一篇用來勸退的偽安利文（中）

哇擦拖稿了好久。。

代數

終於開始寫代數了好激動www

與分析不一樣，代數的名字第一眼並不能讓人明白他們在幹啥

所以代數在幹啥呢？

我們來看一些例子吧~

商操作

商，或者說模（不是膜啊喂……）是我們以後經常會遇到的東西。當我們在說模的時候，我們在說什麼呢？比如說，正整數集Z在加法減法和乘法下都是封閉的。我們可不可以，用Z得到一些別的集合，它們也在加法減法乘法下封閉呢？

任取一個正整數n，所有n的倍數（我們可以寫成nZ）當然滿足我們的要求。但是這個例子實在是太簡單了，我們往往做不了什麼事情。另一個想法來自於初等數論，我們可以考慮Z mod n這個集合（就是說，如果把正整數關於除以n的餘數分成n類0、1、2、...、n-1，當我們在做那三種運算的時候，它們的餘數也同時在做相應的加減乘。於是這n個類自然就在加法減法和乘法下封閉）。這裡mod n的操作，大概就是最簡單的模的思想。

那麼嚴格一些來說，商操作就是說，如果我們有一個東西（比如說群、環、線性空間、模……），和它的一個子對象（比如說正規子群、理想、子空間、子模……），我們往往可以用這個子對象，構造一個等價關係，把那個大的對象劃分成很多等價類（在上一段的那個例子里，大的對象是Z，子對象是nZ，等價關係x與y除以n的餘數相同，或者說x - y屬於nZ），從而這些等價類就構成了一個新的對象。

直和

直和一般來說是最簡單的那種方式，由小的對象來構造大的對象。

比方說歐氏平面R^2就是兩個實數軸R的直和，因為它的元素都可以唯一寫成(x, y)的形式。

那麼一般來說，如果有一個大的對象A，和A的兩個子對象A_1, A_2, 它們(1)不相交，(2)並且又通過各種運算可以生成整個A，那麼就可以說A是A_1和A_2的直和。在上一個例子里，A是R^2, A_1是x軸, A_2就是y軸。

另一個角度來說，如果A是A_1和A_2的直和，那麼A總可以寫成(a_1, a_2)的形式，前面一個坐標是A_1里的，後面一個坐標是A_2里的。所以我們又可以用這種觀點來由A_1和A_2構造A

我們很容易可以把兩個對象的直和推廣到n個對象的直和，甚至於無窮個對象的直和。無窮個對象的時候其實有兩種，我們稱其中一種叫直和，另一種叫直積，這個我們以後再說~

同態與同構

我們研究的問題往往不局限於一個固定的對象，還要研究對象之間的關係。我們研究對象之間的關係的時候就是通過同態來考慮。

一個同態就是一個保持運算的映射。當然它不一定是單射，也不一定是滿射。當它又是單射又是滿射的時候，就可逆了，這個時候我們就稱它是一個同構。如果一個同態（同構）是從A到A的，那麼我們就稱它是A的一個自同態（自同構）

如果兩個東西同構，那麼它們在只考慮這些運算的時候，它們所有的性質就是一模一樣的，我們自然可以把它們看成同一個東西。值得一提的是，兩個對象之間的同構往往是不唯一的。比如說複數域C到自己的同構，恆同映射id自然是一個同構，然而共軛作用f(x + yi) = x - yi同樣也是C的一個自同構。

當我們研究兩個不同的對象A和B的時候，我們經常把所有從A到B的同態全都拿出來，它們構成了一個半群（就是說，這些同態在複合意義下滿足結合律~），我們稱它為Hom(A, B),這個半群的性質經常能夠反映A和B的關係。

