淺析有效場論

02-14

謹以此文獻給已故著名弦論學家Polchinski教授。

不知大家是否有同樣的感覺，本人在學習量子場論的過程中，對於重整化理論的理解總是不那麼到位，通常即使可以用重整化理論來計算一些事情，對於重整化理論仍然感覺沒有學懂。在重整化理論的最初發展中，重整化是為了解決量子場論中存在的發散來引入的，其過程通常教科書上會說因為我們實驗測得的量和裸量並不相等，因此波函數以及耦合常數會差一個重整化因子Z，通過將Z展開成兩項，引入了一個抵消項來抵消理論本身的紫外發散。因此為了避免理論具有不能被抵消的紫外發散，我們通常需要場論具有可重整性，不可重整的理論是不自洽的。

而這一觀點在上世紀70年代由Wilson顛覆了，Wilson重新理解了量子場論中的發散問題以及重整化後的含義，這一重新理解不但使得理論更加合理，同時也極大的豐富了量子場論研究的工具。這一理論展示了不同理論之間的深刻聯繫，是真正普適而又深刻的理論。有效場論的出現讓人們重拾量子場論的信心，而今天量子場論已經成為研究理論物理的基本工具，有效理論的觀念深入人心。

本人閱讀Polchinski關於有效理論的Lecture，頗為受益，本文也是基於作者本人的理解來介紹此Lecture，紀念Polchinski教授的同時，以期對初學量子場論，對於重整化感到困惑的同學有所幫助。有興趣的也可以看Polchinski教授的arxiv: 9210046

對於一個作用量 S, 其場量可以分成兩個部分 $phi_{L}+phi_{H}$ , 分別對應低頻部分和高頻部分。我們可以在路徑積分中將高頻部分積分掉得到積分之後的作用量

$e^{i S_{Lambda}(phi_{L})}=int D phi_{H} e^{iS[phi_{L},phi_{H}]}$

$S_{Lambda}$ 中可以包含很多項，統一的寫作 $sum_{i} int d^{D}x g_{i}O_{i}$ , 然後可以分析這個量綱。

通常在高能物理中，低能下總是存在一個Gauss型的不動點的，也就是說當能量很低的時候，理論可以由自由場論來描述自由場論作用量為 $int d^{D}x partial_{mu}phi partial^{mu}phi$ ,量綱為 $[phi]=frac{D}{2}-1$

如果算符 $O_{i}$ 存在M個 $phi$ 場，N個導數的話， $[O_{i}]=delta_{i}=M(frac{D}{2}-1)+N$

如果理論存在一個特徵能標 $Lambda$ , 可以定義無量綱量 $lambda_{i}=Lambda^{delta_{i}-D}g_{i}$ , 這個量是O(1)的。

而在某一個低一些的能標E下，根據量綱分析 $int d^{D}x O_{i} sim E^{delta_{i}-D}$

則同樣的算符 $int d^{D}x g_{i}O_{i}=lambda_{i} (frac{E}{Lambda})^{delta_{i}-D}$

此時我們可以討論，如果 $delta_{i}>D$ , 則隨著能標的降低，這個算符的貢獻會被指數壓低，這一項叫做無關的。而反之，則叫做相關的。當 $delta_{i}=D$ 則被稱為臨界的(marginal)

從上面的分析中我們可以窺見重整化理論的真正含義：

低能的物理是通過相關算符和臨界算符依賴於高能標下的物理，當考慮一些很微小的效應的修正的時候，會依賴於一些低階的無關算符。

也就是說，高能下的一個場論，我們可以任意的讓它很複雜，只要滿足對稱性的要求，各種項都可以被加入。但是當理論來到低能下的時候，非常多的無關項的效應都被壓到很低，我們能看到的這是相關項和臨界項，而這通常是有限的。這也解釋了為什麼我們要求場論具有可重整性。因為低能下，通過上面的敘述我們自然可以得到一個可重整的場論。

另外值得注意的一點是，在通常教科書中的講述當中，截斷並不是一個物理的尺度，通常在做正規化之後要取到無窮，但是在有效理論的思想中，截斷是一個物理的尺度，我們並不要求場論一直適用，而是在某個能標 $Lambda$ 下，便失效由其它理論來替代，因此這裡並沒有紫外發散的困難。

在推導重整化群方程的時候，具體計算通常要涉及很多複雜的費曼圖計算，而且也要適當的選取維數正規化來避免一些不必要的ambiguity。不過重整化群的思想是簡單的，根據Wilson－Polchinski框架，通常是對根據能標一層一層的進行路徑積分。比如先是積掉 $Lambda-dLambda < omega <Lambda$ , 再積掉 $Lambda-2dLambda< omega <Lambda-dLambda$ 得到重整化群方程

$frac{partial S_{Lambda}}{partial Lambda}=F(S_{Lambda})$

右邊是beta函數。類比於統計物理中的重整化群方法，我們可以先尋找beta函數為0的不動點，在不動點附近做線性展開將問題化為矩陣的本徵值問題，通過它的本徵值的正負來判斷是相關算符還是無關算符。

值得一提的一點是，beta函數的正負也是很重要的，當beta函數為負的時候，我們發現隨著能標的升高，理論的相互作用反而會越來越小，這一點叫做漸進自由的性質。QCD理論就是一個典型的具有漸進自由的理論，而隨著能標的降低，低能下的理論反而會越來越複雜，因此QCD中的夸克和膠子場不再是一個好的描述，我們需要重新尋找新的合適的場變數。而且低能下也會出現微擾論失效的情況

有效場論的想法和通常的重整化理論的最大不同就在於不可重整項的地位，在有效場論中，不可重整項不但是不需要被嚴格禁止的，相反可以作為非常重要的研究高能標下物理的工具。而相反，相關項則會帶來一定的麻煩，即自然性問題。比如對於質量項 $gLambda^{2}$ , 在低能下這一相關項會貢獻 $gfrac{Lambda^{2}}{E^{2}}$ , 這一項如果要是比動能項大，那麼我們需要重新做量綱分析，發現低能下由此項來描述，其它項都是無關項，這一點會造成理論失去動力學。而如果想要讓低能下的物理仍有自由場論來描述，那麼就必須要求 $g ll 1$ , 那麼是什麼原因導致了這一點？這就是自然性問題。

通常，在規範理論和費米子理論中，這一問題並不存在，因為這一項由於對稱性的保護不會出現在高能標的場論當中。規範玻色子的質量由規範對稱性保護，費米子質量由手征對稱性保護。理論不應該出現的是自旋為0的標量粒子。

而標準模型中，恰恰出現了這種標量粒子，就是希格斯粒子，如何解釋自然性問題成為了高能里很多方向的Motivation。

比如著名的理論有額外維模型（RS模型，ADD模型）， Technicolor以及composite higgs模型，以及Supersymmetry。

同時還存在一類相關的算符，那就是1，這類算符在有引力出現的時候會帶來效應，這就是更加困難的宇宙學常數問題。