【不等式】9-8不等式及其應用

9-8不等式是在競賽課上提到的不等式，應用也很廣泛，不過可能比較冷門，我也是第一次聽說。

不過老師在課上並沒有給出該不等式的證明，只提到了使用恆等式。

後面我另外完成了不等式的證明（方法可能不是最優解法），並補充上幾個應用的例子。

一、9-8不等式

等號成立時

由於式子具有輪換對稱性，以下使用循環求和符號，例如

證明 注意到恆等式（展開後易證）：

所以原不等式等價於：

左邊展開得：

所以原不等式等價於：

@黃柯 有在評論區指出，可以直接展開不等式的左右兩邊：

原不等式等價於：

整理得到：

注意到恆等式（展開後易證）：

由均值不等式：

二、應用

9-8不等式往往還需要結合其他不等式使用，不過也為證明不等式提供了一種巧妙的思路，接下來舉一個例子來說明。

例 設 ，且證明：

分析 可拆分為 ，由此構造出可以使用9-8不等式的形式。

解

由均值不等式：

由9-8不等式：

代入原不等式得：

原命題成立。