艾瑪不想寫了……寫了好多……

我們進入正題吧。雖然並沒有說清楚，但是從上面三個例子里，其實都體現出來了代數的思想。

貫穿代數的思想，就是研究抽象對象的結構和態射。

結構研究對象和它的子對象的各種性質，態射則研究對象之間的關係。

譬如說，在上文裡面，前兩個例子就是偏向於研究結構，後一個例子偏向於研究態射。（但是也不是絕對的。一個對象的商對象往往可以看成它的一個同態的像。而一個對象的直和因子也有用同態描述的等價形式~）

那下面我們來分別看看吧

線性代數

線性代數是你們接觸的第一門代數課，因此也是最基本的代數課。這種基本可能更多地體現在它廣泛的運用上，並不局限於代數本身，或者並不局限於數學。

線性代數研究的東西是線性空間，以及線性映射。

線性空間大概算是世界上最簡單的代數對象了……如果有更簡單的對象，那一定是空集。

一個域k作用在一個交換群V上就是一個線性空間。比如說k是R,V是歐氏平面R^2。因為線性空間的維數總是確定的，所以你總是可以把V看成k^n（如果這是一個有限維的話）。

就是說，一個有限維線性空間V的每個元素都可以寫成(x_1, x_2, ..., x_n)的形式，不可能有別的樣子。

線性映射就是線性空間之間的同態，保持加法和數乘（即保持k在其上的作用）。如果是自同態，那麼我們就稱它是線性變換。

為了描述線性映射，我們引入了矩陣。矩陣的引入使得我們可以非常具體地來考慮一個線性映射。很多時候，矩陣的性質和線性變換的性質是完全對應的。但是兩者又有差別，矩陣更加具體，可以進行一些運算，線性變換則揭露了本質。

之後的Jordan標準型則到了整個線性代數的高潮。可以說有了這個分解之後，線性空間就簡單得像一張白紙一樣。整個定理的證明也十分宏大，但是每一步又比較顯然。是一個非常值得回味的東西。

再就是內積空間和二次型。它們在線性空間之上又新加入了一個東西——內積。內積的引入使得我們可以度量長度和角度，從而得到了一些新的線性變換。比如保持內積的線性變換叫做酉變換，共軛等於自己的變換叫做Hermite變換。這一部分的結論和之前的一樣重要，甚至更重要。

什麼，你問我為什麼沒提行列式？

那就是個式子。

給一些推薦書目吧~我覺得線性代數（高等代數）其實最重要的是接受更高的觀點而非刷題，所以理解才是最重要的。

Sheldon Axler 《Linear Algebra Done Right》（中譯《線性代數應該這樣學》）這本書有中譯版，角度非常到位，算是十分經典的一本書了

Hoffman《Linear Algebra》安金鵬老師班上的教材，只有英文版，似乎還有台灣的繁體中文版，不過好像只能到圖書館去借。它在觀點上並不比前一本低，也是非常好的一本書。

李炯生《線性代數》國內的非常不錯的一本書，不過似乎有點難？

柯斯特利金《代數學引論》寫得也是非常好，可惜對新人太虐待了，推薦第二遍學的時候看

抽象代數

抽象代數幾乎是整個代數學的基礎，而幾乎所有的代數學都是由抽象代數里介紹的群環域引出的。所以抽象代數在代數學裡的地位甚至比實變函數在分析學裡的地位還要重要~

考慮到抽象代數並不需要太多預備知識（一點點初等數論和一點點線性代數的知識，但沒有學過也沒什麼），如果你想在大一上額外學一些基礎數學有關的東西，抽象代數無疑是最適合的。（個人覺得第二適合的是拓撲，第三適合的才是實變……）

我們所說的抽象代數，一般指基本的群、環、域的入門。

群

你可以這樣理解，群的概念是來自於對映射的抽象。顯然映射的複合都是滿足結合律的，所以群的運算自然要滿足結合律。

我們稱，一個集合G，配上G的元素的一個運算，如果這個運算滿足結合律，那麼G就是一個半群。

半群的性質其實並不怎麼多，所以也不怎麼有趣。那我們還可以加上什麼性質呢？

於是嚴格來說，群的概念是來自於對自同構的抽象（比如後面的Galois群就是域擴張的自同構）。自同構群有一個特殊的元素，就是恆同映射id，任何自同構複合它都不會變，所以我們定義群的時候只需要把它加進去就好。

