實分析|筆記整理（6）——富比尼定理

02-13

大家好！

這一節我們會開始介紹有關富比尼定理的內容，這也是積分理論中的最後一個非常重要的內容。

提供之前的筆記：

實分析|筆記整理（1）——概念引入，外測度
實分析|筆記整理（2）——勒貝格測度及相關舉例
實分析|筆記整理（3）——可測函數
實分析|筆記整理（4）——勒貝格積分（1）
實分析|筆記整理（5）——勒貝格積分（2），L^1空間

我們開始今天的內容。

富比尼定理(Fubinis Theorem)的證明

如果說這個定理的作用，大概可以與數分三中我們學過的重積分做對比。在介紹它之前，我們需要提前說一些定義和相關的概念。

Preliminary:
我們可以把實數集寫為 $mathbb{R}^d=mathbb{R}^{d_1} imes mathbb{R}^{d_2};d_1,d_2 ge 1;d_1+d_2=d$ 的形式，此時在 $mathbb{R}^d$ 的點的形式為 $(x,y);x in mathbb{R}^{d_1},y in mathbb{R}^{d_2}$ 。

這個時候就有一個新的相關的定義如下。

Definition:slice
定義一個在 $mathbb{R}^{d_1} imes mathbb{R}^{d_2}$ 上的函數 $f$ 固定 $y$ 的切割為 $f^y(x)=f(x,y)$ ，固定 $x$ 的切割為 $f_x(y)=f(x,y)$ 。

這個概念其實就是我們學重積分的時候所說的「固定變數」的一種思想的體現。第一個固定 $y$ 的切割意思就是固定變數 $y$ ，以 $x$ 為自變數的意思。

如果給定一個集合 $E subset mathbb{R}^{d_1} imes mathbb{R}^{d_2}$ ，那麼我們如下定義它的切割。

$E^y={x in mathbb{R}^{d_1}: (x,y) in E},E_x={x in mathbb{R}^{d_2}: (x,y) in E}$

但是要注意的是，這裡它其實不能算是一個集合（雖然採用了集合的表示），它其實是一個函數。根據 $x,y$ 而變化。如果 $x,y$ 變了，那麼集合就會變。

書上這張圖展示了在固定某一對 $x,y$ 後的兩個切割的表示。

我們直接來看定理的內容。

Theorem:
設 $f(x,y)$ 在 $mathbb{R}^{d_1} imes mathbb{R}^{d_2}$ 上可積，那麼對於幾乎每一個 $y in mathbb{R}^{d_2}$ ，有
(1) $f^y$ 在 $mathbb{R}^{d_1}$ 上可積。
(2)諸如 $int_{mathbb{R}^{d_1}} f^y(x)dx$ 的函數在 $mathbb{R}^{d_2}$ 上可積。
(3) $int_{mathbb{R}^{d_2}}left(int_{mathbb{R}^{d_1}}f(x,y)dx ight)dy=int_{mathbb{R}^d}f=int_{mathbb{R}^{d_1}}left(int_{mathbb{R}^{d_2}}f(x,y)dy ight)dx$

提一下，最後一個條件考慮 $x,y$ 的對稱性，就可以得到這個對稱的結果。

這個定理的證明是非常有技巧性的，需要分六步，我們證明的方法是考慮證明所有滿足這三個條件的所有函數集合 $mathcal{F}$ 包含集合 $L^1(mathbb{R}^d)$ 。也就說明了定理是成立的。

我們一步步來看。

Step 1
集合 $mathcal{F}$ 中的有限的函數的線性組合仍然屬於 $mathcal{F}$ 。

請注意，集合 $mathcal{F}$ 中的元素都是滿足上面我們要證明的三個定理的條件的。換句話說，假設有一系列函數 ${f_k}_{k=1}^{N} subset mathcal{F}$ ，那麼對於每一個函數 $f_k$ ，根據上面的第一個條件可以知道，我去掉一個集合 $A_k subset mathbb{R}^{d_2},m(A_k)=0$ ，只需要 $y ot in A_k$ ，就有 $f^y_k$ 在 $mathbb{R}^{d_1}$ 上可積。

進而，如果 $A=igcup_{k=1}^{N}A_k$ ，可以知道 $m(A)=0$ ，而在 $A$ 的補集上，所有有限的函數的線性組合均可測且可積。那麼它就滿足了第一個條件。

別忘了，積分還滿足第二和第三個條件，而後面兩個條件都是可以通過積分的線性性得到的，所以如果是線性組合出現的函數，依然滿足這兩個條件。於是根據我們所取的一系列函數的任意性，即可得到結論。

