【不等式】舒爾不等式及其應用

該文章為這兩天競賽培訓的小總結~

內容是老師講的，筆記可能會有點小錯誤，如果有問題歡迎指出~

難度可能較大，歡迎有興趣的同學們閱讀~

一、舒爾不等式(Schurs inequality)

設 ，對任意實數 ，均有：

由於式子具有輪換對稱性，以下使用循環求和符號：

其中：

證明 由對稱性，不妨設 ，觀察發現：

， ，

①若 ，顯然 較小，放縮得到：

②若 ，顯然 較小，放縮得到：

所以 對任意實數 均成立。

二、應用

（1）取 ，稱此時的不等式為三次舒爾不等式，即：

，展開括弧得：

，整理得到以下三式：

其中藉助了恆等式（展開易證）：

（2）對三次舒爾不等式，右側使用均值不等式：

令 ， ， ，換元得到：

此時為競賽中的常見題型，其中常有條件： ，則：

要直接證明此不等式較為困難，此時可使用舒爾不等式。

（3）對（2）中結果：

整理得到：

此時也為競賽中的常見題型，其中常有條件： ，則：

要直接證明也很困難，用舒爾不等式可以優化解題。

（4）取 ，稱此時的不等式為四次舒爾不等式，即

，展開括弧得：

，整理得到：

四次舒爾不等式也是競賽中常用的，最好要掌握。