二重積分

造數 - 新一代智能雲爬蟲

二重積分是二元函數在空間上的積分，與定積分類似，目標是求某種特定形式的和的極限。

定積分利用許多矩形的面積和近似曲邊梯形的面積：

二重積分利用許多平頂柱體的體積之和近似曲頂柱體體積：

• 引理簡述

由於篇幅有限，不能詳細證明下面的引理，如果您能自行證明，那麼可以到此處領取小紅花一朵。如果不能自行證明且對此有所懷疑，那麼請努力相信。

並不打算證明的引理：設 在有界閉區域 上可積，變換 將平面 由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區域 一對一地映成 平面上的閉區域 ,函數 在 內分別具有一階連續偏導數且它們的函數行列式：

則

• 簡單的栗子

1. 簡化被積函數

2. 簡化積分區域

• 極坐標 × 二重積分

直觀的體會一下極坐標魔法：

• 例子

召喚維維安尼（Viviani）體！

維維安尼曲線是一個半徑為R的球面與一個經過球面的一條直徑，且半徑為R/2的圓柱面相交而成的空間曲線（如圖），它是以義大利數學家維維安尼的名字命名的曲線。

動態版：

那麼問題來了，球體 被圓柱面 所割下部分，即維維安尼( Viviani )體的體積是多少？

這裡直接給出答案~