Kunen. Set Theory 第一版第二章無窮組合（二）

02-16

（題圖馬丁繼續維基）

這一節很長……內容很多。補充一些約定（可能（一）的習題已經涉及到了……）：在拓撲中：我們用 $overline{A}$ 表示集合 $A$ 的閉包，有時也用 $ext{cl}(A)$ 來表示； $ext{int}(A)$ 則表示內部； $A^c$ 表示 $A$ 的補集。

第二節馬丁公理

如果連續統假設不成立，即 $2^omega > omega_1$ ，如下幾個問題的提出將會是自然的：

如果 $kappa < 2^omega$ ，那麼是否 $2^kappa = 2^omega$ ？
如果 $kappa < 2^omega$ ，那麼是否不可能有 $kappa$ 大小的極大不交族？
如果 $kappa < 2^omega$ ，那麼 $kappa$ 個 $mathbb{R}$ 上的勒貝格零測集的並是否是零測集？
如果 $kappa < 2^omega$ ，那麼 $kappa$ 個 $mathbb{R}$ 上的第一綱集的並是否仍是第一綱的？

前兩問是純無窮組合的問題，第三個則是關於勒貝格測度理論，第四個則是關於拓撲。由於命名問題，我大概寫一下比較常見的定義。

稱 $mathbb{R}$ 的一個子集為零測集（null set），如果對任意 $epsilon > 0$ ，都有勒貝格測度總和 $le epsilon$ 的可數個開（閉）區間，使得它可以被這些開（閉）區間的並覆蓋。舉例：任意可數的集合都是零測的，不可數的零測集合的例子有康托集，且它的基數是 $2^omega$ 。

稱一個集合為無處稠密的（nowhere dense），如果它閉包的內部是空集；稱一個集合為第一綱集（第一類型集，貧乏集，meagre set），如果它是可數個無處稠密集的並。舉例：豪斯道夫空間（滿足 $ext{T}_2$ 公理）中，單點集是無處稠密集，特殊地， $mathbb{R}$ 中單點集是無處稠密集，所以有理數集是第一綱集。

很顯然，如果一個集合是第一綱集，那它能被一族可數的閉無處稠密集的並覆蓋，反過來也是如此。在我們之後的證明中，我們用到的是能夠被可數閉無處稠密集覆蓋的定義，兩者是等價的。

在之後的論證中，由於方便，零測集也會使用到另一種定義，而兩者之間的等價是依賴於一個性質，寫在下面。

對任意 $mathbb{R}$ 的開集， $mathcal{O}$ ，存在至多可數個兩兩不交開區間 $I_n(n < omega)$ 滿足 $mathcal{O} = igcup_{n < omega}I_n$ 。

上面的性質我是了解自實分析|筆記整理（1）——概念引入，外測度 - 劉理的文章 - 知乎，具體的證明也可以參考。這裡就不寫了。

有了這個性質，下列定義是合理的，我們直接作為性質給出。

$mathbb{R}$ 的一個子集為零測集當且僅當對任意 $epsilon > 0$ ，有勒貝格測度 $le epsilon$ 的開集覆蓋它。

如果 $kappa = omega$ ，那麼這四個問題都是肯定的答案，第一個問題是顯然的，第二個問題在第一節中已經證明（1.2），由於並非本節重點，且其它地方都有證明，下面僅僅粗略證明一下 3，4。

對於 3，假設有可數個零測集，設為 $N_i (i in omega)$ ，對於任意 $epsilon$ ，根據定義，有可數的開區間集 ${C_{i, j} :j in omega}$ 覆蓋 $N_i$ 且 $sum_{j in omega}lambda(C_{i, j})<frac{epsilon}{2^{i + 1}}$ ，那麼 ${C_{i, j} : i, j in omega}$ 覆蓋 $igcup_{i in omega}N_i$ ，且 $sum_{i, j in omega}lambda(C_{i, j})<sum_{i in omega}frac{epsilon}{2^{i + 1}}=epsilon$ ，且 ${C_{i, j} : i, j in omega} = igcup_{i in omega}{C_{i, j} : j in omega}$ 是可數個可數集合的並，所以可數，由此根據定義 $igcup_{i in omega}N_i$ 是零測集。
對於 4，假設有可數個第一綱集，設為 $M_i(i in omega)$ ，假設對每個 $i in omega$ ， $M_i = igcup_{j in omega}W_{i, j}$ ，其中 $W_{i, j}$ 是無處稠密集，顯然 $igcup_{i in omega}M_i = igcup_{i in omega} igcup_{j in omega}W_{i, j} = igcup_{i, j in omega}W_{i, j} = igcup_{k in omega}W_{f(k)}$ ，其中 $f$ 為任意的從 $omega$ 到 $omega imes omega$ 的等勢函數，所以 $igcup_{i in omega}M_i$ 是可數個無處稠密集的並，即它是第一綱集。

所以，若 $kappa = omega$ ，以上四個問題都是肯定的，但對 $omega < kappa < 2^omega$ ，通過力迫法可以知道這些問題的答案在 $ext{ZFC} + eg ext{CH}$ 中是不可知的。

但是直覺上來說，比較容易接受的是這些問題對於任意 $kappa < 2^omega$ 都是成立的，因為通常會認為它們具有與 $omega$ 相類似的性質。Cohen 用力迫法證明了第一個問題的肯定的答案是與 $eg ext{CH}$ 一致的，但問題 2-4 比較困難，Solovay 用他和 Tennenbaum 發明的叫 iterated forcing 的方法（迭代力迫）證明了這些問題的肯定回答與 $eg ext{CH}$ 一致。之後 Martin 發現，這些問題的肯定答案可以被同一個公理容納，這個公理現在被人們稱為 Martins Axiom( $ext{MA}$ )。根據迭代力迫法可以證明 $ext{MA} + eg ext{CH}$ 是一致的，之後用純組合學的方法就可以證明這四個問題的肯定的回答。

馬丁公理並不像是一個直觀上顯然的公理，由於我自身並不怎麼理解透徹，所以暫時把未經翻譯的原文搬過來。

Unlike the basic axioms of $ext{ZFC}$ , $ext{MA}$ dose not pretend to be an "intuitively evident" principle, and in fact at first sight it seems strange and ill-motivated. Its original motivation grew out of the technical details of certain forcing arguments, although in this book we shall attempt to motivate forcing by our treatment of $ext{MA}$ .