我們稱，一個半群G是一個群，如果滿足下面兩個條件。

（1）存在幺元1，滿足對任意的g，1g = g1 = g

（2）對每個g，存在它的逆g^(-1)，滿足gg^(-1) = g^(-1)g = 1

那麼我們比如說，考慮這個集合S = {1, 2, 3, 4},它作為集合的自同構自然就是所有它到自己的雙射，就是所有1,2,3,4的排列，它有4! = 24個元素，這個群我們稱為S_4

群論在群環域里大概算是最關心結構的一個部分了。你們在抽代1中學到的比如Sylow定理，以及Jordan-Holder定理都是很典型的例子。前者幾乎是整個有限群論的基石，同時也是你們會遇到的第一個很難的地方。多看幾遍證明和應用，你會發現它無比地強大。

群論也許是在群環域中運用最為廣泛的一部分了。在代數以外還在物理和幾何中用處極大。再往下學的話，一方面可以學群表示論，一方面可以學習有限群論。個人感覺群表示論會更有用一些。（群表示論就是研究一個群如何可以用矩陣群表示出來，每年春天會開，有興趣可以看看GTM162。有限群的話在春天有王立中老師的代數討論班，我看的是GSM92）

環

環的概念來自於對多項式的抽象。這個時候一種運算就不夠用了。我們還希望我們的定義能夠更一般一點，能把一些其他的東西包括進來，比如說矩陣環，於是就有了環的定義。

我們稱一個集合R是一個環，以及它上的加法和乘法，滿足以下幾條性質，

（1）它的加法構成一個交換群（就是它的加法滿足交換律，而且是個群）

（2）它的乘法滿足結合律

（3）它的加法和乘法滿足分配率

後面的就不展開了，環裡面最重要的一個東西就是理想。理想的運算如果熟練了就毫無問題了。

基本的環論學完了之後可以去學交換代數。交換代數是研究交換幺環和它上的模的性質的，交換代數的後續課程有代數幾何和代數數論，都是當今非常酷炫的領域。有興趣的話可以看Atiyah的《An Introduction to Commutative Algebra》。

域

我們總是得研究那些性質最好的東西不是嗎w

加減乘除都能做的集合我們就叫它域（這麼說可能和除環有歧義，但是我懶得管了）

因為域的性質太好了，導致在結構上我們並沒有太多東西可以研究，甚至於都找不到一個子結構可以模掉。所以域論在研究的時候，是考慮的另一個東西，域擴張。

當我們考慮一個域擴張的時候，我們其實是在考慮一個大域和一個小域之間的關係，譬如複數域C和實數域R就構成一個域擴張，我們記為C/R。

域論的提出最初是為了構築Galois理論。這是一個天才的想法，它眾所周知地解決了五次方程還有三大作圖問題。事實上它的用途遠不止這些，因為Galois理論是類域論的基礎，之後在幾何和數論里發揮了無比強大的力量。

在這裡我要著重提一下，域論，代數擴張，包括Galois理論的教材，十分強烈地推薦Serge Lang的《Algebra》（GTM211）這本大磚頭。事實上它的域論比我見過的其它任何一部代數學講得都要好，而且更有代數的感覺。

抽象代數雖然說並不需要太多預備知識，但是比之於大一上的課來說，和高中思維的跳躍更加明顯。所以如果想學的話，請一定要拿出很多精力，多學幾遍，特別是比較難懂的地方。或者實在看不下去，可以換一本書來看，都是可以的。

給一些推薦書目吧。

徐明耀、藍以中《抽象代數I》小黃書，抽象代數I課程的教材。中規中矩的一本教材，大部分內容都可以勝任教材的功能，再加上上課順序完全是按照這本書的，所以以這本書為主是可以的。

