Know Your Weapon: 從XIV的自我毀滅說起（筆記005）

02-14

之前一直想寫個know your weapon的系列，講幾個定價模型在興起、失敗與演化的故事。80年代股票期權的盛行與87年股災、90年代利率衍生品的興起與奧蘭治縣的破產、2000年後信用衍生品的發展和08年危機。

好巧不巧，上周VIX市場就上演了一場期待已久的完美逼空。波動率24小時內從15飆到50，單日漲幅史上第一，同時引爆了幾支ETP和對沖基金的清盤。趁著這個熱度，就拿它作為新時代波動率衍生品的膨脹和坍塌，作為這個系列的引子吧。

這又是一場市場參與者不了解產品風險，交易過度擁擠造成的市場坍塌，一場迷你版的08年CDO風暴。

波動率是高收益、高尾部風險的資產。所謂尾部風險，就是那種你們家模型說10億年不會出現一次，但是每隔5、6年就碰上，並且碰上了資產就清零的風險。尾部風險大多是過度擁擠造成的，而數學模型很難描述人愛扎堆的天性。

波動率本來是一個高度專業化的市場。之所以收益高，是因為能有效管理尾部風險的人不多，所以市場願意為提供這種服務的機構提供額外補償。

但是，就像當年的CDO，具有極高相關性風險和期權性的產品，被穆迪和標普評了個級，就當成普通信用資產推向了普通投資者。這次極度複雜的波動率資產被包裝成了ETP賣給了零售投資者（這裡將ETF和ETN通稱為ETP）。

零售投資者普遍對資產的投資周期和風險沒有合理的認識。去年三月份在零售投資者集散地雪球看到一個大V用技術分析的方法分析XIV，還沒等我展開講，就被妥妥地禁言了。。。

就像XIV募集書里說的那樣，XIV是交易性產品，在戰場上當作手雷用，是非常有效的近距離大面積殺傷性武器。但是，你如果拿它當手槍用，我不敢想像拉了弦還攥在手裡瞄準的畫面。

先說說XIV這個產品到底是啥：

從美國股票市場選500家具有代表性的大型企業組成標普500指數
以標普500指數作為標的，發行場內期權產品
從30天到期的所有虛值期權中，選取特定比重組成期權組合，使得該組合的損益為波動率的平方的線性函數，這個波動率稱之為VIX（還要經常對這個組合delta對沖，不然就混進來其他風險了）。如果場內沒有正好30天到期的期權，就用前後兩個到期日的兩個期權組合。組合的權重還不是根據波動率插值，而是在總方差上用時間線性插值。這一步非常複雜，計算量巨大，市場動蕩時，由於標普500期權的報價異常，經常致使VIX在開盤很久還算不出數來，比如2015年8月24日。
以VIX為標的，發行每個月的期貨。每個期貨理論上這樣定價：做多一個期權組合，該組合的到期日為期貨到期後30天，做空一個期權組合，到期日與期貨到期日相同。期權組合的配置類似於步驟3。這裡還忽略了一個無法對沖的風險，期權組合複製的是波動率的平方，而期貨本身是波動率，這裡有一個convexity的風險要留在做市商手裡。
用第一個月的期貨和第二個月的期貨做一個組合，兩個期貨的權重每日調整，使得兩個期貨的到期日的加權平均為一個月。這裡還不是嚴格的一個月，按時按舉例第一個期貨的交易日與兩個期貨之間的交易日的比重。這兩個期貨價格的加權平均在募集書里定義為TDWO，其實就是虛擬的一個月到期的期貨的價格，也是我們經常用到的constant maturity futures的概念。
現在才輪到XIV出場：XIV是一個基金，它持有TDWO的空頭，每天對空頭調倉一次。調倉後使得XIV次日的損益百分比等於TDWO次日損益百分比的-1倍，也就是-1倍ETP的定義。調倉時間為紐約下午16：15，也就是股票市場關市後15分鐘，也是期貨市場的結算價時點。（選取這個時點的初衷應該是，結算價最透明，不用跟監管和客戶糾纏自己調倉的價位和時點問題，在大部分時候也是流動性最好的時點之一）。

