（七）為什麼老是提到單位階躍響應和單位衝激響應？

在控制系統中我們經常認識一個系統是通過研究他的單位階躍響應和單位衝激響應（單位脈衝響應）來開始入手的，研究他的各種動態響應指標，為什麼不研究一下速度響應，加速度響應啥的呢？

先講一下本文要用到的兩個《信號與系統》的知識點：

1.任何一個信號都可以分解成單位階躍函數的線性組合；

2.一個系統的單位衝激響應（時域響應）等於他的單位階躍響應的導數。

對於1，首先感性考慮一下所有激勵函數，對於每個激勵函數，我們用很高的採樣頻率去採樣他，這裡用正弦函數舉例，採樣得到無數個小矩形，當小矩形的寬度足夠小（即採樣頻率足夠高），數量足夠多的時候就可以還原整個信號。如圖(⊙o⊙)…

湊合看看吧就這樣。。。

那麼這些小矩形和我們講的單位階躍函數有什麼聯繫呢？

這裡提供一個用單位階躍函數構造矩形波的方法，一般《信號與系統》課程會講到的。

首先，單位階躍函數是這樣的，

如果我們要構造這樣一個矩形波。

觀察到上升沿是0時刻，下降沿是t0時刻，用單位階躍構造矩形波的方法是用一正一反，通過時域差抵消，不說了直接上圖。

於是，這個矩形波被表示為

得出結論：任何一個矩形波都可以用這樣一正一反的單位階躍函數表示出來。

關於採樣的地方 又講到，任何一個信號都可以分解成無數個大小，相位不同的矩形波疊加，而任何一個矩形波都可以用單位階躍函數來表示，故進一步得出：所有信號都可以分解成不同幅值，不同相位的單位階躍函數的線性組合！

對於2，一個信號餵給一個系統，在復域裡面我們知道是拉式變換的乘積，而在時域裡面，則是他們時域表達式的卷積！

而卷積有一個微分性質，即

我們知道，單位衝激函數是單位階躍函數的導數，設g(t)是單位階躍響應，h(t)是單位階躍函數，h(t)是單位衝激函數，有f(t)*h(t)=g(t)，所以得證！

總結：任何一個信號都可以分解成不同幅值，不同相位的單位階躍函數線性組合，所以任何信號的響應可以看成無數不同幅值相位的單位階躍響應的線性組合！所以我們要認識一個系統，只需要研究他的單位階躍響應就可以了。至於為什麼要研究單位衝激響應，單位衝激響應是單位階躍響應的導數，也就是單位階躍響應是單位衝激響應的積分，即疊加！是本質中的本質！所以研究一個系統，先從這兩個響應入手！

那麼是不是只要知道了這兩個響應，就可以還原任何諸如斜坡響應，加速度響應等所有高次輸入響應呢？不能！雖然卷積也有一個積分性質，即

但是不定積分有一個同學們經常忽略的地方，也是考試經常丟分的地方，就是

注意+C很重要！這個就是為什麼低次不能通過積分還原高次的原因！就像我們知道一個系統的單位階躍響應是1+t+e^(-t),那麼我們就可以算出他的單位脈衝響應是1-e^(-t)，但是已知單位脈衝響應1-e^(-t)，積分得到t+e^(-t)+C，無法還原那個常數1.

這個加C與不加C在系統裡面代表的意義就是在沒有輸入的情況下系統會不會自發響應，對應電路裡面電容，電感等有冇初始儲能，這也就是《信號與系統》課程裡面為什麼要研究零狀態響應！