復幾何的故事（1）複數的史前史

02-13

數的概念是從人們日常計量、比較物品中抽象而來的。公元前四千年左右，兩河流域蘇美爾人已經有了一套複雜的計量系統，他們會講一隻羊、兩隻羊、一個奴隸、十個奴隸等等這種概念，但早期的蘇米爾人似乎並沒有意識到一隻羊與一個奴隸這種概念背後的一種抽象的共同之處，直到約公元前3400年，一套系統的60進位的計數方法才被建立。從這以後，數，或是更準確的說正整數的概念在不同文明中相繼出現了。

　　中國漢代的《九章算術》與Diophantus的《算術》（Arithmetica）都發現了負數的概念，古埃及人已經很早就意識到了有理數的概念，到古希臘時期約公元前300年，Euclid的《幾何原本》一書中已經包含了許多有理數的理論。而公元前5世紀時，畢達哥拉斯學派的Hippasus發現了2的平方根不是有理數。可以說，實數的基本概念在古典時期已經是被正確地理解了的。

　　然而，實數本身自然的有一些操作，人們關心的基本問題之一就是多項式方程的求解。一次方程的求解是完全平凡的，二次開始，在古代的記號與代數水平的限制下，直到公元9世紀才由被譽為代數學之父（之一）的波斯人Al-Khwārizmī（阿拉伯語：波斯語：）完全解決。Al-Khwārizmī在公元830年出版了配方與平衡方法的簡介（al-Kitāb al-mukhta?ar fī ?isāb al-jabr wal-muqābala）一書，書中最重要的工作就是通過配方的方法發現了二次方程的求根公式，用現代的語言來說，Al-Khwārizmī發現，給定一個一元二次方程ax^2+bx+c=0, 它的解由下述公式給出

$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

　　順便值得一提的是，Al-Khwārizmī的數學手稿被從阿拉伯文翻譯成拉丁文Dixit algorizmi（Al-Khwārizmī所說的），其中Al-Khwārizmī名字的拉丁化algorizmi成了現代英語中algorithm（演算法）一詞的詞源。

　　在求解二次方程的過程中，不難注意到，有時根號下的b^2-4ac是小於0的，因此，有一些二次方程是「沒有」根的，而在代數的意義上，如果將 $sqrt{b^2-4ac}$ 抽象地處理，當做一種形式的記號，滿足與正數的平方根相似的規則，我們可以形式地認為這些量定義了原來方程的一種廣義的解。儘管這種觀念被明確提出來與被嚴格化已經是18世紀時Euler等人的工作了。

　　與二次方程相比，求解三次方程的努力才是複數被引入的主要原因。二次方程的根只要存在便可以用已經知道的方法求出來，與之相反，三次方程，哪怕是最簡單的三次方程，求「合法的」解的過程中也會出現一些「不合法」的操作。

　　三次方程的求根是義大利數學史上極為精彩的一部分。約13世紀時，傑出的義大利數學家Fibonacci成功解決了一個三次方程的求解問題

$x^3+2x^2+10x=20$

　　一般情況很多年來一直是懸而未解的: x^3+ax^2+bx+c=0，14世紀時人們第一次觀察到這個方程通過變數代換x』=x+a/3可以約化到下面的形式

$x^3+px+q=0$

　　義大利人Scipione第一次發現了這個方程的解法，他死前講公式告知了他的學生Fiore。

　　提到這，我們不得不提到當時義大利學術界的一個奇怪的傳統，學者往往不直接公開自己的大成果，而是用自己的成果向人挑戰來賺取獎金。Fiore因此向數學家Tartaglia提出關於三次方程求根的挑戰。不過意外的是，挑戰前一晚，Tartaglia獨立發現了同樣的公式，也因此贏得了這場比賽，Tartaglia從此名氣大震。於是醫生兼數學家的Cardano千方百計想向Tartaglia學習他的解法，在很長時間的懇求之後，Tartaglia終於把自己的工作寫成一首晦澀的詩告訴了Cardano。Cardano重新構建了證明之後發表了這個公式，這個公式今天也因而被稱為Cardano公式：

$x=sqrt[3]{-frac{q}{2}+sqrt{frac{q^2}{4}+frac{p^3}{27}}}+sqrt[3]{-frac{q}{2}-sqrt{frac{q^2}{4}+frac{p^3}{27}}}$

　　這件事之後，Cardano與Tartaglia開始了長期的爭執，以致最後，Tartaglia被Cardano派人刺殺而死。值得一提的是，Cardano還是一個占星愛好者，他曾經占卜到自己的死期，到了預言中的1576年9月21日，當他安排好後事後，發現自己身體毫無異樣，於是為了維護自己的名譽，他自殺了。。。。。。。。。。。。

　　回歸Cardano公式本身，Cardano注意到，這個公式中可能要求對複數開方，即使方程本身的解都是實數，最簡單的例子比如說：

$x^3=x$

　　通過Cardano公式求出的解形如 $frac{1}{sqrt{3}}left((sqrt{-1})^{1/3}+(sqrt{-1})^{-1/3} ight)$ ，儘管顯然這個方程的三個根1,-1,0都是實數。

　　人們不禁懷疑，是否可能引入一些新的代數運算，使得一個負數的平方根變得有意義？第一次嘗試是義大利數學家Bombelli，Bombelli在他的《代數》(L』algebra)一書中引入了piú di meno的概念，也就是我們今天講的虛數單位sqrt{-1}，他引入了虛數單位的一些代數操作，這樣，他能夠從方程x^3=15x+4中通過Cardano求出x=4作為一個解，儘管Cardano公式給出的那個解不是一個實數。

　　17世紀著名的哲學家、科學家Descartes引入了今天所說的笛卡爾坐標系，也引入了「虛數」的概念：…quelquefoisseulement imaginaires c』est-à-dire que l』on peut toujours en imaginer autantque jai dit en chaque équation, mais qu』il n』y a quelquefois aucune quantitéqui corresponde à celle qu』on imagine.

　　17世紀的Wallis另一方面則注意到實數可以通過一條數軸表示，也就是一個有一個原點的直線，原點的右邊對應正數，左邊對應負數，在這些基礎之上，挪威人Wessel在1797年成功地意識到複數應當表示成一個平面上的向量，其中橫坐標是實部，縱坐標是虛部，Wessel也因此能嚴格地建立複數的諸多運演算法則。

　　複數深刻理論的開端應當從Euler公式的發現算起，而作為它的一個預兆，Newton與他逃亡英國的法國朋友de Moivre發現了一個美妙的代數公式：

$(cos heta+isin heta)^n=cos (n heta)+isin(n heta)$

　　下一次，我們將從de Moivre公式與Euler公式開始，介紹複數與單變數複分析理論的現代開端。