Step 2
設 ${f_k}$ 是一系列的 $mathcal{F}$ 上的可測函數，且 $f_k earrow f$ 或 $f_k searrow f$ 。且 $f$ 可積，那麼 $f in mathcal{F}$ 。

為了方便證明，先做兩步預處理。首先是因為我們可以用 $-f_k$ 代替 $f_k$ ，所以只需要考慮遞增序列的情況。而我們還可以把 $f_k$ 用 $f_k-f_1$ 的情況替代，所以可以認為每一個 $f$ 的函數都是非負的。有了非負和遞增這些條件，根據單調收斂定理(上一節的推論)，可以得到 $lim_{k o infty} int_{mathbb{R}^d}f_k(x,y)dxdy=int_{mathbb{R}^d}f(x,y)dxdy$ 。

和上面的第一步做法相同，我們對於每一個 $f_k$ 挖去 $A_k$ ，然後令 $A=igcup_{k=1}^{infty}A_k$ ，那麼 $m(A)=0$ ，並且在每一個 $A$ 的補集上， $f_k^y$ 在 $mathbb{R}^{d_1}$ 上可積。這就滿足了第一個條件。

接著往下走，就有 $g_k(y) o g(y),k o infty$ ，其中 $g_k(y)=int_{mathbb{R}^{d_1}}f_k^y(x)dx,g(y)=int_{mathbb{R}^{d_1}}f^y(x)dx$ （單調收斂定理）。而根據上面的第二個條件又可以得到 $g_k(y)$ 都是可積的，於是第三次使用單調收斂定理，可以得到 $int_{mathbb{R}^{d_2}}g_k(y)dy o int_{mathbb{R}^{d_2}}g(y)dy,k o infty$ 。

現在我們已經把所有的極限的相關結論得到了，還差什麼？回想一下是不是還有第二，三個條件需要check？我們先看第三個，根據第三個條件，我們可以得到 $int_{mathbb{R}^{d_2}}g_k(y)dy=int_{mathbb{R}^d}f_k(x,y)dxdy$ ，而根據兩個極限，分別應用於式子的左右兩邊，又可以得到 $int_{mathbb{R}^{d_2}}g(y)dy=int_{mathbb{R}^d}f(x,y)dxdy$ 。這就滿足了第三個條件。

現在因為根據條件， $f$ 是可積的。根據上面的等式，就說明了 $g$ 可積，就滿足了第二個條件。綜上就可以得到我們的結論。

前兩步分別說明了集合 $mathcal{F}$ 對線性性和取極限運算都是保持封閉的。下面我們考慮的證明思路是：根據可積函數可以由簡單函數得到，而簡單函數可以由特徵函數的線性組合得到，所以考慮對特徵函數進行一些操作。

Step 3
任意的滿足是 $G_delta$ 的測度有限的集合 $E$ 的特徵函數均在 $mathcal{F}$ 內。

（我相信你還記得什麼是 $G_delta$ ，如果記不得了，記得去看下第三節的開頭）

我們對這一個結論先從簡單的情況討論入手，然後進行擴展。

第一步，設 $E$ 是一個在 $mathbb{R}^d$ 上有界的開正方體，那麼 $E=Q_1 imes Q_2$ ，並且 $Q_1,Q_2$ 分別是在 $mathbb{R}^{d_1},mathbb{R}^{d_2}$ 內的開正方體。那麼此時，就有 $g(y)=int_{mathbb{R}^{d_1}}chi_E(x,y)dx$ $=egin{cases}|Q_1| & y in Q_2 \ 0 & otherwiseend{cases}$ 。這說明 $chi_E$ 是可測，可積的。

另一方面，根據上面這個結論，又可以得到 $g=|Q_1|chi_{Q_2}$ 。因為 $int_{mathbb{R}^{d_2}}g(y)dy=|Q_1||Q_2|$ ，所以 $g$ 也是可測，可積的。這就說明了 $chi_E in mathcal{F}$ 。

第二步，我們假設 $E$ 是某一個閉正方體的邊界，那麼無論是討論這個邊界本身，還是討論它固定 $x,y$ 得到的切割，都可以得到測度為 $0$ 的結論。也就是說， $int_{mathbb{R}^d}chi_E(x,y)dxdy=0$ ， $g(y)=int_{mathbb{R}^{d_1}}chi_E(x,y)dx=0 quad mathrm{a.e.} quad y$ ， $int_{mathbb{R}^{d_2}}g(y)dy=0$ ，這就證明了 $chi_E in mathcal{F}$ 。

