非線性控制筆記(17)反饋線性化控制之Lie Derivative and Lie Bracket

02-16

本文主要參考伊朗Amirkabir University of Technology的女教授 Farzaneh Abdollahi

在Nonlinear Control課上的Lecture Notes。如有錯誤疏漏，煩請指出。如需轉載，請聯繫筆者，zhu.hathaway@gmail.com。

我們在

月枕雙歌：非線性控制筆記(15)反饋線性化控制之Input-State Linearizationzhuanlan.zhihu.com

中留下了兩個未解答的疑問：

1. 哪類的非線性系統可以Input-State Linearization？哪類的非線性系統不可以Input-State Linearization？
2. 怎麼找到相應地狀態量的變數替換？

為了回答這兩個疑問，我們需要引入Lie Derivative and Lie Bracket。

一、Lie Derivative

在介紹Lie Derivative 之前，先需要以下一些概念。

向量函數 $f(x): R^n ightarrow R^n$ (從 $old xin R^n$ 映射到 $f(x)in R^n$ 的函數)，叫做 $R^n$ 里的向量場(Vector field)。如果進一步，向量函數 $f$ 具有連續偏導，而且是任意階的偏導，那麼我們說 $f$ 是光滑向量場(Smooth Vector field)。

光滑標量函數 $h(x)$ : $R^n ightarrow R$ (從 $old xin R^n$ 映射到 $h(x)in R$ 的函數) 的Gradient由一個行向量 $abla h=frac{partial h}{partial old x}$ 表示，其中 $old xin R^n$ 。所以我們要記住，Gradient是標量對向量的求導，其結果是個行向量。光滑向量場 $f(x)$ 的Jacobian由一個 $n imes n$ 的矩陣 $abla f=frac{partial f}{partial old x}$ ，其中矩陣的第一行就是 $abla f_1=frac{partial f_1}{partial old x}$ ，就是剛剛定義的光滑標量函數 $f_1$ (列向量 $f$ 的第一個元素)的Gradient，而我們知道Gradient是行向量。以此類推Jacobian的第 $i$ 行應該為 $abla f_i=frac{partial f_i}{partial old x}$ 。那麼基於以上幾個定義，我們就可以來定義Lie Derivative。

Lie Derivative 的定義：

光滑標量函數 $h(x): R^n ightarrow R$ 相對於光滑向量場 $f(x): R^n ightarrow R^n$ 的Lie Derivative由一個標量函數 $L_{old f}h= abla hold f=frac{partial h}{partial old x}old f$ 表示，其中 $frac{partial h}{partial old x}$ 就是標量函數 $h(x)$ 的Gradient，是個行向量。行向量 $frac{partial h}{partial old x}$ 乘以向量場 $f(x)in R^n$ ，其結果正好是個標量，所以 $L_{old f}h= abla hold f=frac{partial h}{partial old x}old f$ 是個標量。

如果 $g(x): R^n ightarrow R^n$ 是另一個向量場，由於剛剛計算的Lie Derivative—— $L_{old f}h$ 是個標量，它又可以跟 $g(x)$ 算出一個Lie Derivative，表示為 $L_{old g}L_{old f}h= abla (L_{old f}h)old g=frac{partial (L_{old f}h)}{partial old x}old g=frac{partial(frac{partial h}{partial old x}old f)}{partial old x}old g$ ，當然同樣地，算出來 $L_{old g}L_{old f}h$ 的結果依然是個標量。以此類推，可以一直搞下去。

於是我們有標量函數 $h(x): R^n ightarrow R$ 的0階Lie Derivative為 $L_{old f}^0h=h$ ，是它本身。標量函數 $h(x): R^n ightarrow R$ 的第 $i$ 階Lie Derivative為 $L_{old f}^ih=L_{old f}(L_{old f}^{i-1}h)= abla (L_{old f}^{i-1}h)old f=frac{partial (L_{old f}^{i-1}h)}{partial old x}old f$ 。

總結一下：Lie Derivative與一般的Derivative的區別是，Lie Derivative是定義在兩個函數 $h$ 和 $f$ 之間的，它倆都是向量 $x$ 的函數，標量函數 $h$ 對 $x$ 的Gradient乘以 $f(x)$ ，他們通過共同的 $x$ 聯繫起來的。一般的Derivative是某個函數對 $x$ 定義的。

舉個栗子對於單輸出非線性系統: $dot x =f(x)\ y=h(x)$

我們有 $dot y=frac{partial h}{partial x}dot x=frac{partial h}{partial x}f(x)=L_{old f}h$ ， $ddot y=frac{partial (L_{old f}h)}{partial x}dot x=frac{partial (L_{old f}h)}{partial x}f(x)=L_{old f}^2h$