我的理解是，馬丁公理的內容對於力迫法啟發頗大，形式也非常接近，但是它的發展就是依賴於力迫法的某些技術細節，雖然並不依賴於力迫法，但是沒有學過力迫法的話可能覺得形式非常古怪，很難理解。

馬丁公理可以在拓撲的語言中用很簡單的方式定義，但是不好應用，這裡先採用的是偏序集上的定義方式，而這兩者之間的等價將會在第三節證明。

首先先確定關於偏序集的定義，這裡偏序集的定義與現在通常使用的不太一樣。

定義2.1 (a) 偏序集是一有序對 $langle mathbb{P} , le angle$ 使得 $mathbb{P} eq emptyset$ 且 $le$ 是 $mathbb{P}$ 上的傳遞自反關係， $p le q$ 讀作 " $p$ extends $q$ "， $mathbb{P}$ 中元素被稱為條件（conditions）。
(b) $langle mathbb{P}, le angle$ 被稱作嚴格意義上的偏序如果 $le$ 滿足反對稱性，即 $forall p, q(p le q land q le p ightarrow p = q)$ 。在這種情況下，定義 $p < q$ 當且僅當 $p le q land p eq q$ 。

如果不引起歧義，一般就用 $mathbb{P}$ 或者 $le$ 來表示偏序。

注意到 (b) 才是通常用的偏序，但在這裡一般使用 (a)，因為這一定義在將來更有用（本書第八章），而且這一定義在這裡並不會給我們帶來額外的麻煩。

定義2.2 令 $langle mathbb{P} , le angle$ 是一偏序：
(a) 稱集合 $C subset mathbb{P}$ 為 $mathbb{P}$ 中的鏈（chain）如果 $forall p, q in C(p le q lor q le p)$ 。
(b) 稱 $p, q in mathbb{P}$ 是相容的（compatible）如果 $exists r in mathbb{P}(r le p land r le q)$ ，反之，則稱為不相容的（incompatible），用 $p perp q$ 表示。
(c) 稱集合 $A subset mathbb{P}$ 為 $mathbb{P}$ 中的反鏈（antichain）如果 $forall p, q in A(p eq q ightarrow p perp q)$ 。
定義2.3 偏序集 $langle mathbb{P} , le angle$ 具有可數反鏈性質（countable chain condition, c.c.c.）當且僅當所有 $mathbb{P}$ 中反鏈都是可數的。

在第一節已經提到的，各種情形下定義的 c.c.c. 本質上都是相同的內容，為什麼這麼說呢？就拿現在我們有的兩個（拓撲中和偏序中） c.c.c. 的定義來說，其實是因為在偏序中存在一個給定的拓撲，反過來也是這樣。之後會在布爾代數中定義 c.c.c.，也是一樣的。下面的幾個例子中的一些反映了這樣的特性。

Example 1. $mathbb{P} = omega_1$ 在序數的通常序下構成偏序集。任何 $mathbb{P}$ 的子集都是 $mathbb{P}$ 中的鏈，但 $mathbb{P}$ 中反鏈一定只有一個元素，所以 $mathbb{P}$ 具有 c.c.c.。
Example 2. 令 $X$ 是任意非空集合， $mathbb{P} = mathscr{P}(X) ackslash {emptyset}$ ，其上偏序為 $p le q leftrightarrow p subset q$ ，則 $p perp q$ 當且僅當 $p cap q = emptyset$ ， $A subset mathbb{P}$ 為反鏈當且僅當其中元素是兩兩不交的，所以如果 $|X| le omega$ ，那麼 $mathbb{P}$ 具有 c.c.c.。
Example 3. 令 $X$ 是任意拓撲空間， $mathbb{P} = {p subset X : p ext{ is open} land p eq emptyset}$ ，其上偏序 $p le q leftrightarrow p subset q$ ，同 Example 2， $p perp q$ 當且僅當 $p cap q = emptyset$ ，於是如果 $X$ 具有在拓撲意義上的 c.c.c.（定義1.7），那麼 $mathbb{P}$ 也有。
Example 4. 令 $mathscr{B}$ 是任意布爾代數， $mathbb{P} = mathscr{B} ackslash {emptyset}$ ，偏序就是布爾代數的偏序，那麼 $p perp q$ 當且僅當 $p cdot q = 0$ 。

儘管第三第四個例子在我們探討了更加抽象的內容之後也十分重要，我們將先舉出第五個例子，是比較典型的馬丁公理的應用。

定義2.4 令 $langle mathbb{P}, le angle$ 是偏序集，稱集合 $D subset mathbb{P}$ 是在 $mathbb{P}$ 中稠密的（dense）當且僅當 $forall p in mathbb{P} exists q le p(q in D)$ 。稱集合 $G subset mathbb{P}$ 為 $mathbb{P}$ 中的濾（filter）如果滿足下面兩個條件：
(a) $forall p, q in G exists r in G(r le p land r le q)$
(b) $forall p in G forall q in mathbb{P}(p le q ightarrow q in G)$ 定義2.5 $ext{MA}(kappa)$ 是如下命題：對任意非空 c.c.c. 偏序集 $langle mathbb{P}, le angle$ ， $mathscr{D}$ 是 $mathbb{P}$ 的稠密子集族，且 $|mathscr{D}| le kappa$ ，則存在 $mathbb{P}$ 中的濾 $G$ 滿足 $forall D in mathscr{D}(G cap D eq emptyset)$ 。 $ext{MA}$ 是如下命題： $forall kappa < 2^omega( ext{MA}(kappa))$ 。

直觀上來說，條件（condition）說了一些關於 $G$ 的事情， $p le q$ 意味著 $p$ 比 $q$ 強，濾的定義也告訴了我們這一點，因為直覺上，強的條件可以推出弱的條件，而強的條件如果在濾里，那麼弱的也在，且沒有「不相容」的條件在同一個濾中。

我們現在要構造的第五個例子也佐證了這一點。

Example 5. 令 $mathbb{P}$ 是從 $omega$ 到 $2$ 的有窮部分函數所構成的集合： $mathbb{P} = {p: p subset omega imes 2 land |p| < omega land p ext{ is a function}}$ 。
令 $p le q$ 當且僅當 $q subset p$ ，即在函數的意義上 $q$ 是 $p$ 的 extension。那麼 $p$ 與 $q$ 相容當且僅當它們在函數的意義上相容，即在 $ext{dom}(p) cap ext{dom}(q)$ 上，他們的取值是相等的，這樣顯然 $p cup q$ 是它們共同的擴張。

$|mathbb{P}| = omega$ ，所以 $mathbb{P}$ 顯然具有 c.c.c.。如果 $G$ 是 $mathbb{P}$ 上的濾，我們考慮 $f = f_G = igcup G$ ，由於 $G$ 中兩兩元素互相都是相容的，那麼 $f_G$ 是一個函數，它的定義域 $ext{dom}(f_G) subset omega$ ，它可以很小，比如 $emptyset$ 為一個濾， $igcup emptyset = emptyset$ ，它是空函數，定義域是空集。
不過通過某種方式，如果能夠讓 $G$ 與許多許多稠密集相交，那麼可以令 $f$ 包含的信息非常大，非常 "Generic"（不知道怎麼翻譯）。
對任意 $n in omega$ ，令 $D_n = {p in mathbb{P} : n in ext{dom}(p)}$ ，對任意 $p in mathbb{P}$ ，如果 $n otin ext{dom}(p)$ ，不妨把 $langle n, 1 angle$ 加進去就好了。這樣的話，對任意 $n in omega$ ， $D_n$ 是稠密的。
現在假設我們知道存在一個 $mathbb{P}$ 中的濾 $G$ ，使得 $forall n in omega(G cap D_n eq emptyset)$ ，那麼 $ext{dom}(f_G) = omega$ 。那如果我們不想讓這個函數是常值函數，即不想讓它的取值只有 $0$ ，那麼令 $E = {p in mathbb{P} : exists n in ext{dom}(p)(p(n) = 1)}$ ，由於 $mathbb{P}$ 中都是有窮函數，易知 $E$ 也是稠密的，如果 $G$ 與之相交非空，我們就知道 $f_G$ 的某個值一定是 $1$ 。
此外，如果我們可以的話，我們甚至可以令它與很多很多已經給定的函數不一樣。對任意 $h: omega o 2$ ，我們令 $E_h = {p in mathbb{P} : exists n in ext{dom}(p)(p(n) eq h(n))}$ ，易證 $E_h$ 是稠密的，所以如果 $G cap E_h eq emptyset$ ，則 $f_G eq h$ 。
如果令令 $mathscr{D} = {D_n : n in omega} cup {E_h : h in sideset{^omega}{}2}$ ， $|mathscr{D}| = 2^omega$ ，那，假設有 $ext{MA}(2^omega)$ ，即，如果 $G$ 與其中所有集合的相交， $f_G$ 是不同於所有 $omega o 2$ 的函數，但根據前面的論證 $f_G$ 本身也是其中一員，這是不可能的。

