狹義相對論與質能公式

02-14

1、質點動力學

（為了簡便起見，以下計算只考慮一維空間與時間的情況）

在牛頓力學中，最為核心的是牛頓第二定律：

$F=ma$ ,

但是我們可以用更廣義一點的定律，即動量定理：

$F=frac{dp}{dt}$ ,

還有一個動能定理：

$F=-frac{dE}{dr}$ .

而在狹義相對論中，時間和空間是時空的不同分量， $(t,x)$ ,一切的矢量都要推廣到閔氏空間，而根據上述的倆定理，我們也可以初步推測，動量和能量也可以組成閔氏矢量 $(E,p)$ 。同時，動量定理和動能定理我們也認為是一個一般的定理，因此在狹義相對論下也成立。但是此時的動量和動能的形式就得發生變化了。

經典的動量寫作:

$p=m v$ ,

物體的質量隨著速度變化，作為一個合理的推廣，我們可以把此處的質量由靜質量推廣到動質量：

$p=m v$ .

那動能的形式該怎麼樣呢？可以根據動能定理，力對物體做的功等於物體動能的增加：

$E_{k}=-int Fcdot dr=-int frac{dp}{dt}cdot dr=-int frac{d(mv)}{dt}cdot dr$ ,

在這裡， $m$ 和 $v$ 都是時間的函數：

$frac{d(mv)}{dt}cdot dr=vfrac{dm}{dt}cdot dr+mfrac{dv}{dt}cdot dr$ .

分別來處理：

$frac{dm}{dt}vcdot dr=frac{d}{dt}frac{m_{0}}{sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}}vcdot dr=frac{c^{2}}{2}frac{m_{0}x}{(1-x)^{2/3}}dx$ ,

$mfrac{dv}{dt}cdot dr=mdvcdotfrac{dr}{dt}=mdvcdot v=frac{c^{2}}{2}mdx$ .

其中 $x=frac{v^{2}}{c^{2}}$ . 因此，動能可以解得：

$E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2}$ .

可以看到，在物體靜止時，也存在一定不為零的能量 $m_{0}c^{2}$ 。而一般的情況，物體的能量為：

$E=mc^{2}$ .

這樣，物體的動量和能量都得到了。但是這只是我們的推測，能正確嗎，或者說自洽嗎？

在上一篇我們說過，閔氏空間的矢量是滿足洛倫茲變換下的不變性的，或者說，閔氏四維長度在洛倫茲變換下不變。我們把能量和動量合在一起作為一個閔氏四維矢量 $(E,p)$ ，簡單的計算可以得到：

$E^{2}-p^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$ ,

這正是能動四維矢量的長度的平方，可以看到式子右邊都是常數，因此滿足洛倫茲不變性。這也就說明我們得到的能量和動量的表達式是自洽的。

2、能量、動量與質量

我們從三者的關係開始：

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}$ ，

從這個式子我們能看到什麼呢？

能量、動量與質量在本質上是同一種東西，我們可以統一叫做能量，而動量和質量是能量兩種不同的表象。前者是運動的能量，後者是靜止能量。能量可以在這兩者之間轉化。注意，這地方不能說能量變成質量或者質量變成能量，而應該理解成能量的表現形式發生了變化。
如果物體靜止，則能量完全由質量提供，即靜止能 $m_{0}c^{2}$ ；若物體沒有靜止質量，則物體的能量完全由動量提供 $E=pc$ ，比如光子，此種物質不能靜止，因為靜止則能量為零，也就是不存在這個物體了。

我們可以看看幾個例子：

1、眾所周知，質子由兩個u夸克和一個d夸克構成，這兩種夸克質量大約為 $5MeV$ ，但是質子的質量大約為1000 $MeV$ ！！！這個現象該怎麼理解呢？由質能關係可以理解這件事：雖然夸克質量較小，但是夸克之間的相互作用有很高的能量，正是夸克之間的能量使得質子的質量遠大於夸克的質量，用公式來說明就是：

$m_{proton}=3m_{quark}^{2}+E_{int}/c^{2}$ .

2、電子與正電子對撞時有可能相互湮滅發射出光子，由動量定理可知這個過程不可能只釋放一個光子，主要是兩個光子，光子的能量可以由能量守恆求得。我們做一個極端的假設，假設電子動量很小，與質量相比可以忽略，或者就認為兩個靜止的電子湮滅了（不考慮實際能否發生，只是為了說明質能公式），光子的能量則為：

$2E_{photon}=2m_{electron}c^{2}$ .

由以上兩個例子可以看出，能量、動量與質量的關係是非常緊密的，實際上，在高能物理中這三個量都按照能量的單位對待。

3、總結

經常會看到很多表述，比如說「質量變成能量」、「質量湮滅成能量」等，通過以上的分析可以明顯的看到，這是不嚴謹的表述。能量不會消失，不會湮滅。動量與質量均可以認為是能量的表現形式，在特定情況下，物質的質量可以來源於物質之間的相互作用能量，物質的能量也可以由其他的物質的質量提供。應該把能量動量與質量當做一個整體來看待。

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