拓撲學|筆記整理（5）——常見拓撲舉例（2），閉集，極限點

大家好！

把實分析的對應的部分結束了，就該回到拓撲學換換腦子了233。

本節我們繼續往下，介紹一些常見的拓撲的例子和相關性質。

提供之前的筆記：

• 拓撲學|筆記整理（1）——集合，函數，關係
• 拓撲學|筆記整理（2）——數域系統，笛卡爾積，有限集
• 拓撲學|筆記整理（3）——無限集，可列集，選擇公理，良序集
• 拓撲學|筆記整理（4）——引入，基，常見拓撲舉例（1）

我們開始今天的內容。

目錄

• 積拓撲
• 子空間拓撲
• 閉集
• 極限點

積拓撲

如果給定了兩個拓撲空間 ，那麼這種拓撲就是針對笛卡爾積 構造出的拓撲。它的定義如下。

Definition:Product Topology

定義 的積拓撲為由所有的諸如 ( 為 的一開子集， 為 的一開子集）形式的集合的族 生成的拓撲。

看到這個定義，我們必須要先check的是這個族本身確實是基。如何證明？

還是一樣走定義，根據基需要滿足的兩個條件來說明這個結果。首先要證明，對於任意的 ，存在一個基元 ，使得 。這是顯然的，因為 根據定義就是一個基元。

而對於第二個條件，我們不直接證明，考慮證明「任意兩個基元的交仍然是基元」（這種證明方法我們在上一節也用過幾次）。那麼假設 都是基元，那麼注意到 ，而又因為 是開集，所以根據拓撲的性質可知 也是在開集內的， 同理，所以根據定義， 確實是一個基元，就證明了結論。

但要注意的是，這個基本身不是一個拓撲，下面這張圖可以解釋的比較清楚。在圖中可以看出，兩個基元可以用兩個矩形表示，而它們的交確實還是個矩形，但是它們的並就不再是矩形了（但是，依然是開集，因為它們在那個紅色的大矩形內）

關於刻畫積拓撲的基，有下面一個定理來支撐。

Theorem:

設 分別對應生成拓撲空間 的基，則 是生成拓撲空間 的基。

又要證明一個基？如何去做呢？這裡我們再一次換一種基的證明方法。

回想一下上一節我們提到的一個引理。對於 上的任意開集 ，只要 ，都可以找到一個集合 滿足 ，那麼這個時候 （所有滿足條件的 的集合的族）就是基。而對應到這裡，即為對於任意的開集 ，都存在一個元素 ，滿足 ，這個條件滿足，就證明了 為基，因為它確實是這一類事物的族。

回想一下這個相當於什麼？相當於 ，也就是說，只要找到這樣的 在一維的情況滿足這些性質即可。再推一步就是說，要證明這樣的集合的族 是基即可。但這是已知條件，所以結論自然就成立了。

根據這個結果，事實上我們就容易根據單維的拓撲的基的形式，來構造出多維的笛卡爾積形式下的基。

有的時候，在討論積拓撲的時候，有的時候用子基也會是很有幫助的。在這之前我們鋪墊一些其餘的定義。

Definition:projection

設 ，滿足 ，則映射 分別定義為笛卡爾積 到第一，二分量上的投影。

顯然，投影是滿映射，不用解釋吧？

我們用下面這個定理來解釋為什麼需要引入投影。

Theorem:

族 是 的積拓撲的子基。

要證明一個族是一個拓撲的子基，事實上和證明是基差不多，就是要證明這個子基生成的拓撲 和原來的拓撲 是一個東西即可。而這裡自然這個 就是積拓撲。

怎麼說呢？首先要注意每一個 的元素都在 內（這是因為 都是 的開集，所以交也是開集，即在拓撲內）。這樣的話，任意的它們的有限交自然開始在 內的，這樣用這些元素去生成的拓撲 ，就證明了一個方面（別忘了，子基的任意有限交的集合的族就是基）。

反過來，對於每一個 中的元素，它都是 的形式，另外它們都是 中元素的有限交（這是因為 ），所以它們又會是 的元素，就證明了反方向 。

至於括弧中式子為什麼成立，大家畫個圖就好了。

子空間拓撲

這也是一個常見的拓撲結構，它的定義如下。

Definition:

