theorem 2:

設 為拓撲空間，那麼

(1)(Constant function)若 把 中的所有元素映射到 中的一個點 ，那麼 為連續的。

(2)(Inclusion)若 是 的子空間，則包含函數 連續。

(3)(Composites)若 連續，那麼函數 連續。

(4)(Restricting the domain)若 連續， 是 的子空間，那麼 連續。

(5)(Restricting or expanding the range)如果 連續，則無論 是包含 的 的子空間，還是以 作為子空間， 均連續。

(6)(Local formulation of continuity)如果 可以被寫為開集 的並，並且滿足 對於每一個 連續。

有必要提一下的是，包含函數(inclusion function)是有特殊的定義的，它滿足 。

我們一個一個來看。

對於第一種，對於所有的 中的開集 ， 對應的只有兩種情況： ，無論如何都是開集。

對於第二種，若 是 中的一個開集，那麼 。這顯然是一個 中的開集（因為定義在了子空間拓撲上）。

對於第三種，如果 是 中的一個開集，那麼 是開集，緊接著就有 是開集，這已經證明了結論。

對於第四種，因為 （ 代表包含函數）都是連續函數，而目標函數 是它們倆的複合，所以自然也是連續的。

對於第五種，設 是連續函數，若 ，其中 是 的子空間。考察 （不改變映射規則）。設 是 中的開集，那麼 ，其中 是 中的一個開集。那麼因為 包含 ，所以 （標記一下，沒太想明白）。那麼因為 是連續的，就可以得到 為開集了。

另一種情況是 以 作為子空間，考慮的映射 。這個時候只需要考慮函數的複合 即可知道依然是連續的。

對於第六種，設 是 中的一個開集，那麼注意到 對於每一個條件中的 成立。結合 是連續的即可知道 為開集，那麼 自然也為開集，那麼自然結論成立。

其實這六種構造的證明都是有些難度的。因為如果針對映射考察連續性，其實是考察它們對應的拓撲的映射。這就導致這裡的證明大多數都比較零碎，需要之前的很多定義來補充。

下面介紹一個連續函數中常用的粘貼引理。

Theorem 3:pasting lemma

設 ，且 為閉集，設 為連續函數，那麼對於任意的 ， ，那麼可以構造一個函數 ，滿足 和 ，那麼 也是連續的。

首先要注意設 為 的一個閉的子集，那麼 都是各自拓撲空間上的閉集，由於 ，所以也是閉集，那自然就成立了。

這個引理相當於說，如果交集的地方相同，那麼就可以在相同的地方去找個膠布粘起來，那自然不會影響兩個拓撲的連續性。

那麼連續性在笛卡爾積的情況下是什麼呢？

Theorem 4:Maps into products

設 且 ，那麼當且僅當 都是連續函數的時候， 是連續函數。

我們證明一下這個結論。

看到這種函數顯然第一反應應該是投影函數。設 。那麼這些函數自然是連續的，因為 。而只要 是開集，對應的 就是開集。

顯然還需要注意到的是 。那麼如果 是連續的，根據複合， 就是連續的。反過來，如果 是連續的，那麼只需要證明，對於 中的任意一個開集 ， 都是開集。而 （因為 當且僅當 ）。而因為 開集和函數的連續性，自然可以得到 是開集，就證明了另一個方向，也就自然證明了結論。

要注意到的是，如果映射變為 ，那麼這個時候做維數的拆解，認為每一維連續（ 連續）可以推出總體的連續，是不正確的。

積拓撲（續）

確實我們在之前已經對這種結構做了一些研究，但是在上一節研究的積拓撲其實是二維的情況。這一節我們把這種積拓撲的情況推廣到了多維和無限維的兩種情況，這也就意味著可能會出現不同定義的拓撲，而事實也確實如此。並且我們也會對笛卡爾積的本身的定義再做一步推廣。