第三步，考慮 $E$ 為有限的幾乎不相交的閉集的並，那麼只要假設 $ilde{Q_k}$ 為 $Q_k$ 的內部， $A_k$ 分別為 $Q_k$ 的邊界的子集，就可以得到 $chi_E$ 是 $chi_{ ilde{Q_k}},chi_{A_k}$ 的線性組合。所以根據第一步就可以明白 $chi_E in mathcal{F}$ 。

第四步，假設 $E$ 是一個測度有限的開集，那麼只需要注意到，任意一個開集都可以寫成是可數個幾乎不相交的閉正方體的並（這是第一節開始的內容），也即 $E=igcup_{j=1}^{infty}Q_j$ 。所以，如果令 $f_k=sum_{j=1}^{k}chi_{Q_j}$ ，那麼這個時候， $f_k earrow f,f=chi_E$ ， $f_k$ 均是 $mathcal{F}$ 中的元素，並且由於 $m(E)< infty$ 可知 $f$ 可積。根據Step 2，即可得到 $f in mathcal{F}$ 。

最後，就可以證明我們所需要的結論了。因為 $E$ 是一個 $G_delta$ 集，所以 $E=igcap_{k=1}^{infty} ilde{O}_k$ 。而因為 $E$ 的測度有限，所以存在一個開集 $O_0$ ，滿足 $E subset O_0$ 。並且，如果設 $O_k=O_0 cap igcap_{j=1}^{k} ilde{O}_j$ 。那麼 $O_1 supset O_2 supset ...$ ，並且 $E=igcap_{k=1}^{infty}O_k$ ，剩下的事情，只需要用Step 2即可。特徵函數弄一下就好，我就不寫了。

Step 4
如果 $E$ 測度為 $0$ ，那麼 $chi_E in mathcal{F}$ 。

首先，因為 $E$ 可測，所以我可以找一個集合 $G$ 它是 $chi_E=chi_G-chi_{G-E}$ 一個G-集，並且 $m(G) =0$ （這是第三節剛開始的定理決定的）。而根據Step 3可以知道 $chi_G in mathcal {F}$ 。所以有 $int_{mathbb{R}^{d_2}}left(int_{mathbb{R}^{d_1}}chi_G(x,y)dx ight)dy=int_{mathbb{R}^{d}}chi_G=0$ 。這說明 $int_{mathbb{R}^{d_1}}chi_G(x,y)dx=0 quad mathrm{for} ~mathrm{a.e.} quad y$ 。所以就有 $G^y$ 的測度為 $0$ 對於幾乎處處的 $y$ 成立。結合 $E^y subset G^y$ 可得到 $E^y$ 測度為 $0$ （幾乎處處）， $int_{mathbb{R}^{d_1}}chi_E(x,y)dx=0 quad mathrm{for} ~mathrm{a.e.} quad y$ ，即 $f^y=chi_E(x,y)$ 可積，即滿足了第一個條件。

進一步，可以得到 $int_{mathbb{R}^{d_2}}left(int_{mathbb{R}^{d_1}}chi_E(x,y)dx ight)dy=int_{mathbb{R}^{d}}chi_E=0$ ，這就滿足了第三個條件，也說明了第二個條件成立，所以結論成立。

Step 5
若 $E$ 為測度有限的 $mathbb{R}^d$ 的子集，那麼 $chi_E in F$ 。

只需要注意到我們可以找到一個G集 $G$ ，滿足 $E subset G ,m(G-E)=0$ ，結合Step 1,3,4和 $chi_E=chi_G-chi_{G-E}$ 可以得到 $chi_E in F$ 。

Step 6
如果 $f$ 可積，那麼 $f in mathcal{F}$

首先因為 $f=f^+-f^-$ ，所以可以假設它們都是非負的。其次，根據可測函數（第三節）的性質可以得到，對於每一個函數 $f$ 都存在一系列簡單函數 ${varphi_k}$ 使得 $varphi_k o f,k o infty$ 。根據簡單函數的構造就可以得到 $varphi_k in mathcal{F}$ ，根據Step 2即可得到結論。