設 是一個賦有拓撲 的拓撲空間。如果 ，則 是一個拓撲，定義為子空間拓撲，並且把賦有這個拓撲的 稱為 的子空間。在此時， 的開集族是由 的開集與 的所有的可能的交組成的族。

老套路，先來check一下 是否是一個拓撲。

拓撲要滿足三個條件，先來檢查 在拓撲內，這是顯然的，因為 。而任意的並和有限的任意的交依然在拓撲內的原因是 , 。就證明了結論。

那麼它的基是什麼呢？

Lemma:

設 是一個 上的拓撲的基，那麼 是 上子空間拓撲的基。

如何證明？還是一樣考慮上一節我們證明一個族是基的那個引理。如果對於一個拓撲空間 和一個開集 ，且對於任意的 ，存在 ，滿足 ，則所有滿足條件的 組成的族 就是基。放到這裡就是，對於給定的集合 ，對於任意的開集 ，都能存在一個元素 ，滿足 ，則命題就相當於 （這裡我跳了一步）。我們可以根據 , 是基，來得到我們要的結論。

子空間的概念有的時候會有歧義，這原因是什麼呢？因為 上如果定義了一個拓撲 ，那麼給定一個 ，根據定義，就可以構造一個子空間拓撲 ，它是 上的一個拓撲，這就讓我們沒辦法分辨一個「開集」究竟是屬於哪一個集合的。因此，我們要分開來說，分別說「 上的開集」和「 上的開集」。

還需要糾正的一個常見錯覺是每一個 上的開集都是 上的開集。這個一般情況下是錯誤的。但是也有一個特例。

Lemma:

設 是 的子空間。如果 是 上的開集， 是 上的開集，那麼 是 上的開集。

證明很簡單，首先根據 是 上的開集可以得到 ， 是某個 上的開集。而 均為 上的開集，所以它們的交自然也是，就證明了結論。

接下來，我們需要把這個拓撲和之前說的內容聯繫起來再看。先來說明子空間拓撲和之前說的積拓撲的關係。

Theorem:

如果 是 的子空間， 是 的子空間，那麼 上的積拓撲即為 在 上一個子空間拓撲。

解釋一下，命題中的意思是說，子空間拓撲的元素形式 中，如果設 ，那麼 就是 生成的拓撲的一個元素。

積拓撲的定義上面有說。比如 的積拓撲的基元就是 的形式，其中 分別為 上的開集。而 就是 上的子空間拓撲的基元形式。（別忘了，題意其實已經告訴我們 了）

注意到 ，而 分別是 的子空間拓撲的元素形式，也就是說它們倆分別是 上的開集，那麼根據定義， 確實是 上的積拓撲的基元。

結論證完了嗎？證完了。因為我們證明了，任意的 上的子空間拓撲的基元，都是 上的積拓撲的基元，那它們生成的拓撲自然是相同的。

這個定理告訴我們，積拓撲和子空間拓撲之間有這麼一個不可磨滅的相等關係，但是針對序拓撲就不是這麼一回事了。這一塊我們用例子來說明。

Example 1

考慮 在 上的子空間拓撲，那麼它的基元都具有 的形式。則這些集合只有四種形式： 。而它們的總體又構成了序拓撲的基，所以它們倆相等。

這是一個正面的例子，下面來看一個反面教材。

Example 2

設 且為 的子集，考慮它在 上的子空間拓撲，那麼集合 是 上的子空間拓撲上的一個開集，但是它不是 上序拓撲的一個開集，因為所有包含 的集合形式為 ，這個集合永遠會包含其餘非 的元素。

那麼是不是意味著序拓撲和子空間拓撲毫無聯繫？也不完全是。為了說明關係，我們補充一個定義。

Definition:convex

對於一個次序集合 ， ，如果對於 中的任意一對數 ， ，則稱集合是一個凸集。

好的，下面這個定理，就描述了二者的關係。

Theorem:

設 是一個賦有序拓撲的次序集， 是 上的凸集，那麼 上的序拓撲和 在 上的子空間拓撲相同。

這個證明稍有技巧性，我們來看一下。

考慮一個 中的開區間 （我們有必要強調一下，單向無界區間在 中的意思是所有的在 中的比 大的元素，和我們一般理解的無界區間含義不同），那麼這個時候考慮 會得到什麼樣的結果？

如果 ，拿數軸畫一下容易得到，這個時候它是 上的單向無界開區間。

如果 ，那麼這個集合只有兩種結果，就是 （想想為什麼）。同樣的，如果我們考慮集合 會得到相同的結果。

為什麼要考慮這個？其實目的是考慮子基。子基的定義是什麼？對於一個集合 ，子基是 的子集的族，且內部的集合的並為 本身。而針對這個題，我們討論的兩個集合的並確實是 本身，所以它們其實構成了一組子空間拓撲的子基。再注意到這兩個集合每一個都是在序拓撲內的集合，所以可以說序拓撲包含子空間拓撲。（補充說明一下，因為如果說明了一組拓撲 上的子基，每一個元素都是拓撲 內的，就說明了拓撲 的基本身也都在拓撲 內，那自然可以說明 ，也就是 更細）

反過來，注意到 中的每一個單向無界開區間都是一個 的單向無界開區間和 的交，這就說明了它們每一個都是子空間拓撲中的元素。但是 中的每一個單向無界開區間的族又是序拓撲的子基，這就說明了反方向的結果成立。

閉集

閉集在數分三和實分析里也是經常涉及的概念，拓撲中對於它們的性質和應用又做了不同角度的闡述。它的定義如下。

Definition:Closed Sets

對於一個拓撲空間 ，如果 ，且 是開集，那麼定義 為閉集。

比方說，考慮平面 ，那麼集合 就是閉集，因為它的補集是兩個開集 的並，因此依然是開集。

還有一個有趣的例子是離散拓撲，對於一個給定的拓撲賦予的集合，它的所有子集都是開集，那麼由於子集在全集下的補集依然是子集，所以離散拓撲的所有子集其實也都是閉集。

我們之前給過相關的拓撲空間的定義，在拓撲空間中我們給出了開集的定義。而對於閉集，其實也是相似的道理。

Theorem:

設 是一個拓撲空間，那麼

(1) 是閉集。

(2)任意的閉集的交依然是閉集。

(3)有限的閉集的並依然是閉集。

這些都是挺顯然的結果。對於第一個，取補集即可。而對於第二，三個注意公式 即可得到，這裡不再證明了。

下面是一個關於子空間的相關定理。

Theorem:

設 是 的子空間，那麼 是 內的閉集當且僅當它與 的一個閉集和 的交集相同。

多說一句， 是 的子空間，意味著 且定義了 的一個 上的子空間拓撲。

一方面，我們假設 ，並設 是 中的一個閉集，那隻需要證明 是 內的閉集即可，也只需要證 是開集即可，而 ，而 根據定義是開集，於是根據定義， 是 中的開集，就證明了結論。

另一方面，如果 是 內的閉集，那麼 為開集，那麼根據子空間拓撲的定義，它為一個 中的開集 與 的交集，也就是說 。那麼 就是閉集，並且 ，而 就是我們想找的 的一個閉集。這就證明了結論。

和開集相似，在說閉集的時候，也有一個一樣的錯覺就是所有 子空間集合( )上的閉集依然還是 上的閉集。但是有下面的一個定理說明了它們的關係。

Theorem:

設 是 上的子空間，如果 是 上的閉集， 是 上的閉集，那麼 是 上的閉集。

我們不再證明。

下面是有關閉集的更細化的概念：內部和閉包

Definition:interior,clousre

給定一個拓撲空間 上的子集 ，定義所有的 的子集且為開集的並為集合 的內部，記為 。所有的包含 的閉集的交為集合 的閉包，記為 。

顯然，內部為開集，而閉包為閉集，並且 。

同樣，提到子空間的時候，還是容易有歧義的。假設 為 的子空間，並且 ，那麼 到底指用 中的所有包含 的集合做閉包，還是用 的？為了消除歧義，人為規定 指的是用 上的集合做閉包。而對於 在 上的閉包，有下面的定理來支撐。

