群的擴張（一）：完備群概念的導出

02-14

零。符號簡介

$Klhd G$ 表示 $K$ 是 $G$ 的正規子群；

$Qpreceq G$ 表示 $Q$ 是 $G$ 的子群；

$C_{G} (K)$ 表示 $G$ 中與 $K$ 中任一元均可交換的元素所構成的子群。

一。問題引入

在群的擴張問題中，給定正規子群 $K$ 和商群 $Q$ ，試求群 $G$ 使得 $Klhd G$ 且 $G/K=Q$ 。我們現在討論這樣一個較為簡單的問題，當我們對 $K$ 有一定的要求的時候，對任意的商群 $Q$ 擴張出來的 $G$ 一定是唯一的，即 $Gsimeq K imes Q$ 。這等價於，找出所有的 $K$ 使得：

$forall group G, Klhd GRightarrow K is a direct factor of G$

在Joseph J.Rotman所著的《An Introduction to the Theory of Groups》(Fourth Edition)(群論導論）一書中，證明了這樣的 $K$ 是所謂的完備群(complete group)，中心平凡且自同構均是內自同構。

以下我將用我對這塊知識的理解，用一個新的順序來「證明」這個事實。

二。充分性

我們首先來看，對於什麼樣的 $K$ ，它的擴張解是唯一的。

若 $Klhd G$ ，要想找到 $Qpreceq G$ (表示子群之意)，有 $G=K imes Q$ ，那麼必有 $Qpreceq C_{G} (K)$ 。

所以先有 $Kcap Qpreceq Kcap C_G(K)=Z(K)$ 。

其次有 $G=K,Q=K,C_G(K)$ ，即要對 $forall gin G, exists k_0in K, s.t. gk_0in C_G(K)$ ，所以對 $forall kin K, g^{-1}kg=k_0kk_0^{-1}$ ，也即需要 $g$ 的共軛作用限制在 $K$ 上是 $K$ 的自同構 $i.e. gamma _g|_K in InnK$ 。

所以當 $Z(K)=1, Aut K=Inn K$ 時，擴張解必定唯一。

由此，我們得到了完備群的概念。

三。必要性

是否保證擴張解唯一的群 $K$ 就一定是完備群呢？

注意到我們在【二。充分性】中把 $Qpreceq C_{G} (K)$ 與 $InnKpreceq AutK$ 兩個的影響視作零，所以我們理應找到一個特殊的擴張 $G$ ，迫使這兩個不等號變為等號。

為了 $Aut K=Inn K$ ，我們希望 $gamma _g|_K$ 能夠跑遍 $AutK$ ，也即

$forall varphi in AutK, exists gin G, s.t. \qquad qquad qquad gkg^{-1}=varphi(k), forall kin K$

$varphi$ 是 $K$ 的一個自同構，自然能夠想到 $varphi$ 是 $K$ 的一個置換，從而腦補了 $varphi$ 作為置換完全分解為cycles之積。

而 $g( )g^{-1}$ ，與置換一聯繫，就容易想到 $g( )g^{-1}$ 作用在某個置換上，實則把其cycles內的元素按 $g$ 的方式換了一個名字，即 $g(cdots alpha cdots eta cdots)g^{-1}=(cdots g(alpha) cdots g(eta) cdots)$ 。

所以在 $gkg^{-1}=varphi (k)$ 中， $k$ 與 $g$ 應當理解成 $K$ 上的一個置換，而非元素。

如果我們經典地把 $k$ 理解成左乘作用，那麼 $gL_kg^{-1}=L_{varphi (k)}$ ，而此時 $G$ 就是 $K$ 上的置換群 $S_K$ 的一個包含左乘群 $L_K$ 與自同構群 $AutK$ 的一個子群（ $K$ 實際上就是 $L_K$ ）。

注意我們是要找到滿足上式的 $g$ ，於是 $g(kg^{-1}(x))=varphi (k)xRightarrow g=varphi$ 。

也就是說，只要 $G$ 是 $S_K$ 的一個包含 $L_K(=K)$ 與 $AutK$ 的一個子群，就立即有 $gamma _g|_K$ 能夠跑遍 $AutK$ 。

而為了 $Kcap C_G(K)=1$ ，我們把 $G$ 取得儘可能小： $G=<L_K,AutK>=Hol(K)$ ，由此我們又得到了全形（holomorph） 的概念。經技術性證明後，確實有 $Kcap C_G(K)=1$ 。

四。後記

當然首先我肯定是學習了完備群和全形的相關知識才寫出的這篇知識梳理，誠然是馬後炮的作法，不過這樣的講述順序也是眾多數學觀點中的某一個別緻的角度。從這個角度看，這個特殊的群擴張問題的解決顯得順利而自然，向我們揭示了這個問題其實難度不大，因為這個問題的解（某一類 $K$ ）被我們完全刻畫出來了。而完備群和全形的概念就完全是我們人為考慮、創造出來的兩個概念。個人感覺上看，這與我前幾天學習可解群、冪零群的感覺截然不同，似乎可解群和冪零群都是從自然世界發現的事物，難以刻畫，我們也只得到了它們的一些性質，我目前還沒能把握它們。

而至於上述推理中的一些小節點，比如 $gkg^{-1}=varphi (k)$ 中為什麼 $varphi(k)$ 理解為 $L_{varphi (k)}$ 而非 $varphi circ L_k$ ，雖然這能夠有一些看起來科學一點的理由，但我想最好的理由還是試錯吧！

當然群的擴張是被群的上同調理論很好的解決了，不過我最近在學這個簡單版本，而且又得到了這種自然的講法，於是我也就不care我們正在討論的是極其特殊的情況了。

遺留的問題自然還有，比如憑什麼說完備群就很好地刻畫了這個問題的解，我哪知道 $Aut K=Inn K$ 會是一個什麼樣的群才有呢！我覺得這個問題可能就是看完備群的判定好不好辦了吧，我還要繼續學習~~還有比如，憑什麼把 $K$ 和 $L_K$ 看作一樣，我覺得這個理由很難言傳只可意會，不知各位看官有什麼好的想法。