以上例子的後半部分構成了 $ext{MA}(2^omega)$ 的否定的論證，即 $ext{MA}(2^omega)$ 是錯的。但前半部分中也有許多的假設，比如我們要找到濾 $G$ 與任意 $D_n$ 相交，這是一個 $omega$ 大小的集合族，也就是說要正確應用的話，需要證明 $ext{MA}(omega)$ 。

引理2.6 (a) 如果 $kappa < kappa^prime$ ，那麼 $ext{MA}(kappa^prime) ightarrow ext{MA}(kappa)$ 。
(b) $ext{MA}(2^omega)$ 否定。
(c) $ext{MA}(omega)$ 肯定。
證明：(a) 是顯然的，(b) 已經存在上面的反例，所以錯誤。對於 (c)，假設 ${D_n : n in omega }$ 是可數個稠密子集，任取 $p_0 in mathbb{P}$ ，根據稠密集的性質，對任意 $n in omega$ ，遞歸地構造 $p_{n + 1} le p_n land p_{n + 1} in D_n$ ，這樣 $p_0 ge p_1 ge p_2 ge dots$ ，令 $G$ 是 ${p_n : n in omega}$ 生成的濾，即， $G = {q in mathbb{P} : exists n(q ge p_n)}$ ，則 $G$ 符合條件。

(c) 的一個推論是 $ext{CH} ightarrow ext{MA}$ ，因為 $2^omega$ 之下只有 $omega$ 。 $ext{MA}$ 與 $2^omega$ 是任意正則基數都是相容的，並且 $ext{MA}$ 蘊涵 $2^omega$ 正則，這是本節的內容（推論 2.19），敬請期待。

上面的證明沒有用到 c.c.c. 的條件，就會有人想，啊，那麼可不可以把 $ext{MA}$ 命題中的 c.c.c. 去掉。很遺憾，下面的例子告訴我們這麼做會讓 $ext{MA}$ 變得一文不值。

Example 6. 令 $mathbb{P} = {p : p subset omega imes omega_1 land |p| < omega land p ext{ is a function}}$ ，其它同 example 5，對任意 $alpha < omega_1$ ，我們令 $D_alpha = {p in mathbb{P} : alpha in ext{ran}(p)}$ ，易知它是稠密的，但 $mathbb{P}$ 不具有 c.c.c.，如果我們錯誤地運用了 $ext{MA}$ ，我們的得到如下的函數 $f = f_G = igcup G$ ，其中 $G$ 是 $mathbb{P}$ 的濾且 $forall alpha in omega_1(G cap D_alpha eq emptyset)$ ，這意味著 $forall alpha in omega_1(alpha in ext{ran}(f))$ ，即 $f$ 是從 $omega$ 到 $omega_1$ 的滿射，這是荒謬的。

以上例子說明了，如果忽略 c.c.c.，那麼對任意 $kappa > omega$ ， $ext{MA}(kappa)$ 是平凡地錯誤的。

接下來，我們就要探討 $ext{MA}$ 的實際運用了，我們要研究它究竟怎麼回答本節一開始提出的四個問題。問題 1、2 和 4 將在同一個偏序集下被回答，儘管這個偏序集乍一看起來好像只和問題 2 有關係。

定義2.7 令 $mathscr{A} subset mathscr{P}(omega)$ ，幾乎不交集偏序， $mathbb{P}_mathscr{A}$ ，是如下集合：
${ langle s, F angle : s subset omega land |s| < omega land F subset mathscr{A} land |F| < omega}$ ，
其上偏序關係為， $langle s^prime, F^prime angle le langle s, F angle$ 當且僅當
$s subset s^prime land F subset F^prime land forall x in F(x cap s^prime subset s)$ 。

它是偏序關係是易證的。

直觀上，從目的來說，我們是要，通過某種方式，構造一個與 $mathscr{A}$ 中元素幾乎不交的 $d$ （是通過有序對的 $s$ 的部分構造的），使得只要 $langle s, F angle in G$ ，我們就有 $s subset d land forall x in F(d cap x subset s)$ （2.9，2.10），而 $s$ 有窮，這樣，如果我們可以通過某種方式（馬丁公理正是為了保證這一點）使得 $mathscr{A}$ 中任何元素都在某個 $F$ 中出現（2.11-2.15），且某個 $s$ 使得 $langle s, F angle in G$ 並且 $d cap x subset s$ ，我們的目的就達成了。而為實現這一點，除了馬丁公理的應用，還有個問題要解決，那就是在擴張 $langle s, F angle$ 成 $langle s^prime, F^prime angle$ 的時候，不會給我們「意外之喜」。這就是為什麼上面要這麼定義偏序：如果存在 $x in F^prime$ 使得 $x cap s^prime otsubset s$ ，那麼我們可能會將某個元素放進 $d$ 里，且 $d cap x otsubset s$ 。

引理2.8 在 $mathbb{P}_mathscr{A}$ 中， $langle s_1, F_1 angle$ 與 $langle s_2, F_2 angle$ 相容當且僅當
$forall x in F_1(x cap s_2 subset s_1) land forall x in F_2(x cap s_1 subset s_2)$ ，

而 $langle s_1 cup s_2, F_1 cup F_2 angle$ 是他們共同的擴張。
證明：「 $Leftarrow$ 」只需驗證滿足條件情況下， $langle s_1 cup s_2, F_1 cup F_2 angle le langle s_1, F_1 angle$ 且 $langle s_1 cup s_2, F_1 cup F_2 angle le langle s_2, F_2 angle$ 即可，而這是由定義立即得到的。「 $Rightarrow$ 」，令 $langle s, F angle le langle s_1, F_1 angle$ 並且 $langle s, F angle le langle s_2, F_2 angle$ ，則 $s_1 cup s_2 subset s$ 且 $F_1 cup F_2 subset F$ 且 $forall x in F_i(x cap s subset s_i)(i = 1, 2)$ ，這蘊含著 $forall x in F_1(x cap s_2 subset s_1) land forall x in F_2(x cap s_1 subset s_2)$ 。證畢。

引理2.8 中的條件可以轉換成

$forall x in F_1 forall n in x ackslash s_1(n otin s_2) land forall x in F_2 forall n in x ackslash s_2(n otin s_1)$ ；

