7 超越方程的漸近級數解（續）

02-14

再看一個超越方程的例子： $x an x=1$ ，即 $x=npi+ an^{-1}(1/x)$ ，知道 $an^{-1}(1/x)in(-frac{1}{2}pi,frac{1}{2}pi)$ ，也就是說 $arctan= an^{-1}$ 有界（我們取主值）。那麼 $x(n)sim npiquad(n oinfty)$ . 這從圖上可以直觀的看到：

可以看見， $frac{1}{x}$ 與 $an x$ 的交點不斷地逼近 $npi$ 。

分析地而言，我們可將 $an^{-1}(1/x)$ 展開： $an^{-1}(1/x)=frac{1}{x}-frac{1}{3x^3}+frac{1}{5x^5}-frac{1}{7x^7}+cdots$

所以 $x=npi+O(x^{-1})=npi+O(n^{-1})$ ，逐項代入

$egin{align} x&=npi+frac{1}{npi+O(n^{-1})}+O(frac{1}{n^3})\ &=npi+frac{1}{npi}{1+frac{O(n^{-1})}{npi})}+O(frac{1}{n^3})\ &=npi+frac{1}{npi}+O(frac{1}{n^3})end{align}$

再代入一次：

$egin{align} x&=npi+frac{1}{npi+frac{1}{npi}+O(frac{1}{n^3})}-frac{1}{3{npi+frac{1}{npi}+Ofrac{1}{n^3})}^3}+O(frac{1}{x^5})\ &= npi+frac{1}{npi}-frac{4}{3(npi)^3}+O(frac{1}{n^5})end{align}$

值得注意的是，每一次都要向 $an^{-1}x$ 即修正項中代入新的值，而不是只代入更高一階的項中。

值得指出，這個代入的過程與級數反演的過程等價，我們來詳細考察一下方程 $x an x=1$ ，正如上面所說，當n大時， $xsim npi$ ，那麼可以設 $x=npi+delta$ ， $delta$ 是 $O(1)$ 的，將其代入原方程中得到 $(npi+delta) an (npi+delta)=1$ ，將左邊按照 $delta$ 展開，得到： $npi delta +delta ^2+frac{1}{3} npi delta ^3+frac{delta ^4}{3}+frac{2}{15}n pi delta ^5 +Oleft(delta ^6 ight)=1$

現在進行級數反演，即對上式中左端的冪級數反演：

令 $t=npi delta +delta ^2+frac{1}{3} npi delta ^3+frac{delta ^4}{3}+frac{2}{15}n pi delta ^5 +Oleft(delta ^6 ight)$

設 $delta=sum_{i=0}^infty a_i t^i$ ，代入到上式中，然後兩邊係數相等即可求出 $a_i$ . 然後令 $t=1$ 就得到我們可愛的修正項 $delta$ 的漸近表達式了。

在 Mathematica 中用 InverseSeries 命令可以一步搞定：

$egin{align}delta&=frac{t}{pi n}-frac{t^2}{pi ^3 n^3}+frac{left(6-pi ^2 n^2 ight) t^3}{3 pi ^5 n^5}+frac{left(4 pi ^2 n^2-15 ight) t^4}{3 pi ^7 n^7}+frac{left(pi ^4 n^4-25 pi ^2 n^2+70 ight) t^5}{5 pi ^9 n^9}+Oleft(t^6 ight)\ &overset{t=1} ightarrowfrac{1}{pi n}-frac{1}{pi ^3 n^3}+frac{4 pi ^2 n^2-15}{3 pi ^7 n^7}+frac{6-pi ^2 n^2}{3 pi ^5 n^5}+frac{pi ^4 n^4-25 pi ^2 n^2+70}{5 pi ^9 n^9} end{align}$

值得提到，這個例子寫進了Maple教程 Essential Maple 7: An Introduction for Scientific Programmers中。見此書 P85.

這個例子在 Numerical Methods for Special Functions 一書中被多次反覆不厭其煩地拿來作 toy model。要言不煩，可見其要。