根據近月和次近月合約計算一個月合約TDWO的價格

前幾步的問題不多說了，解釋起來需要半本書的數學公式和幾千行code。而且參與這個市場的人都知道，不知道的也不會參與。但第6步的複雜程度，卻是槓桿ETP的零售投資者可能想像不到的。

任何ETP，一旦槓桿不是在0到1之間，就會出現short gamma的效應，無論你是2倍、3倍，還是-1倍、-2倍、-3倍。

Short gamma是一種可能急性發作也同時慢性發作的病。這次殺死XIV的，就是急性發病。我們不妨以XIV為例，看看short gamma的發病機理：

假設今天4：15收盤的時候XIV凈值為100，TDWO價格為20，那麼，XIV做空5股TDWO。第二天4：15的時候，如果TDWO漲到24，漲幅20%，那麼XIV會損失5×4=20，跌幅-20/100=-20%。此時XIV凈值跌到80塊。
為了保持XIV凈值與TDWO恆定的百分比變動，需要將空倉調整為80/24=3.3333股。也就是需要買回5-3.3333=1.6667股TDWO。這樣，如果第三天TWDO跌回20塊，跌幅為4/24=16.67%。XIV的凈值變為80+3.3333×4=93.3333，漲幅3.3333×4/80=16.67%。完美的達到了-1倍的目的。
但是，我們發現，TWDO兩天後回到了原來的位置，但是XIV卻只回到了93.3333。損失掉的6.6667塊，就是short gamma造成的。

細心的話，我們會發現，一來一回，-1倍的XIV硬生生損失掉的6.6667好像有點等於：20%^2×100+16.6667%^2×80=6.22。

為了證明上述關係不是巧合，我們使用了人見人恨的數學公式推導：

如果XIV連續調整它的倉位，以達到設定的槓桿倍數 $lambda$ 的話，那麼它期末的價格 $XIV_t$ 與期初的價格 $XIV_0$ 的數學關係為（此處省略500字的隨機過程推導）：

$XIV_t=XIV_0left( frac{TDWO_t}{TDWO_0} ight)^{lambda}expleft{ {int_{0}^{t}left[ r_s-frac{1}{2}lambdaleft( lambda-1 ight)sigma_{s}^{2} ight]ds} ight}$

這裡 $sigma_{s}$ 是TDWO實現的波動率， $r_{s}$ 是contango造成的收益。

上述公式對任何倍數的ETP都是普適的。對於任何 $lambda$ 不在[0,1]區間的ETP，由於 $sigma_{s}$ 項的拖累，也就是short gamma造成的損失，用一句數學術語來說，最終凈值歸0的概率為100%。不信你隨手搜幾個槓桿化ETP，比如2倍做多原油的LOIL。

對於XIV來說， $lambda$ 等於-1，所以

$XIV_t=XIV_0left( frac{TDWO_t}{TDWO_0} ight)^{-1}expleft{ {int_{0}^{t}left[ r_s-sigma_{s}^{2} ight]ds} ight}$

可見，XIV的變動不僅與TDWO的變動相關，還會長期被TDWO的每日變動平方拖累。

在歷史以往所有的日子，TDWO（VIX一個月期貨的價格）從來沒有在一天之內漲幅超過100%。所以只要在收盤時按以上計劃降低空頭倉位，就不會面臨清盤。Short gamma的慢性損耗雖然日日積累，但是由於VIX期貨大部分時間是contango形態，所以長期看carry收益能彌補這部分short gamma損失，歷史上長期保持漲勢。

以2015年6月為基數的兩年時間，Contango的收益與Short Gamma的損失

不過，在2015年8月的股市大震和2016年6月的應該脫歐，市場已經警告過這個產品一次。由於VIX大幅波動，造成了short gamma損失的極具擴大。好在TDWO的單日波動沒有超過過100%，XIV並未觸發清盤。