這樣就說明，對相容的兩元素，不會有這個「力迫」 $n in d$ ，但另外一個說 $n otin d$ 。

以上很多都是十分直觀地解釋，接下來就要將它們化為現實。

定義2.9 如果 $G$ 是 $mathbb{P}_mathscr{A}$ 中的濾，令 $d_G = igcup{s : exists F(langle s, F angle in G)}$ 。
引理2.10 如果 $G$ 是 $mathbb{P}_mathscr{A}$ 中的濾， $langle s, F angle in G$ ，則我們有 $forall x in F(x cap d_G subset s)$ 。
證明：由於 $d_G = igcup{s : exists F(langle s, F angle in G)}$ ，只需要證明對任意 $langle s^prime, F^prime angle in G$ ，有 $forall x in F(x cap s^prime subset s)$ ，而由濾的定義， $langle s, F angle$ 與 $langle s^prime, F^prime angle$ 相容，由引理2.8，結論是顯然的。證畢。
定義2.11 對任意 $x in mathscr{A}$ ，定義 $D_x = { langle s, F angle in mathbb{P}_mathscr{A} : x in F }$ 。
引理2.12 如果 $G$ 是 $mathbb{P}_mathscr{A}$ 中的濾，且 $G cap D_x eq emptyset$ ，則 $|x cap d_G| < omega$ 。

證明： $G cap D_x eq emptyset$ ，這說明存在 $langle s, F angle in G$ 且 $x in F$ ，根據引理2.10，我們知道 $x cap d_G subset s$ ， $|s| < omega$ ，故 $|x cap d_G| < omega$ 。證畢。
引理2.13 如果 $x in mathscr{A}$ ，則 $D_x$ 在 $mathbb{P}_mathscr{A}$ 中稠密。
證明：對任意 $langle s, F angle in mathbb{P}_mathscr{A}$ ，若 $x in F$ ，則 $langle s, F angle in D_x$ ，若 $x otin F$ ，顯然 $langle s, F cup {x} angle le langle s, F angle$ ，而 $langle s, F cup {x} angle in D_x$ 。證畢。
引理2.14 $mathbb{P}_mathscr{A}$ 有 c.c.c.。
證明：假設有不可數的反鏈，設為 ${langle s_xi, F_xi angle : xi < omega_1}$ ，它們兩兩不相容，注意到如果 $s_xi = s_eta$ ，則 $langle s_xi, F_xi angle$ 與 $langle s_eta, F_eta angle$ 相容，所以 $s_xi$ 應該兩兩不同，但是 $s_xi subset omega$ 且 $s_xi$ 有窮，這些 $s_xi$ 總共不會超過 $omega$ 個，矛盾。證畢。

如果我們現在離開這裡抽象的表達，暫且著眼於一個具體的問題，即問題 2，那麼我們的運用已經有一些清晰的眉目了，但仍舊有一些問題：現在已經有了 c.c.c. 了，而且有了這麼多（ $|mathscr{A}|$ ）個稠密集，如果現在運用馬丁公理，我們就可以得到某個 $d = d_G$ ，其中 $G$ 與任何 $D_x$ 相交，根據引理2.12，這個 $d$ 與 $mathscr{A}$ 中任何元素都是「幾乎」是幾乎不交的，我們也「幾乎」達到了目的。為什麼要加上「幾乎」？問題出在哪裡？

回憶幾乎不交族的定義，我們發現我們還需要 $|d_G| = omega$ 。而我們要達到這一點，只需要 $d_G$ 無界就好了。但這需要一個條件。我們假設，存在某個有窮的 $F subset mathscr{A}$ ， $igcup F$ 是余有窮的，那麼如果找到了一個 $d$ 與 $F$ 中任意元素幾乎不交，則 $d cap igcup F$ 有窮，但 $omega$ 中剩下的部分也是有窮的， $d$ 只有可能是有窮的！所以我們必須滿足對 $mathscr{A}$ 的任意有窮子集 $F$ 都有 $igcup F$ 不是余有窮的，對問題 2 來說，這個是顯然的，但通常的情況不一樣。

滿足了這個條件之後，接下來就是下面的定理的事情了。要讓 $d$ 變得足夠大，變得無界，我們有很好的工具——馬丁公理——幫我們達到這個目標。要是我們對每個 $n$ 都可以構造一個稠密集，讓其中的 $langle s, F angle$ 中的 $s$ 都超出 $n$ 之外，我們就可以達到目標。如果我們從問題 2 中抽離出來，我們甚至可以達到更一般的結論，為其它的問題做準備：

定理2.15 假設 $ext{MA}(kappa)$ 成立，令 $mathscr{A, C subset P}(omega)$ ，且 $|mathscr{A}| le kappa$ ， $|mathscr{B}| le kappa$ ，並假定對任意 $y in mathscr{C}$ ，任意 $F subset mathscr{A}$ ，我們有 $|y ackslash igcup F| = omega$ ，則存在 $d subset omega$ ，使得 $forall x in mathscr{A}(|d cap x| < omega)$ 且 $forall y in mathscr{C}(|d cap y| = omega)$ 。
證明：對任意 $y in mathscr{C}$ ，任意 $n in omega$ ，令 $E^y_n = {langle s, F angle in mathbb{P}_mathscr{A} : s cap y otsubset n }$ 。對於任意 $langle s, F angle in mathbb{P}_mathscr{A}$ ，由題設， $|y ackslash igcup F| = omega$ ，即無界，我們可以找到 $m in y ackslash igcup F$ 使得 $m > n$ ，下面驗證 $langle s cup {m}, F angle le langle s, F angle$ ，只需驗證 $forall x in F(x cap (s cup {m}) subset s)$ ，但我們知道——而我們也就是為了這個而這麼取—— $m in y ackslash igcup F$ ，那麼對任意 $x in F$ ， $m otin x$ ，所以我們有 $langle s cup {m}, F angle le langle s, F angle$ ，又，顯然 $langle s cup {m}, F angle in E^y_n$ ，我們得知 $E^y_n$ 是 $mathbb{P}_mathscr{A}$ 中稠密的。
我們看看有多少個 $E^y_n$ 這樣的稠密集，由 $n in omega, y in mathscr{C}$ ，它們總共應該不超過 $|omega imes mathscr{C}|$ 個，而它顯然不超過 $kappa$ ，又，形如 $D_x$ 的稠密集有 $|mathscr{A}| le kappa$ 所以如果我們令 $mathscr{D} = {D_x : x in mathscr{A} } cup {E^y_n : y in mathscr{C} land n in omega }$ ，我們立即知道 $|mathscr{D}| le kappa$ ，運用 $ext{MA}(kappa)$ ，存在 $G$ 是 $mathbb{P}_mathscr{A}$ 中的濾與 $mathscr{D}$ 中任意元素相交，與 $D_x$ 相交意味著——我們前面已經證過—— $|d_G cap x| < omega$ ，而與 $E^y_n$ 相交，不妨設 $langle s, F angle in G cap E^y_n$ ，那麼 $s cap y otsubset n$ ，即存在 $m > n$ ， $m in s cap y$ ，而 $langle s, F angle in G$ 意味著 $s subset d_G$ ，這樣的話，對任意 $y in mathscr{C}$ ，對任意 $n in omega$ ，都有 $m in d_G cap y$ 使得 $m > n$ ，這說明了對任意 $y in mathscr{C}$ ， $d_G cap y$ 無界，即 $|d_G cap y| = omega$ 。證畢。