綜上，即可結束我們對富比尼定理的證明。

定理應用

我們用一系列定理和性質來說明這個定理的相關應用。

Theorem:
設 $f(x,y)$ 為 $mathbb{R}^{d_1} imes mathbb{R}^{d_2}$ 上的非負可測函數，那麼對於幾乎處處 $y in mathbb{R}^{d_2}$ ，有
(1) $f^y$ 在 $mathbb{R}^{d_1}$ 上可測
(2) $int_{mathbb{R}^{d_1}}f^y(x)dx$ 在 $mathbb{R}^{d_2}$ 上可測

(3) $int_{mathbb{R}^{d_2}}left(int_{mathbb{R}^{d_1}}f(x,y)dx ight)dy=int_{mathbb{R}^d}f$ 在拓展意義下（允許取到 $infty$ ）依然成立。

為什麼要說這個定理？事實上，富比尼定理的條件本身是有點苛刻的，它要求函數是「可積」的。而如果有了這個定理，其實就已經把可積這件事放寬到了「可測」。

先證明這個定理。考慮這樣的一個構造： $f_k(x,y)=egin{cases}f(x,y) & if|(x,y)|<k ~ and ~f(x,y) < k \ 0 & otherwiseend{cases}$ （ $|(x,y)|$ 什麼意思？去看第一節的開始的部分。函數本身是一個截斷函數，之前也經常出現這樣的構造）。那麼顯然每一個函數 $f_k$ 都是可積的，並且根據富比尼定理的第一個條件可知，存在一個測度為 $0$ 的集合 $E_k subset mathbb{R}^{d_2}$ ，使得 $f^y_k(x)$ 對於任意的 $y in E_k^c$ 均可測（可積都得到了，當然就可測了），就證明了第一個條件。

老辦法，設 $E=igcup_{k}E_k$ ，那麼就有 $m(E)=0$ ，且對任意的 $y in E ^c$ 和 $k$ 有 $f^y(x)$ 可測。

之後，又因為 $f_k^y earrow f^y$ ，所以根據單調收斂定理，有 $int_{mathbb{R}^{d_1}}f_k(x,y)dx earrow int_{mathbb{R}^{d_1}}f(x,y)dx,k o infty$ 。

回到富比尼定理，由於 $f_k(x,y)$ 都是可積的，所以根據第二個條件可以得到 $int_{mathbb{R}^{d_1}}f_k(x,y)dx$ 可測，當然了，可測函數取極限還是可測函數，所以 $int_{mathbb{R}^{d_1}}f(x,y)dx$ 也可測（當然要求 $y in E ^c$ ），就證明了第二個條件。

好的，結合 $int_{mathbb{R}^{d_1}}f_k(x,y)dx earrow int_{mathbb{R}^{d_1}}f(x,y)dx,k o infty$ 和上面兩個可測的結論，再次使用單調收斂定理，可以得到 $int_{mathbb{R}^{d_2}}left(int_{mathbb{R}^{d_1}}f_k(x,y)dx ight)dy earrow int_{mathbb{R}^{d_2}}left(int_{mathbb{R}^{d_1}}f(x,y)dx ight)dy,k o infty$ 。

再回到富比尼定理的第三個條件，又可以得到 $int_{mathbb{R}^{d_2}}left(int_{mathbb{R}^{d_1}}f_k(x,y)dx ight)dy=int_{mathbb{R}^d}f_k$ ，而又根據單調收斂定理，有 $int_{mathbb{R}^d}f_k o int_{mathbb{R}^d}f$ 。所以這就證明了定理的第三部分。

這個證明本身是比較複雜的，不過它的思想也很有趣。把原函數的條件放到了可測，而自己構造了一系列的可積的函數，這樣就可以運用富比尼定理這個成熟的版本去反推這個結果。

運用這個結果可以得到的一個直接的推論是

Corollary:

設 $E$ 為 $mathbb{R}^{d_1} imes mathbb{R}^{d_2}$ 上的可測集，那麼對於幾乎處處 $y in mathbb{R}^{d_2}$ ，有 $E^y={x in mathbb{R}^{d_1}:(x,y) in E}$ 是一個 $mathbb{R}^{d_1}$ 上的可測集，並且 $m(E^y)$ 也是一個 $y$ 的可測函數，並且 $m(E)=int_{mathbb{R}^{d_2}}m(E^y)dy$ 。

把 $f$ 用 $chi_E$ 替換放到上一個定理即可。

好的，我們停一下，思考一下。我們現在有了一個結論就是：如果 $E$ 在 $mathbb{R}^{d_1} imes mathbb{R}^{d_2}$ 上可測，那麼 $E^y$ 在 $mathbb{R}^{d_1}$ 中就幾乎處處可測。但是反過來呢？