此後，Contango的盈利慢慢補足了short gamma的損失。到了2017年，由於波動率都不怎麼波動，short gamma效應深藏了它的威力。並且波動率在低位時contango效應更明顯，XIV漲勢喜人。更多的零售客戶已經忘記了（或者根本不知道）short gamma效應，紛紛殺入，造成了頭寸極度擁擠。

我們看一下車禍現場：

下圖是2014年以來TDWO的價格（紅線），綠線是主流波動率ETP的凈vega敞口（單位百萬美元），藍色是加上VIX期貨的凈持倉。在2016年初全球股市下跌時，凈多頭達到頂峰後，然後一路下跌到18年2月2日的凈空頭160多。

這給清盤創造了天然條件：

TDWO基數史上最低，漲幅很容易就超過100%；
頭寸過度擁擠，有人隨便喊一聲就容易引發踩踏。

作為XIV最底層資產的標普500，在2018年1月的漲勢已經人神共憤。你一個18輪大卡在下坡的山路上還tm飆起了車。XIV的駕駛員一看不幹了。我一個4倍速的小跑（XIV以往都是4×的beta），還能讓你搶了風頭？

正當我們的XIV一腳油門踩到底時，對面過來的美債也正踩了腳油門要爬坡。大標普禮貌性的打了把方向，給美債讓了讓路。好死不死，你個羽量級小XIV還跟18輪搶路？一個剮蹭直接15億的市值就掉山溝了。

下邊是監控視頻拍攝到的現場的實況：

由於對長期通脹的擔憂、以及央行鷹派的表態，10年美債收益率從年初的2.40%，飆到了2月5號案發前的2.90%。股票再瘋也不得不考慮估值的壓力，在5號之前已經禮貌性下跌。

TDWO在2月5日之前的幾天已經從12升到了15。在5號下午，由於標普的進一步跌幅，TDWO已經在日內上升到接近20。

根據剛才的介紹和此類基金的規模，這需要在收盤16：15時買入極大量的VIX期貨。但是，這個時候市場還是持有空頭的人居多，沒有太多人願意此時額外賣空更多期貨。更重要的是，市場已經意識到這幾個基金調倉是法定義務，何必要接這個飛刀。

於是在臨近16：15時，XIV無法找到足夠的交易對手，只好提高買入的價格。要命的是，根據-1倍ETP的約定，更高的價格就需要平掉更多的頭寸，於是繼續抬高價格，造成更恐慌的情緒，無人做對手盤。一場完美的short gamma squezze，在幾分鐘內將TDWO推高到29.5。前一日的TDWO為15.19，接近100%的漲幅，自己把自己爆倉了。

一場經典的大卡車危險駕駛，造成小跑車墜崖的交通事故。不過XIV也用最後一絲力量完成了對大標普的復仇。VIX的上升會帶動了恐慌情緒，並以光速席捲全球市場，放大了全球股市下殺的幅度和速度。

但是，到目前發展的水平來看，這一波震蕩能不能外溢到基本面，還要看下周大標普的表現。看到山崖下的XIV後，會不會嚇了一身冷汗，然後規規矩矩的開車？還是穩穩地跟對面的美債撞個稀碎？敬請關注下周的精彩表演。

但教科書里，肯定又會增加一個經典的衍生品案例。

雖然說了這麼多Legeraged ETP的壞話，但是我非常同意Asness Clifford前天的觀點，沒有壞的基金，只有使用不當的基金。XIV雖然是零售投資者的高爆型武器，但也不過是一個閹割版的期權而已。如果能合理的度量它自帶的momentum和carry優勢，並且把控好自帶的非線性short gamma因素，這件高爆型武器會是戰場上有效的工具。

至少，你有沒有意識到瑞信在這個產品里送了你一個免費gap risk的期權保護。能有效保護自己的尾部風險，在打掃戰場階段就能撿到便宜貨。畢竟，爆倉的人是沒有討價還價資格的。

戰鬥打到最後，往往檢驗的都是武器在極端情況下的性能。

Know your weapon, before the battle!

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