這直接回答了問題 2：

推論2.16 令 $mathscr{A} subset mathscr{P}(omega)$ 為任意基數為 $kappa$ 的幾乎不交族，其中 $omega le kappa < 2^omega$ ，假定 $ext{MA}(kappa)$ 成立，則 $mathscr{A}$ 不是極大的。
證明：在定理2.15 中取 $mathscr{C} = {omega}$ ，顯然對任意有窮 $F subset mathscr{A}$ ， $|omega ackslash igcup F| = omega$ ，這是因為 $mathscr{A}$ 是幾乎不交族，但 $mathscr{A}$ 是無窮的， $mathscr{A} ackslash F$ 非空，不妨假設 $x in mathscr{A} ackslash F$ ，那麼 $x cap igcup F$ 有窮，而 $x$ 無窮， $x ackslash igcup F$ 應該是無窮的，於是 $omega ackslash igcup F supset x ackslash igcup F$ 也應該是無窮的。
所以我們可以應用定理2.15，即，存在 $d subset omega$ 滿足對所有 $x in mathscr{A}$ ， $|d cap x| < omega$ ，而 $|d| = |d cap omega| = omega$ 。證畢。

問題 2 已經回答完畢，接下來處理問題 1。

引理2.17 令 $mathscr{B} subset mathscr{P}(omega)$ 是基數為 $kappa$ 的幾乎不交族，其中 $omega le kappa < 2^omega$ 。令 $mathscr{A subset B}$ ，假設 $ext{MA}(kappa)$ 成立，則存在一個 $d subset omega$ 使得 $forall x in mathscr{A}(|d cap x| < omega)$ 且 $forall x in mathscr{B}(|d cap x| = omega)$ 。
證明：如果我們能證明對任意 $y in mathscr{B ackslash A}$ ，任意 $F subset mathscr{A}$ ，有 $|y ackslash igcup F| = omega$ ，那麼運用定理2.15 的條件就湊齊了，而很顯然，由於 $mathscr{B}$ 是幾乎不交族， $y cap igcup F$ 有窮，但 $y$ 的基數是 $omega$ ，所以 $|y ackslash igcup F| = omega$ 。這樣，運用定理2.15，立得結論。證畢。

書上說 2.15-2.17 都是 Solovay 的結論，然後他想通過 2.17 將 $kappa$ 的子集編碼到 $omega$ 的子集。

2.15-2.17 are due to Solovay, who used Lemma 2.17 as a means of encoding subsets of $kappa$ by subsets of $omega$ .

我們觀察引理2.16 中的 $mathscr{A}$ ，它是 $kappa$ 大小的 $mathscr{B}$ 的子集，與任何 $mathscr{A}$ 對應的都有個 $d subset omega$ ，滿足 $d$ 與 $mathscr{A}$ 裡面的相交有窮，與外面的相交無窮，這樣就提示我們可以用某種對應把它們對應起來，以回答我們的問題 1。

定理2.18 $ext{MA}(kappa) ightarrow 2^kappa = 2^omega$ 。
證明：首先固定一個基數為 $kappa$ 的幾乎不交族 $mathscr{B}$ ，存在性是由定理1.3 保證的。考慮 $mathscr{P(B)}$ ，令 $varPhi : mathscr{P(omega) o P(B)}$ 為這樣的函數： $varPhi(d) = {x in mathscr{B} : |d cap x| < omega}$ ，這樣，根據引理2.17，我們知道這個函數是滿射，所以 $2^kappa = mathscr{|P(B)| le |P(omega)|} = 2^omega le 2^kappa$ ，於是 $2^omega = 2^kappa$ 。證畢。
推論2.19 $ext{MA} ightarrow 2^omega ext{ is regular}$ 。
證明：根據定理2.18， $ext{MA}$ 意味著對任意 $omega le kappa < 2^omega$ ， $2^kappa = 2^omega$ ，但是根據寇尼希定理（K?nigs Theorem）， $ext{cf}(2^omega) = ext{cf}(2^kappa) > kappa$ ，那麼顯然 $ext{cf}(2^omega)$ 只能是 $2^omega$ 。證畢。

可能需要提一下寇尼希定理（本書第一章 10.40-10.41），上面用到的是 $forall kappa ge omega( ext{cf}(2^kappa) > kappa)$ ，它是 $forall kappa ge omega(kappa^{ ext{cf}(kappa)} > kappa)$ 的直接推論。

K?nigs Theorem. If $kappa$ is infinite and $ext{cf}(kappa) le lambda$ , then $kappa^lambda > kappa$ .
Proof. Fix any cofinal map $f: lambda o kappa$ . Let $G: kappa o sideset{^lambda}{}kappa$ . We show that $G$ cannot be onto. Define $h: lambda o kappa$ so that $h(alpha)$ is the least element of
$kappa ackslash{(G(mu))(alpha): mu < f(alpha)}$ .
Then $h otin ext{ran}G$ .

大致翻譯一下就是，我們要找一個不在值域里的來證明 $G : kappa o sideset{^lambda}{}kappa$ 不是滿射，然後我們根據共尾的性質，構造 $h: lambda o kappa$ 使得 $h(alpha)$ 是 $kappa ackslash{(G(mu))(alpha): mu < f(alpha)}$ 中最小的（它顯然非空，如果它空，那麼 $k : f(alpha) o kappa, mu mapsto (G(mu))(alpha)$ 就是滿射，但 $f(alpha) < kappa$ ）。於是如果存在某個 $mu$ 使得 $h = G(mu)$ ，那麼由 $f$ 是共尾函數，一定存在 $alpha$ 使得 $f(alpha) > mu$ ，那麼 $h(alpha) = (G(mu))(alpha)$ ，矛盾。

我們回到正題。現在我們假定 $ext{MA}(kappa)$ 的前提下回答了問題 1，2，我們還依靠 $ext{MA}$ 證明了 $2^omega$ 是正則的。但是這必須依靠 $ext{MA}$ 。「 $2^omega$ 奇異」是與 $ext{ZFC}$ 相容的（本書第七章）。