考慮下面這個例子： $[0,1] imes mathcal{N} subset mathbb{R} imes mathbb{R}$ ，其中 $mathcal{N}$ 是一個不可測集，那麼顯然對於 $E^y$ 來說，它處處可測（因為要不是 $[0,1]$ ，要不就是 $emptyset$ ）。但是如果這個集合是可測的，那麼根據富比尼定理和對稱性，我可以得到 $E_x$ 也是可測的，這就矛盾了，因為 $E_x= mathcal {N}$ 對於處處 $x$ 成立。

接下來我們用富比尼定理，討論一些有關測度論的東西。

在介紹下面這個性質之前，先介紹一個引理，雖然你可能不知道它是幹嘛的。

Lemma:
$E_1subset mathbb{R}^{d_1} ,E_2 subset mathbb{R}^{d_2}$ ，那麼 $m_*(E_1 imes E_2) le m_*(E_1)m_*(E_2)$ 。

又回到測度論裡面的範疇了，我希望你還沒有忘記外測度那些東西。

首先根據測度論里常見的構造，我們可以找到一系列的閉正方體 ${Q_k}_{k=1}^{infty}$ 和 ${Q_l }_{l=1}^{infty}$ ，滿足 $E_1 subset igcup_{k=1}^{infty}Q_k,E_2 subset igcup_{l=1}^{infty}Q_l$ ，並且 $sum_{k=1}^{infty}|Q_k| le m_*(E_1)+epsilon,sum_{l=1}^{infty}|Q_l| le m_*(E_2)+epsilon$ 。因為 $E_1 imes E_2 subset igcup_{k,l=1}^{infty}Q_k imes Q_l$ ，所以容易得到 $m_*(E_1 imes E_2) le left(sum_{k=1}^{infty}|Q_k| ight)left(sum_{l=1}^{infty}|Q_l| ight)$ $le m_*(E_1)m_*(E_2)+O(epsilon)$ 。這就已經證明了結論。

顯然，如果在維度拆分後，某一個集合的測度為 $0$ ，那麼顯然就有 $m_*(E_1 imes E_2) =0$ 。

現在我們再來說下面這個性質。

Proposition:
若 $E=E_1 imes E_2$ 是 $mathbb{R}^d$ 上的可測集，且 $m_*(E_2)>0$ ，那麼 $E_1$ 可測。

首先要注意的結果是對於幾乎處處的 $y in mathbb{R}^{d_2}$ ，函數 $(chi_{E_1 imes E_2})^y(x)=chi_{E_1}(x)chi_{E_2}(y)$ 是可測的（這是因為特徵函數可測，所以做切割之後，根據上面的性質自然可測）。現在我們只需要找到一個 $y$ ，滿足 $y in E_2$ ，且上述的切割函數關於 $x$ 可測即可。因為這個時候， $(chi_{E_1 imes E_2})^y(x)=chi_{E_1}(x)$ ，所以只要證明，那麼多滿足 $E^y$ 可測的點 $y$ 中，確實有一個在 $E_2$ 內即可。

如果我們設這所有的滿足可測的點 $y$ 的集合為 $F$ ，那麼 $m(F^c)=0$ （我相信你明白為什麼）。結合 $E_2=(E_2 cap F) cup (E_2 cap F^c)$ ，可以得到 $m_*(E_2 cap F)=m_*(E_2 cap F)+m_*(E_2 cap F^c) ge m_*(E_2) >0$ ，就可以得到結論 $m_*(E_2 cap F) >0$ ，就說明了結論成立。

所以引理是用來幹啥的？想一想這個命題的逆命題，是不是可以通過引理證出來？

當然了，那個引理也可以和下面要說的性質再對比一下。

Proposition:
設 $E_1,E_2$ 分別為 $mathbb{R}^{d_1},mathbb{R}^{d_2}$ 上可測，那麼 $m(E)=m(E_1)m(E_2)$ ，其中 $E=E_1 imes E_2$ 。

關於這個性質其實只需要證明 $E$ 可測即可，因為之後那是特徵函數用積分計算的事情。

注意到 $E_1,E_2$ 都是可測的，所以存在G-集 $G_1,G_2$ 滿足 $E_i subset G_i(i=1,2)$ 且 $m_*(G_i-E_i)=0$ 。另外要注意到的是 $(G_1 imes G_2)-(E_1 imes E_2) subset ((G_1 -E_1) imes G_2) cup ( G_1 imes(G_2-E_2 ))$ ，根據引理即可得到 $m_*(G_1 imes G_2 -E)=0$ ，根據可測的定義即可知道結論成立。

