雙曲群（I）：雙曲群是什麼？

02-14

雙曲群（Hyperbolic Group）這個概念由 M.Gromov 引入並發展起來，1987年在他發表Hyperbolic Groups（Pages 75~263, in Essays in Group Theory, Springer）一書後，開創了幾何群論的一個大課題。

我這學期ode課的期末閱讀報告就是這本書的一小部分，我也將通過幾篇科普性質的小文章來展示我的報告。因為我還未修習黎曼幾何等課程，所以對雙曲群的幾何理解十分粗淺請大家見諒。

Gromov 給了一般的雙曲度量空間的定義，但我們選取一個對測地空間（geodesic spaces）等價的但更直觀的定義來看。

在龐加萊圓盤中，「直線」是那些歐氏正交圓弧，三角形的內角和小於180°：（圖片來源網路）

一個連通圖（graph） $X$ ，上面有自然的單純度量（simplicial metric），不嚴格地說就是一種度量，使得每條邊上的度量都跟歐氏區間 $[0,1]$ 一樣，位於不同邊上的點之間的距離，就是連接二點的折線的最短長度。所以在單純度量下，圖 $X$ 是一個測地空間，也即對任兩點 $A,B$ 都有至少一條測地線 $f_{AB}:[0,d(A,B)] ightarrow X$ 是等距嵌入。（在無歧義時， $[A,B]$ 就代表其中一條測地線）

那麼容易猜得到，我們應該這樣來定義圖 $X$ 的雙曲性：

如果對圖 $X$ 中任意三個點 $A,B,C$ 以及任意三條測地線 $[A,B],[B,C],[C,A]$ ，如果有：

$d(x,[A,B]cup [A,C])leq delta qquad forall xin[B,C]$

那麼我們稱圖 $X$ 是 $delta$ -雙曲的。如圖所示（Drawn by Stomatapoll，維基百科）：

容易看到下面的例子：

例：樹是 $0$ -雙曲的；平面上的 $mathbb{Z} imesmathbb{Z}$ 網格不是雙曲的；有限圖都是雙曲的。

如何來定義「群的雙曲性」呢？

在幾何群論中，我們常常考慮一個群的Cayley圖。

對有限生成群 $Gamma$ ，取它的有限生成集 $mathcal{S}={gamma_1, gamma_2=gamma_1^{-1}, gamma_3, gamma_4=gamma_3^{-1}, dots, gamma_{2n}}$ ，可以以群 $Gamma$ 中元素為頂點，兩頂點連邊當且僅當 $exists gammainmathcal{S} s.t. v_2=v_1cdot gamma$ （注意是右乘！）這便構成了群 $Gamma$ 的Cayley圖 $X$ 。

你會看到若考慮Cayley圖 $X$ 的單純度量，選取恆等元 $1$ 為基點，記 $|gamma|$ 是頂點 $gamma$ 到 $1$ 的距離。那麼 $|gamma|$ 就是 $gamma$ 用 $mathcal{S}$ 中的元素生成時的最短長度， $d(gamma_1,gamma_2)$ 就是 $gamma_1^{-1}gamma_2$ 用 $mathcal{S}$ 中的元素生成時的最短長度（注意順序！）。並且群 $Gamma$ 對自身的左乘作用可以看作圖 $X$ 到自身的等距變換，即： $d(gammagamma_1,gammagamma_2)=d(gamma_1,gamma_2)$ 。

我們用Cayley圖 $X$ 代替群 $Gamma$ 被研究時，便有了一些幾何直觀，定義群 $Gamma$ 是 $delta$ -word雙曲的，如果Cayley圖 $X$ 是 $delta$ -雙曲的。這便是word雙曲群的定義（與Gromov的定義等價，請大家放心。）

例：自由群的Cayley圖是一棵樹，所以自由群都是雙曲群。實際上，雙曲群是那種具有少量關係的有限生成群。 $mathbb{Z} imesmathbb{Z}$ 的Cayley圖是無限網格，所以不是雙曲群。（Drawn by Benbennick, 維基百科）