接下來我們來回答問題 4。

定理2.20 假設 $ext{MA}(kappa)$ 成立，令 $M_alpha(alpha < kappa)$ 是一族 $mathbb{R}$ 的第一綱子集，則 $igcup_{alpha < kappa} M_alpha$ 是第一綱的。
證明：根據定義，每一個都被 $omega$ 個閉無處稠密集的並覆蓋，所以 $igcup_{alpha < kappa}M_alpha$ 被 $kappa$ 個閉無處稠密集的並覆蓋，如果我們證明了對任意 $kappa$ 個閉無處稠密集，它們的並都可以被 $omega$ 個閉無處稠密集的並覆蓋，那麼我們就證明了結論。
我們考慮它們的補集。由定義易知閉無處稠密集的補集是開稠密集，所以我們只需證對任意 $kappa$ 個開稠密集，設為 $U_alpha(alpha < kappa)$ ，存在 $omega$ 個開稠密集，設為 $V_n(n in omega)$ ，滿足 $igcap_{n < omega}V_n subset igcap_{alpha < kappa}U_alpha$ 。
考慮所有以有理數為端點的開區間，它是可數拓樸基，令 $B_i(i < omega)$ 枚舉這些開區間。然後我們通過某種方式（應用定理2.15），構造一個 $d subset omega$ ，再構造 $V_n = igcup {B_i : i in d land i > n}$ ，如果我們選取 $d$ 的方式足夠好，我們就可以達到目標。
我們令 $c_j = {i in omega : B_i subset B_j}$ ，假設 $|d cap c_j| = omega$ ，也就是說無界，那麼對任意 $n$ ，存在 $i > n$ 使得 $i in d cap c_j$ ，即 $i in d$ 且 $B_i subset B_j$ ，而根據我們的構造 $B_i subset V_n$ ，這意味著 $V_n cap B_j eq emptyset$ 。那如果對任意 $j in omega$ ，有 $|d cap c_j| = omega$ ，那麼 $forall n in omega forall j in omega(V_n cap B_j eq emptyset)$ ，我們就知道對任意 $n$ ， $V_n$ 是稠密的。
我們再令 $a_alpha = {i in omega : B_i otsubset U_alpha}$ ，假設 $|d cap a_alpha| < omega$ ，那麼存在某個 $n in omega$ 使得 $d cap a_alpha subset n$ ，也就是說 $forall i > n(i in d ightarrow B_i subset U_alpha)$ ，即 $V_n subset U_alpha$ 。因此，如果對任意 $alpha < kappa$ 都有 $|d cap a_alpha| < omega$ ，那我們就有對任意 $alpha < kappa$ 都存在某個 $n in omega$ 使得 $V_n subset U_alpha$ 。那麼顯然 $igcap_{n in omega}V_n subset igcap_{alpha < kappa}U_alpha$ 。
現在我們令 $mathscr{C} = {c_j : j < omega}$ 且 $mathscr{A} = {a_alpha : alpha < kappa}$ ，如果能夠正確應用定理2.15，那麼我們就得到了我們想要的結果： $V_n$ 是稠密的； $igcap_{n in omega}V_n subset igcap_{alpha < kappa}U_alpha$ 。僅剩下一個條件需要驗證。
令 $F subset kappa$ 有窮，我們要驗證對任意 $c_j in mathscr{C}$ ， $|c_j ackslash igcup_{alpha in F} a_alpha| = omega$ ，而 $c_j ackslash igcup_{alpha in F} a_alpha = {i in omega : i in c_j land eg(i in igcup_{alpha in F}a_alpha)}$ ，而這等於 ${i in omega : B_i subset B_j land egig(igvee_{alpha in F}(B_i otsubset U_alpha)ig)}$ ，即 ${i in omega : B_i subset B_j cap igcap_{alpha in F}U_alpha}$ ，由 $F$ 有窮， $U_alpha$ 開稠密，得知 $B_j cap igcap_{alpha in F}U_alpha$ 非空且開，所以 $|c_j ackslash igcup_{alpha in F} a_alpha| = omega$ 。證畢。

我們現在設立一個新的偏序集來回答問題 3。

定理2.21 假設 $ext{MA}(kappa)$ 成立，令 ${M_alpha : alpha < kappa}$ 為一族 $mathbb{R}$ 的零測集，則 $igcup_{alpha < kappa} M_alpha$ 是 $mathbb{R}$ 的零測集。
證明：令 $mu$ 表示勒貝格測度，對任意 $epsilon > 0$ ，我們想要找到一個開集 $U$ ，使得 $igcup_{alpha < kappa}M_alpha subset U$ 且 $mu(U) le epsilon$ 。
我們構造新的偏序集： $mathbb{P} = {p subset mathbb{R} : p ext{ is open } land mu(p) < epsilon}$ ， $p le q$ 當且僅當 $q subset p$ 。則 $p$ 與 $q$ 相容當且僅當 $mu(p cup q) < epsilon$ 。
令 $G$ 是 $mathbb{P}$ 上的濾，令 $U_G = igcup G$ ， $U_G$ 作為開集的無窮並顯然是開的。現在證明 $mu(igcup G) le epsilon$ 。
由 $G$ 是 $mathbb{P}$ 上的濾，其上兩兩都是相容的，那麼考慮任意可數子集 $Asubset G$ ，不妨設 $A = {p_n : n < omega}$ ， $mu(p_0) < epsilon$ ，假設 $igcup_{m < n}p_m in G$ ，那麼 $igcup_{m < n+1}p_m = p_n cup igcup_{m < n}p_m$ ，由濾的定義，存在 $r_n in G$ 滿足 $r le p_n$ 且 $r le igcup_{m < n}p_m$ ，所以 $r in G subset mathbb{P}$ ，即 $mu(r) < epsilon$ 而 $p_n cup igcup_{m < n}p_m subset r$ ，於是 $mu(igcup_{m < n+1}p_m) < epsilon$ ，根據歸納法，對任意 $n < omega$ ， $mu(p_n cup igcup_{m < n}p_m) < epsilon$ 。由 $mu$ 的可數可加性， $mu(igcup A) = sum_{n < omega}mu(p_n)$ ，而它是有界序列的極限，所以 $mu(igcup A) le epsilon$ 。

可是 $G$ 是不可數的，所以我們要做的是選取合適的 $A subset G$ 使得 $igcup A = igcup G$ 。而這是可能的，因為實拓撲數有可數基（在上一個定理中已經用過），我們可以在基中找到我們需要的。

令 $mathscr{B}$ 為所有有理端點的開區間的集合，它是可數的。它是基，對任意 $p in G$ ，任意 $x in p$ ，存在 $q in mathscr{B}$ 使得 $x in q$ 且 $q subset p$ ，於是 $q in mathbb{P}$ 且 $p le q$ ，這意味著 $q in G$ 。所以如果令 $A = G cap mathscr{B}$ ，那麼 $A subset mathscr{B}$ 可數，且 $igcup A = igcup G = U_G$ 。這就說明 $mu(U_G) le epsilon$ 。

接下來就要證 $igcup_{alpha < kappa}M_alpha subset U_G$ 了。為了方便運用馬丁公理，首先是 c.c.c. 的證明。（以下證明參考了 2011 的新版，因為本版本中的證明可能存在問題，至少我看來是工作不能的。）