圖解集合的差集

這個性質其實可以被用到下面這個性質中。

Corollary:
設 $f$ 是一個 $mathbb{R}^{d_1}$ 上的可測函數，那麼定義為 $ilde{f}(x,y)=f(x)$ 的函數 $ilde{f}$ 在 $mathbb{R}^{d_1} imes mathbb{R}^{d_2}$ 上可測。

事實上，根據可測函數的定義，可以得到 $E_1 ={x in mathbb{R}^{d_1}:f(x)<a}$ 是一個可測集，而 ${(x,y) in mathbb{R}^{d_1} imes mathbb{R}^{d_2}: ilde{f}(x,y) <a}=E_1 imes mathbb{R}^{d_2}$ 。根據前面那個性質即可得到這個集合可測，那自然說明了函數可測。

下面這個定理用來回答我們在之前學過的「定積分的幾何意義」的，究竟勒貝格積分又怎麼去理解和看待呢？

Corollary:
設 $f(x)$ 是 $mathbb{R}^d$ 上的非負函數， $mathcal{A}={(x,y) in mathbb{R}^d imes mathbb{R}: 0 le y le f(x)}$ ，那麼
(1) $f$ 在 $mathbb{R}^d$ 上可測當且僅當 $mathcal{A}$ 在 $mathbb{R}^{d+1}$ 上可測。
(2)如果條件(1)滿足，那麼 $int_{mathbb{R}^d}f(x)dx=m(mathcal{A})$ 。

我們證明一下這個結論。

對於第一個結論，一方面，若 $f$ 在 $mathbb{R}^d$ 上可測。那麼 $F(x,y)=y-f(x)$ 就一定是在 $mathbb{R^{d+1}}$ 上可測的（這是因為 $f(x)$ 和 $y$ 都分別是可測函數，但不知道是不是一定對哈，標記一下求個征解）。也就是說 $mathcal{A}={y ge 0} cap {F le 0}$ 是可測的。

另外一方面，設 $mathcal{A}$ 是可測的，那麼對於每一個 $x in mathbb{R}^d$ 都有 $mathcal{A}_x=[0,f(x)]$ 。結合上面的性質可以知道 $mathcal{A}_x$ 可測，同時 $m(mathcal{A_x})=f(x)$ 。同時又有 $m(mathcal{A})=int chi_{mathcal{A}}(x,y)dxdy=int_{mathbb{R}^d}m(mathcal{A}_x)dx=int_{mathbb{R}^d}f(x)dx$ ，其實就已經足夠證明結論了。

我們用一個比較有用的結果結束對積分理論的討論。

Proposition:
設 $f$ 是 $mathbb{R}^d$ 上的可測函數，那麼函數 $ilde{f}(x,y)=f(x-y)$ 在 $mathbb{R}^d imes mathbb{R}^d$ 上可測。

證明方法也是很有趣的。考慮集合 $E={z in mathbb{R}^d:f(z) <a}$ ， $ilde{E}={(x,y):x-y in E}$ 。那麼只需要證明，只要 $E$ 是 $mathbb{R}^d$ 的可測子集，那麼 $ilde{E}$ 是 $mathbb{R}^d imes mathbb{R}^d$ 是可測子集。

首先要注意到的一個事實是：如果 $E$ 是一個G-集，那麼 $ilde{E}$ 也是（想想為什麼）。再設 $ilde{E}_k = ilde{E} cap B_k,B_k={|y| < k},m( ilde{E}_k)=0$ 對於每一個 $k$ 成立。

換個角度來看，如果 $O$ 是一個開集，那麼 $m( ilde{O} cap B_k)$ 是什麼？根據富比尼定理，可以得到 $m( ilde{O} cap B_k)=int chi_O(x-y)chi_{B_k}(y)dydx$ $=intleft(intchi_O(x-y)dx ight)chi_{B_k}(y)dy=m(O)m(B_k)$ （積分變換不變性）。所以如果 $m(E)=0$ ，那我可以找一系列的開集 $O_n$ 滿足 $E subset O_n,m(O_n) o 0$ 。於是 $ilde{E}_k subset ilde{O}_n cap B_k,m( ilde{O}_n cap B_k) o 0,n o infty$ 。這就得到了 $m( ilde{E}_k)=0,m( ilde{E})=0$ 。也即是說我們證明了一個G-集和一個集合的測度差為 $0$ 。根據第三節的結論即可完成這個證明。