清華MOOC有限元課程學習筆記（五）

前言：

今天筆記的內容是純彎梁單元和一般梁單元的有限元分析，首先聲明一個問題，這裡說的純彎梁單元，不是材料力學裡的只受彎矩，不受剪力的純彎曲，而是一般狹義的彎曲變形，而一般梁單元，在節點受力是具有各類形式的，是材料力學中組合變形的範疇。

課程參考鏈接：QuYln：固體力學相關視頻公開課鏈接匯總中的（七），侵刪。

一、純彎梁（只發生彎曲變形）的單元分析：

（1）複習一下有限元的分析步驟：

幾何域離散→單元研究→剛度集成→處理位移邊界→求解支反力→求解其他物理場

（2）離散的方式複習：

自然離散（桿繫結構）；逼進離散（複雜結構）

（3）對於梁結構，直接進行自然離散，取出一個梁作為基本單元（自然離散）

（4）接下來進行單元研究，分別節點描述，場描述，單元方程建立。

首先進行節點描述：

由於純彎梁單元是以彎曲變形作為主導的，故在節點處，只受到以發生彎曲為主要形式的節點位移與節點力。沒有軸向力，扭矩等。

純彎梁單元有四個自由度（DOF)，自由度數是場變數（位移場）刻畫的依據。

（5）單元分析-場變數的描述：

因為有四個已知節點位移，所以整個場的位移函數可以有四個待定係數，可以用多項式進行模擬，故用三次多項式。

將四個位移條件帶入後，得到四個待定係數。

得到的多項式經過整理與重組，可以表述成新的形式，內積形式，為形狀函數矩陣N與節點位移列陣的內積。這個內積中，N為無量綱函數，其自變數用x/L來表述。

接下來，通過位移場來描述應變場與應力場。

關於梁的應變的描述，我再推導一下材料力學公式給大家作為複習。

這個公式的幾個注意事項：

第一個是線應變的定義，它是用y處弧長減去中性層弧長除以中性層弧長來計算的，因為中性層被認為是沒有伸長量的部分；

第二個是曲率的近似表達，用撓度函數來計算曲率，並忽略分母；

第三個是正負號，這個與建系有關，不同教材可能不一致。

對撓度函數（位移函數）對x求二階導數，實際上就是對形狀函數矩陣的每一項對x求二階導數。後面的節點位移列陣保持不變。從原先的形狀函數矩陣N得到了幾何矩陣B。

有了幾何矩陣，再通過本構關係求解應力就很容易了。

注意這裡所提到的各種名詞：

節點位移列陣，節點力列陣，撓度函數（位移函數），形狀函數矩陣，幾何矩陣，應力矩陣的概念，來源，用途。

（6）單元的剛度方程建立：

應用最小勢能原理之前，先計算總體的勢能，外力勢能加應變能。

總勢能對節點位移的一階變分得零，得到剛度方程。

二、一般梁單元（組合變形）的單元分析：

（1）對於2D一般梁單元，也就是我們所常見的拉彎組合變形，壓彎組合變形。它的節點位移有6個，同樣的，節點力有6個，單元剛度矩陣的維度變成了6×6。

（2）一般梁單元在線性彈性，小變形的情況下，採用疊加原理，拆解成一般梁單元與桿單元，分別求其剛度矩陣，再進行裝配即可得到一般梁單元的剛度矩陣。

（3）對於3D一般梁單元來說，問題就更加複雜了，每一個節點具有6個節點位移分量，6個節點力分量（相當於3D剛體在3D空間不受約束時的自由度）。

（4）對於相當複雜的3D一般梁單元，依然要採用疊加原理。

分解成桿單元（拉壓），扭轉單元，以及兩個方向上的純彎梁單元。

再對每一個剛度矩陣進行集成，就可以得到3D一幫梁單元的剛度矩陣。

形式很複雜，原理很簡單。

三、梁單元的坐標變換：

（1）平面梁單元的坐標變換：

這裡要注意一個問題，轉角是不需要坐標變換的。因為轉角在平面坐標系中相對於哪一個系轉動的結果都是一致的。

另外，這裡的坐標轉換矩陣是6×6的，因為兩個坐標系描述都為6個節點位移分量；而之前的桿單元，是從兩個節點位移變為4個節點位移，故矩陣維度為2×4。

（2）空間一般梁單元的坐標變換：

空間梁的坐標變換不光要考慮節點線位移還要考慮節點角位移。

直接考慮角位移是非常難考慮的，所以可以通過理論力學中「角速度和角速度矢量」的關係，通過右手螺旋法則，把其轉化為一個矢量。

轉化為一個矢量之後，就和節點線位移的考慮方式完全相同了。

四、分布力的處理：

（1）對於分布力的處理，核心是轉化為節點力。稱之為等效節點載荷。

（2）處理方式為，在最小勢能原理的外力功表達式中，帶入位移場，通過形狀函數矩陣的計算得到等效節點載荷。

（3）給出常用的列表：

推薦閱讀：