我們先來看看相關的定義。

Definition 1:J-tuple

設 是一個指標集，給定一個集合 ，那麼定義函數 ，且若 ，令 。並且定義 為這個函數本身，這個函數被稱為 (J元組)函數。而 一般定義為 的第 元分量。

這相當於把笛卡兒積做了進一步的推廣。之前我們討論的笛卡爾積的形式都是諸如 的形式，其實這相當於是令 。

把這個定義推廣之後，緊接著就是推廣的笛卡爾積的定義。

Definition 2:cartesian product

設 為指標集族，設 ，那麼定義 為所有的滿足對任意的 ，有 的J-元組 的集合。即為笛卡爾積

事實上推廣之後，對應的笛卡爾積的拓撲就不再只有積拓撲這一種了，具體為什麼也是根據定義決定的。

Definition 3:box topology

對一個笛卡爾積 取所有的滿足 為對應的 的開集的 的形式的族，若這一系列族為基元，則它們生成的拓撲定義為箱拓撲。

我想應該不難去check它們確實是基吧？驗證基一般檢查兩個條件。

第一個條件其實很容易，因為 本身就是一個基元。而第二個條件我們只需要證明，兩個拓撲的基的交依然是拓撲的基即可。而這可以根據 得到。

那麼為什麼說推廣後可能有不同的拓撲呢？看看下面這個不同的定義吧。

不要急，我知道你們有點煩了。

Definition 4:projection mapping

定義 為滿足 的映射，稱為投影映射。

其實就相當於說，把元組中的第 個元素挑出來的意思。

然後才是正統的新的定義。

Definition 5:product topology,product space

設 ，並定義 ，那麼定義由子基 生成的拓撲為積拓撲，而 為積空間。

因為每一個拓撲都是由基來決定的，因此考察這個子基生成的基的變化，可能會有所幫助。

首先我們要注意到的是：每一個基都可以寫成 的形式，其中每一個 是 的開集（這是因為 ，也就是說對於一個 而言，內部的兩個開集的交依然是開集，因此依然是 中的元素。而基又是通過子基的有限交得到，那麼其實如果想得到基，只需要在笛卡爾積的每一個分量中取一個元素去交即可）。知道這個之後呢？

和箱拓撲不同的是，積拓撲採用了子基的方式去定義，這就會出現一個問題：即使我的指標不是 中的任何一個，我其實也可以把對應的開集 直接定義為 ，那麼並不會影響 的結果（因為 就是原來的那個大的空間本身，那交一下也無所謂）。所以總結一下箱拓撲和積拓撲的區別，就是下面這個定理。

Theorem 5:

對於每一個空間 ，設它的基為 。那麼 就是空間 的箱拓撲的基。那麼如果對於有限多的指標 取 ，而剩下的取 ，以相同的形式生成的基，是相同空間的積拓撲的基。

另外要強調的是，之後討論這種笛卡爾積空間的拓撲，默認為積拓撲，因為箱拓撲具有一定的局限性。

下面的一些定理有一些都是我們之前討論積拓撲的時候已經證明過的，推廣證明也並不難。所以有的證明我們會直接跳過。

Theorem 6:

對於 ，設 為 的子空間，那麼 也是 的子空間，無論給定了什麼樣的拓撲。

我們不再證明。

Theorem 7:

設 為一系列空間的族， ，那麼無論 給定的是積拓撲還是箱拓撲，都有

（玩LaTeX那麼久了還是不知道怎麼寫長的上劃線emmmm……）

我們證明一下這個結論。

一方面，考慮 為 中的一個點，那麼一定存在一個基 為基元，包含點 。那麼根據上一節的結論，如果 ，那麼一定存在另一個元素 ，這樣的話就存在一個元素 ，既屬於集合 也屬於 。要注意到的是我們的集合 是包含 的任意集合，所以根據上一節的結論，有 。

另一方面，考察落在 中的點 ，只要證明 即可。設 為任意的包含 的 的開集。由於 是 的開集，那麼根據上一節的結論可以得到 點在 內。由於我們取的開集 是任意的，所以自然根據上一節的結論就有 。

有的人會好奇，默認為箱拓撲，到底會出現什麼局限性？考慮下面這個定理吧。

Theorem 8:

設 ， ，其中 ，若設 為積拓撲，那麼 連續當且僅當每一個 連續。

一方面，如果設 連續，那麼因為 就可以得到結論。另一方面，如果每一個 連續，那麼因為 （根據上面一行可得），而注意到 是子基，如果能夠證明每一個子基的逆都是開集，那也可以說明是連續的函數（想想為什麼）。而根據條件， 是開集，所以結論自然就成立了。

那麼如果考慮箱拓撲會出現什麼問題？

Example 3:

考慮一個集合 ，那麼定義函數 ， ，如果當作箱拓撲來看， 這個集合是一個開集，但是它的逆函數 在原來的集合就不是一個開集。因為如果是一個開集的話，那麼就相當於說存在一個集合 滿足 ，那麼就要求 對所有的 成立，那自然不可能是成立的。

所以說箱拓撲的局限性在於，它的所有的基都規定好是某一個開集，那麼其實就已經人為的添加了一個限定條件。（比方說對於任意的 這句話，其實無形中就已經添加了一個條件是 ）那麼面對無限維的笛卡爾積的情況箱拓撲自然就會出麻煩。

到此，我們算是零零散散的結束了這些內容。

小結

本節主要介紹了連續函數在拓撲中的概念和應用，同時也討論了積拓撲的拓展的情況。在下一節中我們會換一個方向，討論別的拓撲的應用和舉例。

這一節的內容對我來說比較難理解（雖然對於大家來說應該不算難的地方），加上近日的心境不定，所以拖了幾天才發，在此給大家道歉啦~

最後，今天適逢大年三十除夕日，祝大家新年快樂，狗年養狗愉快~

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