Lorenz變換，線性代數與電動力學

02-14

設 $K$ 系相對於 $K$ 系以速度 $vec{v}$ 運動，以 $vec{v}$ 方向為 $x$ 軸方向

Euclidean度規下（向量的共變和反變形式相同）：

沿 $x$ 軸方向的Lorenz變換矩陣（將 $K$ 系坐標變為 $K$ 系坐標）： $Lambda^a_{b}=egin{bmatrix} gamma & -ietagamma &0&0 \ ietagamma & gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1 end{bmatrix}$

沿 $x$ 軸方向的Lorenz逆變換矩陣（將 $K$ 系坐標變為 $K$ 系坐標）： $overline{Lambda^a_{b}}=egin{bmatrix} gamma & ietagamma &0&0 \ -ietagamma & gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1 end{bmatrix}$

$K$ 系四維時空中事件的反變坐標： $x^a=egin{bmatrix} ict&x&y&z end{bmatrix}$

$K$ 系四維時空中事件的共變坐標： $overline{x_b}=Lambda^a_{b}x_a=egin{bmatrix} gamma & -ietagamma &0&0 \ ietagamma & gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1 end{bmatrix} egin{bmatrix} ict\x\y\z end{bmatrix}=egin{bmatrix} igamma(ct-eta x)\gamma(x-cteta)\y\z end{bmatrix}$

上式中Lorenz變換矩陣的作用即相當於線性代數中的基變換矩陣（過渡矩陣）

設 $K$ 系中四維二階張量的形式為 ${A_{alphaeta}}=egin{bmatrix} A^{00} &A^{10} &A^{20}&A^{30} \ A^{01} &A^{11}&A^{21}&A^{31}\A^{02}&A^{12}&A^{22}&A^{32}\A^{03}&A^{13}&A^{23}&A^{33} end{bmatrix}$

則 $K$ 系中該四維二階張量的形式變為 $overline{A_{ ho au}}={Lambda^alpha_{ ho}}{A_{alphaeta}}overline{Lambda^eta_{ au}}$

$=egin{bmatrix} gamma & -ietagamma &0&0 \ ietagamma & gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1 end{bmatrix} egin{bmatrix} A^{00} &A^{10} &A^{20}&A^{30} \ A^{01} &A^{11}&A^{21}&A^{31}\A^{02}&A^{12}&A^{22}&A^{32}\A^{03}&A^{13}&A^{23}&A^{33} end{bmatrix} egin{bmatrix} gamma & ietagamma &0&0 \ -ietagamma & gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1 end{bmatrix}$

$=egin{bmatrix} gamma^2 [A^{00}-ieta(A^{10}+A^{01})-eta^2 A^{11}]& gamma^2 [A^{00}+ieta(A^{00}-A^{11})+eta^2 A^{01}] &gamma(A^{20}-ieta A^{21})&gamma(A^{30}-ieta A^{31}) \ gamma^2 [A^{01}-ieta(A^{11}-A^{00})+eta^2 A^{10}] & gamma^2 [A^{11}+ieta(A^{01}+A^{10})-eta^2 A^{00}]&gamma(A^{21}+ieta A^{20})&gamma(A^{31}+ieta A^{30})\gamma(A^{02}-ieta A^{12})&gamma(A^{12}+ieta A^{02})&A^{22}&A^{32}\gamma(A^{03}-ieta A^{13})&gamma(A^{13}+ieta A^{03})&A^{23}&A^{33} end{bmatrix}$

上式中Lorenz變換矩陣的作用即相當於線性代數中的相似矩陣

當 ${A_{alphaeta}}$ 為反稱張量時（即 ${A^{ik}}+{A^{ki}}=0$ ）：

$overline{A_{ ho au}}=egin{bmatrix}0& -A^{01}&gamma(A^{20}-ieta A^{21})&gamma(A^{30}-ieta A^{31}) \A^{01}& 0&gamma(A^{21}+ieta A^{20})&gamma(A^{31}+ieta A^{30})\gamma(A^{02}-ieta A^{12})&gamma(A^{12}+ieta A^{02})&0&-A^{23}\gamma(A^{03}-ieta A^{13})&gamma(A^{13}+ieta A^{03})&A^{23}&0 end{bmatrix}$

在電動力學中，引入電磁場四維勢 $A^a=egin{bmatrix} frac{ivarphi}{c}&A_{x}&A_{y}&A_{z} end{bmatrix}$

$K$ 系中電磁場張量 $F_{ab}=frac{partial A_{b}}{partial x^a}-frac{partial A_{a}}{partial x^b}=egin{bmatrix} 0&frac{iE_x}{c}&frac{iE_y}{c}&frac{iE_z}{c} \ -frac{iE_x}{c} &0&B_z&-B_y\-frac{iE_y}{c}&-B_z&0&B_x\-frac{iE_z}{c}&B_y&-B_x&0end{bmatrix}$

$K$ 系中電磁場張量 $overline{F_{mn}}={Lambda^a_{m}}{F_{ab}}overline{Lambda^b_{n}}$

$=egin{bmatrix} gamma & -ietagamma &0&0 \ ietagamma & gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1 end{bmatrix} egin{bmatrix} 0&frac{iE_x}{c}&frac{iE_y}{c}&frac{iE_z}{c} \ -frac{iE_x}{c} &0&B_z&-B_y\-frac{iE_y}{c}&-B_z&0&B_x\-frac{iE_z}{c}&B_y&-B_x&0end{bmatrix} egin{bmatrix} gamma & ietagamma &0&0 \ -ietagamma & gamma &0&0\0&0&1&0\0&0&0&1 end{bmatrix}$

$=egin{bmatrix} 0&frac{iE_x}{c}&frac{igamma}{c}(E_y-vB_z)&frac{igamma}{c}(E_z+vB_y)\ -frac{iE_x}{c} &0&gamma(B_z-frac{v}{c^2}E_y)&-gamma(B_y+frac{v}{c^2}E_z)\-frac{igamma}{c}(E_y-vB_z)&-gamma(B_z-frac{v}{c^2}E_y)&0&B_x\-frac{igamma}{c}(E_z+vB_y)&gamma(B_y+frac{v}{c^2}E_z)&-B_x&0end{bmatrix}$

從而得到相對論下電磁場變換公式：

$left{ egin{array}{c} E_x=E_x \ E_y= gamma(E_y-vB_z)\ E_z= gamma(E_z+vB_y) end{array} ight.$ 和 $left{ egin{array}{c} B_x=B_x \ B_y= gamma(B_y+frac{v}{c^2}E_z)\ B_z= gamma(B_z-frac{v}{c^2}E_y) end{array} ight.$