假設 ${p_alpha : alpha < omega_1}$ 為不可數不相容族，這意味著對任意不同 $alpha, eta < omega_1$ ， $mu(p_alpha cup p_eta) ge epsilon$ 。由於對任意 $alpha < omega_1$ ， $mu(p_alpha) < epsilon$ ，而 ${p_alpha : alpha < omega_1} = igcup_{n < omega}{p_alpha : alpha < omega_1 land mu(p_alpha) le epsilon - frac{3}{n}}$ ，那麼一定存在某個 $n$ 使得 ${p_alpha : alpha < omega_1 land mu(p_alpha) le epsilon - frac{3}{n}}$ 不可數，即存在 $delta$ （例如 $frac{1}{n}$ ）使得 $X = {alpha < omega_1 : mu(p_alpha) le epsilon - 3delta}$ 不可數。
現在考慮 $mathscr{C}$ 為所有 $mathscr{B}$ 中元素的有窮並，所以 $mathscr{C}$ 是可數的。對任意 $alpha in X$ ，我們要找一個 $C_alpha subset p_alpha$ 使得 $mu(p_alpha ackslash C_alpha) le delta$ 。如果 $p_alpha$ 是有窮個開區間的並，那麼顯然可以找到，現在假設 $p_alpha$ 是可數個開區間的並，設為 $igcup_{n < omega}I_n$ ，那麼 $mu(igcup_{m < n}I_m)$ 有界且單調，所以必然收斂有極限，這意味著對任意 $delta$ ，存在 $N in omega$ 使得 $mu(p_alpha ackslash igcup_{n < N}I_n) le frac{delta}{2}$ ，而剩下的 $frac{delta}{2}$ 對有窮個開區間是很寬裕的。綜上我們一定能找到這樣的 $C_alpha$ 。
對任意不同 $alpha, eta in X$ ，我們有 $mu(p_alpha ackslash C_alpha) le delta$ ， $mu(p_eta ackslash C_eta) le delta$ ， $mu(p_alpha cup p_eta) ge epsilon$ ，那麼顯然 $mu(C_alpha cup C_eta) ge epsilon - 2delta$ ，但 $mu(C_alpha) le mu(p_alpha) < epsilon - 3delta$ ，這意味著 $C_alpha eq C_eta$ 。但是 $X$ 不可數， $mathscr{C}$ 卻是可數的。矛盾。
所以 $mathbb{P}$ 有 c.c.c.。
對任意 $alpha < kappa$ ，令 $D_alpha = {p in mathbb{P} : M_alpha subset p}$ ，我們證明它是稠密的。對任意 $q in mathbb{P}$ ， $mu(q) < epsilon$ ，由 $M_alpha$ 是零測集，一定可以找到開集 $V$ 使得 $M_alpha subset V$ 且 $mu(V) < epsilon - mu(q)$ ，則 $mu(q cup V) le mu(q) + mu(V) < epsilon$ ，於是 $q cup V in D_alpha$ 且 $q cup V le q$ ，稠密性得證。
那麼現在運用 $ext{MA}(kappa)$ ，我們讓 $G$ 與每一個 $D_alpha$ 相交，則對任意 $alpha$ ，存在 $p in G$ 使得 $M_alpha subset p$ ，而 $p subset U_G = igcup G$ ，所以 $igcup_{alpha < kappa}M_alpha subset U_G$ ，而 $mu(U_G) le epsilon$ i而是開集。
根據 $epsilon > 0$ 的任意性，證畢。

我們現在轉向 $ext{MA}$ 在點集拓撲中的應用。接下來的一個結論實際上是與 $ext{MA}(kappa)$ 等價的，在下一節中會證明它的反向，當然證明也可能更難一點。這個結論從某種個意義上是貝爾綱定理（Baire category theorem）的自然延伸。

定理2.22 假設 $ext{MA}(kappa)$ 成立，令 $X$ 是緊緻的 c.c.c. 的豪斯道夫空間，對任意 $alpha < kappa$ ， $U_alpha$ 是 $X$ 的開稠密集，則 $igcap_{alpha < kappa} U_alpha eq emptyset$ 。

鑒於已經十分熟悉我們的工具了，這裡的證明將不再做過多解釋。

證明：考慮偏序集 $mathbb{P} = {p : p ext{ is open } land p eq emptyset}$ ， $p le q$ 當且僅當 $p subset q$ 。對 $mathbb{P}$ 中的濾 $G$ ，它的相容性導致它有有窮交（非空）性質（Finite intersection property），考慮 $igcap{overline{p} : p in G}$ ，如果它空，那麼 ${(overline{p})^c : p in G}$ 是一族開覆蓋，根據緊緻性，它有有窮的子覆蓋，即存在 $G$ 的有窮子集 $A$ 使得 $igcap{overline{p} : p in A} = emptyset$ ，與有窮交性質矛盾，所以 $igcap{overline{p} : p in G} eq emptyset$ 。
對任意 $alpha < kappa$ ，我們令 $D_alpha = {p in mathbb{P} : overline{p} subset U_alpha}$ ，對任意 $q in mathbb{P}$ ，由 $U_alpha$ （拓撲上）稠密， $q cap U_alpha$ 非空，任取 $x in q cap U_alpha$ ，緊緻豪斯道夫空間是正規空間（ $*$ ），那麼存在 $x in V_1$ ， $(U_alpha)^c subset V_2$ ，且 $V_1, V_2$ 為兩個不想交的開集，那麼 $overline{V_1 cap q} subset overline{V_1} subset (V_2)^c subset U_alpha$ ，則 $V_1 cap q in D_alpha$ ，所以 $D_alpha$ 稠密。
c.c.c. 是顯然的，那麼運用 $ext{MA}(kappa)$ ，存在 $mathbb{P}$ 中的濾 $G$ 使得 $forall alpha < kappa(G cap D_alpha eq emptyset)$ ，這說明 $igcap{overline{p} : p in G} subset igcap_{alpha < kappa}U_alpha$ ，而且非空。所以 $igcap_{alpha < kappa}U_alpha eq emptyset$ 。證畢

當 $kappa = omega$ 時就是貝爾綱定理，且不需要 c.c.c.，但在 $kappa = omega_1$ 時，沒有 c.c.c. 是有反例的，參見習題 11。

與定理2.20 單純在實數上的討論不同，考慮 $U_alpha$ 的補集，它們是閉無處稠密集，我們的結論就是說 $X$ 不是這些閉無處稠密集的並，而它們的並也不一定是第一綱的。反例參見習題 12。

接下來，作為我們這一節最後的內容，我們通過 $ext{MA}(omega_1)$ 來回答第一節中提到的乘積空間是否保持 c.c.c. 的問題。在第一節中，已經證明了如果有窮積保持，那麼任意積保持。我們現在在假定 $ext{MA}(omega_1)$ 成立的情況下，證明有窮積也保持，這樣我們就可以證明任意積保持。

