如何快速計算出一個兩位數的平方？

02-16

我一直用這個辦法心算的：

因為(a+b)(a-b) = a^2 - b^2，所以a^2 = (a+b)(a-b) + b^2

比方說算43的平方，那就等於算(43+3)(43-3) + 3^2， 3是自己選的，原則是把其中一個數湊成整10，這樣心算46 * 40 = 1840，加上3的平方9即可得到1849

只知道個位是5的數的平方可以這樣快速算出：去掉個位數5,得到的這個數乘以這個數加一，得到的積後面再寫上25。比如45的平方：4*(4+1)=20, 結果就是2025。115的平方：11*(11+1)=132,結果就是13225。

今天在 Quora 上看到的 Wus Squaring Trick 來快速算平方。（IOI的 Scott Wu）

$n^{2} =(n-50)^{2}+(n-25)*100$

$n^{2} =(n-100)^{2}+(2n-100)*100$

比如：

$548^{2}=298*1000+48^{2}$

$48^{2}= (-2)^{2}+23*100$

50 和 100 可以推廣為任意的二位數和三位數，如

$n^{2}= (n-60)^{2}+(n-30)*120$ ，不過此時由於 *120，所以並不一定能做到簡便計算繼而快速算出兩位數的平方。

https://www.quora.com/Whats-a-math-trick-that-is-not-very-well-known

這個速算技巧需要使用者具備兩個計算基礎：

能夠口算三位數加三位數；
能夠口算一位數乘兩位數。

然後就可以學習這個技巧了。

1.個位為1,2,3

公式： $(10a+b)^{2}=(10a+b+b)(10a+b-b)+b^{2}=10a(10a+2b)+b^{2}$

例: $52^{2}=(52+2)(52-2)+4=2700+4=2704$

$71^{2}=(71-1)(71+1)+1=5040+1=5041$

原因：3的平方為9，小於10，所以很方便口算，因為前邊的平方差公式得到的結果是10的倍數，所以互不影響。

2.個位為7,8,9

公式： $(10a-b)^{2}=(10a-b+b)(10a-b-b)+b^{2}=10a(10a-2b)+b^{2}$

例： $58^{2}=(58-2)(58+2)+4=3360+4=3364$

$79^{2}=(79+1)(79-1)+1=6240+1=6241$

原因同上。

3.個位為5.

這個簡單，就是去掉個位的數如果為a，那麼前邊就是 $a imes (a+1)$ ,後邊連上25.

例： $65^{2}=6 imes (6+1) imes 100+25=4225$

4.個位為4,6

這個最麻煩，公式為：

$(10a+5+b)^2=(10a+5)^{2}+2b(10a+5)+b^2$

不太明顯是吧？舉個例子吧。

$46^{2}=45^{2}+2 imes 45+1=2025+90+1=2116$

$74^{2}=75^{2}-2 imes 75+1=5625-150+1=5476$

這樣規律就出來了。

個位一定是6，不用管了；
個位為5的平方可以口算，忽略個位並記住；
個位為5的兩位數和2相乘可以口算，忽略個位並記住；
根據情況計算2和3中結果的和或差，後邊連上6即可。

這個方法並不一定能保證速度，但是好處在於學會之後，可以在沒有草稿紙的時候使用。由於我經常忘帶草稿紙，所以總結了這種方法。

擴展一下馬賽克的答案

不光是末尾是5的平方可以這樣算，其實只要兩個兩位數十位數相同，個位數之和為10就可以快速的計算。個位數為5的平方是特例，其他的諸如37*33，46*44之類的都可以快速得到。

快速計算如果用代數方法去解釋就會變的「一文不值」，就是一些小技巧，這裡背後原理是這樣的：

$(10a+b)(10a+c)=100a^{2}+10ac+10ab+bc$

$=100a^{2}+10a(10-b)+10ab+bc$

$=100a^{2}+100a+bc$

$=100a(a+1)+bc$

於是對這類十位數相同，個位數之和為10的兩位數乘法，規則為：十位數a與（a+1）相乘，得到的結果放在左邊，個位數b和c相乘，得到結果放在右邊，組合起來得到的數就是結果。

例子：37*33=1221

十位為3，3*（3+1）=12

個位為7，3，7*3=21

組合就是1221

又如46*44

十位為4，4*（4+1）=20

個位為6，4，7*3=24

組合就是2024

利用（a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和（a-b)^2=a^2-2ab+b^2 ，再利用已知的整十的平方和個位是5的平方（個位是5的數的平方已由樓上馬賽克給出）

例如計算81的平方，就等於6400+160+1=6561，82的平方=6400+320+4=6724

79的平方=6400-160+1=6241，86的平方=7225+170+1=9396

這樣兩位數的平方就都可以快速（可能會快一點）算出來

任何一個兩位數的平方都可以這樣算，尾項*尾項（個位）（首項+首項）尾項（十位）首項*首項（百位）其中逢十進一，如尾項*尾項=25，就需要向十位進2。

如 34*34=1156 尾項*尾項=16 （首項+首項）*尾項=24 首項*首項=9

但是以5結尾或以1結尾就沒有特定的簡單。

若以一結尾的兩位數平方。尾項*尾項（個位）首項+首項（十位）首項*首項（百位）還是逢十進一如 51*51=2601。尾項*尾項=1 首項+首項=10（進1）首項*首項=25

若以5結尾的上面有我就不多說。

例：

__78

__42

-------

__16

_46

-------

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