一道關於階乘的證明？

02-13

如何證明「任意兩個正整數各自的階乘之積可以整除這兩個自然數之和的階乘」？為了避免歧義也請參考下面的式子：
關於為什麼想到這個式子是因為題主高一，剛好學到CombinationPermutation其中有一個公式如下

因此有一些困惑是否一定能整除，它對應的應用情景（比如商店10種球任選3種購買，問有多少種可能性，即10C3.）可能性數量顯然是個正整數，但是數學上該如何證明呢？
是不是這個證明已經有人出來了，那能否告訴我這個定理叫什麼？
題主第一次在知乎提問數學相關的問題，如有不規範的地方請各位知友提出或是幫助修改，感激不盡。

對於任意素數q和正整數i,有

$[frac{m+n}{q^{i}}]geq [frac{m}{q^{i}}]+[frac{n}{q^{i}}]$

i從1到無窮求和即可.

舒自均的答案解釋：

Proof that a Combination is an integer

其他更「簡單」的證明：

Proof that a Combination is an integer；

Binomial Coefficient is Integer；

你把（m+n）！改寫成m！*（m+1）*（m+2）*（m+3）……（m+n）。原式可以改為（m+1）*（m+2）*（m+3）……（m+n）能夠整除n！。

數學歸納法……

m=1原式必然成立。

m=2，（m+1）*（m+2）能夠被二整除，原式成立。

到後面就是……必然的

嘗試證明引理，任意連續m個數的積被m！整除

其實我覺得你想證明的就是組合數公式算出來的結果一定是整數。因為你要證明的那個式子其實就是組合數公式。不信可以做一下變數代換。感覺上這個結論正確性挺顯然的因為nCr的意思可以解釋為n個物品中挑選r個的方案數這個按生活常識來說不可能不是整數的- -。但是證明顯然不能說我覺得正確所以正確= =。最近忙著補題目一個月內更新證法。

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我的大概思路是這個樣子。借用了楊輝三角的想法。題主你可以搜一下。至於我為什麼說你這個命題就是證明組合數必為整數，題主可以嘗試令m+n＝x，n＝y做一個變形然後看看這個公式變成了什麼就可以了。知乎首答數學證明，求各位輕拍磚.

通過遞推公式證 c(n, r)=c(n-1, r-1)+c(n-1, r)

只要證明c(n-1, r-1) 和 c(n - 1, r)都是整數，那麼左邊一定是整數

第一部分 c(n-1, r - 1)同樣的形式化成右邊形式，只需證明c(n - 2, r - 2) 和 c(n - 2, r - 1)都是整數

第二部分把c(n - 1, r)也化了，只需證明c(n - 2, r - 1)和c(n - 2, r)都是整數

一直循環如此，最終只需證明c(k, k)和c(l, 0)這兩種形式是整數，到這一步就簡單了(實際這兩種情況是同一意思，因為c(k, k) = c(k, 0))

這樣有點像計算機裡面壓棧感覺

自己想到了一個比較詭異的證明方法，感覺不太嚴謹哈哈哈

感謝各位大佬