Theorem:

設 為 的子空間， 。那麼 在 上的閉包為 。

要證明這個結果，只要從兩個方向證明包含關係即可。

一方面， 顯然是 上的閉集，並且包含 。如果設 為閉包，那麼 ，因為閉包定義為所有這樣的閉集的交。

另一方面，因為 是 上的閉集，所以存在一個 上的閉集 滿足 。而 ，所以容易得到 ，就證明了結論。

最後一個有趣的定理往往用來刻畫一個集合的閉包的，因為如果直接使用我們本源的定義尋找閉包其實是很困難的。

Theorem:

設 為拓撲空間 的子集，那麼

(1) 當且僅當每一個包含 的開集 與 交集非空。

(2)若 的拓撲由一組基生成，則 當且僅當每一個包含 的基元 與 的交集非空。

這個證明是有點獨特的，需要一點技巧。

對於第一個證明，因為要考察「每一個」，所以直接證明是有難度的。根據第一屆說的常用邏輯，我們換一種思路，考慮它的逆否命題形式，於是我們可以考慮證明命題「 當且僅當存在一個包含 的開集 與 交集為空」。

這個命題就好證多了。一方面，如果 ，那麼 就滿足要求。反過來，如果存在一個包含 的開集 與 的交集為空，那麼 就是一個閉集，且包含 ，所以 ，而 是不含 的，所以 自然不含 ，就證明了結論。

對於第二個證明，首先根據第一個結論，可以把 轉為結論「每一個包含 的開集 與 交集非空」。

一方面，如果每一個包含 的開集與 交集非空，那麼因為基元都是開集，所以結論自然可以成立。另一方面，如果每一個基元與 交集非空，那麼顯然開集與 交集非空，因為每一個開集都會包含一個含 的基元，就證明了結論。

數學家們一般在這裡會使用一個新的詞語「鄰域(neighborhood)」來說明一個包含元素 的開集，相信你們也不會陌生。所以這個時候，第一個性質可以這麼寫。

當且僅當每一個 的鄰域與 交集非空。

好的，用一個例子緩衝一下。

Example:

設 ，那麼 ，它在 上的閉包為 ，但是它在 上的閉包為 。

極限點

極限點就是數分三中所涉及的聚點的概念，它的定義如下。

Definition:limit point

如果 的閉包包含 ，則稱 是 內的一個極限點。

它還有一個定義就是我們在數分三中採用的定義。

如果所有的與 交集非空的 的鄰域，其與 的交集均含有除 本身的元素，則稱 是 內的一個極限點。

比方說，對於集合 ， 就是極限點。

有一個定理其實是我們之前就已經說過的，把它展示在這裡。

Theorem:

設 是拓撲空間 的子集， 為所有的 的極限點的集合，那麼 。

還是一樣採用集合的相互包含關係來證明這個結論。首先 ，所以再考察一下 即可。

因為如果 ，就說明每一個包含 的開集都與 的交集非空，根據上面那個定理的第一條即可知道 ，所以 ，所以 。

反過來，如果 ，分情況討論。如果 ，那麼很顯然 。如果 ，那麼由於 ，所以根據上面的定理的第一條可以知道，每一個 的鄰域 與 有交集。又 ，所以每一個交集中一定還有除 以外的元素，這就符合了極限點的定義，所以 。也就是說 ，就證明了結論。

根據這個式子，很容易得到

Corollary:

一個拓撲空間的子集為閉集，當且僅當它包含所有的極限點。

我們不再證明。

小結

這一節我們主要集中的介紹了一些常見的拓撲和它們之間的聯繫，並且也介紹了一些我們已知的概念，用來為之後的學習鋪墊，所以本節依然是概念和證明很多的一節，有一定的難度。

另外，書上花了篇幅介紹了一些豪斯道夫空間的相關概念和性質。用來抹去一些幾何中反直覺的例子，這一部分如果之後用上會再拿出來說，但是這裡因為內容關聯性不是太大，所以節省篇幅，就沒有放到這裡，感興趣的可以在wikipedia上尋找相關的資料。

感謝大家一直以來的支持，為點贊收藏感謝讚賞的看客比心~~

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