引理2.23 假設 $ext{MA}(omega_1)$ 成立，令 $X$ 具有 c.c.c. 並且 ${U_alpha : alpha < omega_1}$ 是一族 $X$ 的非空開子集，則存在不可數的 $A subset omega_1$ 使得 ${U_alpha : alpha in A}$ 具有有窮交性質。
證明：令 $V_alpha = igcup_{gamma > alpha}U_gamma$ ，則 $alpha < eta$ 蘊涵 $V_eta subset V_alpha$ ，首先證明存在 $alpha$ 使得 $forall eta > alpha(overline{V_eta} = overline{V_alpha})$ 。如果不存在這樣的 $alpha$ ，則一定存在嚴格遞增的不可數序列 $a_xi(xi < omega_1)$ ，使得對任意 $xi < omega_1$ ， $overline{V_{a_{xi}}} eq overline{V_{a_{xi + 1}}}$ ，又 $V_{a_{xi + 1}} subset V_{a_{xi}}$ 蘊涵 $overline{V_{a_{xi + 1}}} subset overline{V_{a_{xi}}}$ ，故 $V_{a_{xi}} otsubset overline{V_{a_{xi + 1}}}$ ，即 $V_{a_{xi}} ackslash overline{V_{a_{xi + 1}}}$ 非空， ${V_{a_{xi}} ackslash overline{V_{a_{xi + 1}}} : xi < omega_1}$ 顯然是兩兩不交的開集族，與 c.c.c. 的條件矛盾。所以存在 $alpha$ 使得 $forall eta > alpha(overline{V_eta} = overline{V_alpha})$ 。
固定這個 $alpha$ 。令 $mathbb{P} = {p subset V_alpha : p ext{ is open } land p eq emptyset}$ ， $p le q$ 當且僅當 $p subset q$ ，由於 $X$ 是 c.c.c. 的，所以 $mathbb{P}$ 也是。如果 $G$ 是 $mathbb{P}$ 中的濾，則 $G$ 有有窮交性質，所以如果令 $A_G = {gamma < omega_1 : exists p in G(p subset U_gamma)}$ ，那麼 ${U_gamma : gamma in A_G}$ 也具有有窮交性質，現在我們要令 $A_G$ 無界，這樣它就是不可數的，於是就證明了引理。
令 $D_eta = {p in mathbb{P} : exists gamma > eta(p subset U_gamma)}$ ，先證明它是稠密的，對任意 $q in mathbb{P}$ ， $q subset V_alpha$ ，由 $overline{V_alpha} subset overline{V_eta}$ （對 $eta > alpha$ ， $overline{V_eta} = overline{V_alpha}$ ，對 $eta le alpha$ 顯然）， $q cap V_eta eq emptyset$ ，又 $V_eta = igcup_{gamma > eta}U_gamma$ ，那麼存在某個 $gamma > eta$ ，使得 $q cap U_gamma eq emptyset$ ，而 $q cap U_gamma le q$ 且 $q cap U_gamma in D_eta$ ，所以稠密性得證。
由 $ext{MA}(omega_1)$ ，存在 $mathbb{P}$ 中的濾 $G$ 使得對任意 $eta < omega_1$ ， $G cap D_eta eq emptyset$ ，而這意味著存在 $p in G$ 且 $p in D_eta$ ，這意味著存在 $gamma > eta$ ， $gamma in A_G$ ，即 $A_G$ 無界，所以不可數。證畢。
定理2.24 假設 $ext{MA}(omega_1)$ 成立，則 c.c.c. 空間的任意積具有 c.c.c. 性質。
證明：根據第一節的結論（定理1.9），只需要證明兩個 c.c.c. 空間的積是 c.c.c. 的。
假設 $X, Y$ 是 c.c.c. 空間，且 $X imes Y$ 不是，設 ${W_alpha : alpha < omega_1}$ 為不可數兩兩不交非空開集族，對任意 $alpha < omega_1$ ，取 $U_alpha imes V_alpha subset W_alpha$ 其中 $U_alpha$ 為 $X$ 中開集， $V_alpha$ 為 $Y$ 中開集，根據引理2.23，存在不可數 $A subset omega_1$ 使得 ${U_alpha : alpha in A}$ 有有窮交性質，則對任意 $alpha, eta in A$ ， $U_alpha cap U_eta eq emptyset$ ，但 $(U_alpha cap U_eta) imes (V_alpha cap V_eta) = (U_alpha imes V_alpha) cap (U_eta imes V_eta)$ 為空，那麼 $V_alpha cap V_eta = emptyset$ ，而 $A$ 不可數， ${V_alpha : alpha in A}$ 是 $Y$ 的不可數兩兩不交非空開集族，與 c.c.c. 矛盾。證畢。

本節內容到此結束。

習題

(5) Show that a topological space $X$ has the c.c.c. iff there is no sequence of open sets, $langle U_alpha : alpha < omega_1 angle$ such that whenever $alpha < eta$ , $overline{U_alpha}$ is a proper subset of $overline{U_eta}$ .
(6) Show that in the c.c.c. space $2^{omega_1}$ , there is a sequence of open sets, $langle U_alpha : alpha < omega_1 angle$ such that whenever $alpha < eta$ , $U_alpha$ is a proper subset of $U_eta$ .
(7) If $mathscr{B}$ is a complete Boolean algebra, show that $mathscr{B}$ has the c.c.c. iff there is no sequence $langle b_alpha : alpha < omega_1 angle$ from $mathscr{B}$ such that $alpha < eta ightarrow b_alpha < b_eta$ .
(8) If $f, g in omega^omega$ , say $f <^* g$ iff $exists n forall m > nig(f(m) < g(m)ig)$ . Let $mathscr{F} subset omega^omega$ with $|mathscr{F}| = kappa$ . Assuming $ext{MA}(kappa)$ , show that $exists g in omega^omega forall f in mathscr{F}(f <^* g)$ . Hint. $mathbb{P}$ is the set of pairs $langle p, F angle$ such that $p$ is a finite partial function from $omega$ to $omega$ and $F$ is a finite subset of $mathscr{F}$ . $langle p, F angle le langle q, G angle$ iff $q subset p, G subset F$ , and $forall f in G forall n in ig( ext{dom}(p) ackslash ext{dom}(q)ig) ig(p(n) > f(n)ig)$ .
Or, the result may be deduced directly from Theorem 2.15 (see VIII Exercise A3).
(9) Let $mathscr{B} subset mathscr{P}(omega)$ be an almost disjoint family of size $kappa$ , where $omega le kappa < 2^omega$ . Let $mathscr{A subset B}$ with $|mathscr{A}| le omega$ . Assuming $ext{MA}(kappa)$ , show that there is a $d subset omega$ such that $forall x in mathscr{A}(|d cap x| < omega)$ and $forall x in mathscr{B ackslash A}(|x ackslash d| < omega)$ . Remark. $ext{MA}(omega)$ , and hence the result of this exercise when $|mathscr{B}| = omega$ , is a theorem of $ext{ZFC}$ . When $|mathscr{B}| = omega$ , however, one may easily prove this result directly by a diagonal argument without using partial orders.
(10) (Hausdorff, Luzin). Show (in $ext{ZFC}$ ) that the result of Exercise 9 can be false if $mathscr{|A| = |B ackslash A|} = omega$ . Hint. $mathscr{A} = {a_alpha : alpha < omega_1}$ , and $mathscr{B ackslash A} = {b_alpha : alpha < omega_1}$ . Construct $a_alpha, b_alpha$ inductively so that $a_alpha cap b_alpha = emptyset$ but $alpha eq eta ightarrow a_alpha cap b_eta eq emptyset$ .
(11) Give the ordinal $omega_1 + 1$ the order topology. Show that the product $(omega_1 + 1)^omega$ is an example of a compact Hausdorff space which (regardless of the axioms of set theory) is the union of $omega_1$ closed nowhere dense sets. Show that the unit ball in a non-separable Hilbert space with the weak topology is another such example. Hint. For $(omega_1 + 1)^omega$ , consider ${f : forall n ig(f(x) eq omega_1 ightarrow f(n) le alpha ig)}$ .
(12) Show that the products $[0, 1]^{omega_1}$ and $2^{omega_1}$ are examples of compact c.c.c. Hausdorff spaces in which, regardless of the axioms of set theory, there is a union of $omega_1$ closed nowhere dense sets which is not first category. Hint. In $[0, 1]^{omega_1}$ , consider ${f : exists alpha ig(f(alpha) = 0ig)}.$ Observe that by c.c.c., if $V$ is dense and open, then there is a dense open $W subset V$ such that $W$ is a countable union of basic open sets.
(13) Show that Theorem 2.20 remains true if we replace $mathbb{R}$ by any separable metric space.
(14) Show that the following are examples of complete metric spaces which, regardless of the axioms of set theory, are the unions of $omega_1$ closed nowhere dense sets.
(a) $D^omega$ , where $D$ is an uncountable discrete space.
(b) Any non-separable Hilbert space.

Kunen. Set Theory 第一版第二章無窮組合（二）

第二節 馬丁公理

第二節馬丁公理