《近世代數300題》非常經典的習題集，強烈推薦。特別是其中群的部分的習題，並且附有詳細答案。

Rotman《高等近世代數》經典，並且有中譯版。很多概念講得比較深，可以多看看。

柯斯特利金《代數學引論》久負盛名的柯斯特利金。。。有一些很新的觀點，中間穿插介紹了李群、表示論等等……據說對新人不太友好，不過可以看看。

聶靈沼《代數學引論》國內版本的代數學引論，依然中規中矩。可以作為參考，題目還是挺多的。

范德瓦爾登《代數學》有中譯版。理所當然的經典。但是很多符號和字母和我們一般用的不太一樣，會讓人很頭疼。。。

Serge Lang《Algebra》（GTM 211）久負盛名的大磚頭。。。大多是用同調代數的角度來引入群環域的各種概念，這就導致了這東西很難作為入門。。。但是域的部分意外地非常適合，也許是域的結構十分簡單導致的。。。。對抽象代數比較熟悉之後，可以回過頭來看看這本書的域之前的幾章，會收穫非常大。事實上，當你掌握了一些範疇的觀點之後，很多東西就直接是trival的了。

抽象代數II

講道理，抽象代數II並不是一門學科，而只是北大的一門課。它的目的就是在學完第一學期的抽象代數之後，隨便講講一些後續的有用的知識。所以它並沒有一個明確的內容。於是我也按照《抽象代數II》這本書隨便談談吧。

模論

模是線性空間的推廣，它和環的結合非常深。所以模論是之後交換代數和同調代數的基礎。不過《抽象代數II》這本書的模論倒是僅僅講了一個很淺的入門。如果想好好學的話還是看Atiyah的《An introduction to Commutative Algebra》或者GTM189《模與環講義》

有限群論

有限群不算是特別熱門的方向，但是它的歷史絕對是我認為的最為傳奇的一個方向。不得不提的就是有限單群的分類，在這裡就不細說了。這是一個非常精巧的方向，至今也還遺留了很多工作沒有做完。和別的學科的交叉的話，一般般，不過也有一些應用。推薦書目之前寫了~

Galois理論

如果你想要從事代數相關的工作，你沒有學過Galois理論，那你就像一個文盲一樣。抽代II的Galois理論還是大體上把該講的部分都講了的，推薦去學。推薦書目之前寫了~

有限群表示

群論往下學就是群表示論。它進一步揭示了群的結構。另一方面和之後各種其它的表示論相通，也是一個不可不學的內容。推薦書目之前寫了~

其實這裡說是在介紹抽象代數II，不如是說在介紹各個方向。如果有興趣的話自己回去看就好了~

李群李代數

李群是一個特別神奇的東西。無論你是做代數、幾何還是分析都離不開它。因此它也成為了當今十分活躍的一個方向。要理解它需要一些抽象代數和微分幾何的知識。因為和新生距離很遠我也就不怎麼提了~可以買一本江·還挺好（John Stillwell）的幼稚的謊言理論（Naive Lie Theory）（我沒有在膜）課是每年春天開的。

同調代數

同調代數研究的東西非常廣泛，不過也非常抽象。其實Lang的《Algebra》裡面體現了很多它的思想。雖然屬於很後面的課程，不過還是希望代數的初學者能夠懂一點範疇。想要了解的同學可以直接wiki就好了~

哎呀太晚了不寫了。。。這次的推送拖了好久，也啰嗦了好多。不過也大概把代數的概貌描述了一遍~（有嗎……）

代數的學習，最重要的是對概念的理解，以及理解更高的觀點。刷題倒是比較次要的，這一點和分析不同。因此最重要的是多看和多想，不懂的概念也應該多翻幾遍，直到理解了就好了。在理解了之後可以看看更深的書，它們往往會在另一個角度下來解釋這些概念。所以書是不能少買的。

就醬吧~