二、 Lie Bracket

Lie Derivative是一個標量函數 $h(x): R^n ightarrow R$ 與一個向量場函數 $f(x): R^n ightarrow R^n$ 的定義的一個標量函數。而Lie Bracket是一個向量場函數 $f(x): R^n ightarrow R^n$ 與另一個向量場函數 $g(x): R^n ightarrow R^n$ 而定義的一個向量場函數。

Lie Bracket的定義：

$f(x): R^n ightarrow R^n$ 與 $g(x): R^n ightarrow R^n$ 的Lie Bracket定義為 $[f,g]= abla gf- abla fg=frac{partial g}{partial x}f-frac{partial f}{partial x}g riangleqold{ad}_{f} g$ ，我們知道由於 $f(x)與g(x)$ 都是向量場函數，所以 $frac{partial g}{partial x}，frac{partial f}{partial x}$ 都是 $n imes n$ 的方陣。

所以總結一下，Lie Bracket與Lie Derivative的區別是，Lie Bracket $[f,g] riangleqold{ad}_f gin R^n$ ，不像Lie Derivative是標量，而是n維向量。Lie Bracket和Lie Derivative都同樣是定義在兩個函數之間的。

於是我們有 $f(x)與g(x)$ 的0階Lie Bracket為 $old{ad}_f^0 g=g$ ， $f(x)與g(x)$ 的第 $i$ 階Lie Bracket為 $old{ad}_f^i g=[f, old{ad}_f^{i-1} g]= abla (old{ad}_f^{i-1} g)f- abla f(old{ad}_f^{i-1} g)=frac{partial (old{ad}_f^{i-1} g)}{partial x}f-frac{partial f}{partial x}(old{ad}_f^{i-1} g)$ 。

舉個栗子考慮非線性系統 $dot x=f(x)+g(x)u$ ，其中 $f=left( {egin{array}{*{20}{c}} -2x_1+ax_2+sin(x_1)\ -x_2cos(x_1)\ end{array}} ight)$ , $g=left( {egin{array}{*{20}{c}} 0\ cos(2x_1)\ end{array}} ight)$ ，那麼f(x)與g(x)的Lie Bracket為： $[f,g]=old{ad}_f g= abla gf- abla fg=frac{partial g}{partial x}f-frac{partial f}{partial x}g=left( {egin{array}{*{20}{c}} 0&0\-2sin(2x_1)&0\ end{array}} ight)left({egin{array}{*{20}{c}} -2x_1+ax_2+sin(x_1)\ -x_2cos(x_1)\ end{array}} ight)-$ $left( {egin{array}{*{20}{c}} -2+cos(x_1)&a\x_2sin(x_1)&-cos(x_1)\ end{array}} ight)left({egin{array}{*{20}{c}} 0\ cos(2x_1)\ end{array}} ight)$ = $left( {egin{array}{*{20}{c}} 0\ -2sin(2x_1)(-2x_1+ax_2+sin(x_1))\ end{array}} ight)-$

$left( {egin{array}{*{20}{c}} acos(2x_1)\ -cosx(x_1)cos(2x_1)\ end{array}} ight)$ = $left({egin{array}{*{20}{c}} -acos(2x_1)\ cosx(x_1)cos(2x_1)-2sin(2x_1)(-2x_1+ax_2+sin(x_1))\ end{array}} ight)$

三、 Lie Bracket的性質

Bilinearity： $[alpha_1f_1+alpha_2f_2,g]=alpha_1[f_1,g]+alpha_2[f_2,g]$ , $[f,alpha_1g_1+alpha_2g_2]=alpha_1[f,g_1]+alpha_2[f,g_2]$
Skew-Commutativity: $[f,g]=-[g,f]$
Jacobi Identity: $L_{old{ad}_f g}h=L_{old f}L_{old g}h-L_{old g}L_{old f}h$ ，因為 $L_{old{ad}_f g}h=L_{ abla gf- abla fg}h=L_{frac{partial g}{partial x}f-frac{partial f}{partial x}g}h=frac{partial h}{partial x}(frac{partial g}{partial x}f-frac{partial f}{partial x}g)=frac{partial(frac{partial h}{partial old x}old g)}{partial old x}old f-frac{partial(frac{partial h}{partial old x}old f)}{partial old x}old g=L_{old f}L_{old g}h-L_{old g}L_{old f}h$