偶數階魔方出現O特和P特的原因分別是什麼？

02-13

@馬子恆的解釋很有道理。我試著再補充一點吧。

這個問題要從高階魔方的復原方法——降階法說起。

對於高階魔方（4x4x4、5x5x5及更高階的魔方）的還原，現在主流的方法是降階法。整個還原過程分成如下兩個步驟：

A. 將魔方轉化成三階魔方（即一般的3x3x3魔方）

B. 用還原三階魔方的方法完成後續的復原

為了方便解釋「轉化成三階」，我直接上幾個圖例吧。

這是一個充分打亂的七階魔方：

這是完成步驟A後的七階魔方：

如圖所示，所有的中心塊、棱塊都按照顏色合併到了一起。這時候我們開一下腦洞，假裝（想像）它是如下狀態的三階魔方：

那剩下的就是按照復原三階魔方的方法完成後續的還原了。

整個還原思路還是比較直觀的，那麼問題來了。

降階到底做的是什麼？

作為初學者，很多魔友會很自然的根據上述圖形來記憶這一步要做的事情，從而總結出以下三個降階階段的目標：

1. 將同色的中心拼在一起

2. 保證中心之間的相對位置關係與假想的三階一致

3. 將同色的棱塊拼在一起

誠然，這三個條件確實是魔方可以通過步驟B還原的必要條件。

然而並不一定是充分條件。
更精確地，對於奇數階魔方，上述三個條件才是充要條件；而對於偶數階魔方，上述三個條件僅僅是必要非充分條件。為了確保降階完成，還需要進一步補充以下兩個條件（參考為什麼魔方在轉動一個角塊後無法復原？ - 陳霜的回答）：

4. 假想三階的所有棱塊色向和為偶數

5. 假想三階棱塊置換的奇偶關係與角塊置換一致

而後面這兩個條件對於一般的速擰玩家，相比於條件1～3，判斷的代價實際上是非常高的。以條件4為例，玩家需要檢查每一個棱塊的色向，並計算總色向和的奇偶性。這一步即便熟練也需要1～2秒，這在速擰中是完全不可接受的。

那怎麼辦？先按三階的方法還原著，碰到不對的地方再說。

很慶幸，對於現在三階主流的CFOP速擰方法，即便魔方不滿足條件4和5，依然可以毫無阻礙的完成C和F兩個階段。此後，魔方的前兩層已經還原好了，只剩下頂層的4個棱塊和4個角塊可能處於未還原的位置。在此時對條件4和5進行檢查可能只要零點幾秒，如果檢查發現不可還原，對其修正的時間開銷也可以接受。

總結一下，出現O特和P特是因為不完全降階。為什麼不完全？因為判斷完全降階的過程太慢，速擰不可接受，乾脆延遲到還原更後期再判斷和修正。當然，恰好主流三階復原方法和足夠順手的OLL、PLL公式也提供了這麼做的可能性。

ps：其實任何其他魔方的特殊情況也都可以這麼解釋，例如SQ1，囧方降群法。

ps2：隱藏棱是一個方便理解的解釋，但其實也僅僅是有助於理解吧。

ps3：O特和P特其實只有速擰存在，對於最少步這樣的項目（我說的是四階最少步），肯定是在降階過程中搞定所謂的特殊情況的，即反正時間多，降階的時候直接做完就好了，O特P特公式的長度在最少步里根本不可接受。

ps4：至於如何在降階完成前就搞定O特和P特，這個比較坑，O特相對好一些，其本質是四階24個棱塊置換的奇偶性，從而可以很簡單的通過雙層轉的奇偶性來調整。P特就麻煩多了。

ps5：理論上速擰中也可以根據ps4所述的方法，結合對雙層轉的奇偶性控制來避免O特，但這一方法需要的觀察時間特別長（判斷24個棱塊作為整體的奇偶性），國外那個叫5bld的大神試過，他表示他判斷奇偶性的極限是12～13秒，而WCA給的觀察時間都只有15秒，真是壓力巨大。

今天偶然間翻 @陳霜在魔方話題下的所有回答，翻到了這個問題……

我對這個問題理解的角度與前面幾位不太相同。前面幾位都將其歸因為「不完全降階」。對於P特，這樣的解釋我覺得可以接受；但對於O特，一個更本質的問題是，高階魔方的同種棱塊為何會發生二交換。

事實上，知乎還有一個和這個問題一模一樣的問題：四階魔方出現O、P特的根本原因是什麼？ - 魔方。在題目描述中，那位題主（ @大天使）給出了自己的解釋：「中心絕對位置不對」。在我看來，這才是高階魔方O特出現的根本原因，即：中心棱塊的不可區分性，造成了其絕對位置錯誤。

我們先看一下一次旋轉對魔方造成的「影響」是怎樣的。

以五階魔方為例，內層轉90度產生外棱的四循環（奇置換），中心角的兩組四循環（偶置換），中心棱的四循環（奇置換）。也就是說，外棱與中心棱的奇偶性是」綁定「的。這就是高階O特產生的原因。各塊的命名的請見〖16-10-24〗高階零件命名規範。

再解釋地具體一點，由於高階（五階為例）的同一色的中心棱長得都一樣，因此，中心棱的二交換不可見。所以看似只有O特這一外棱二交換存在，事實上伴隨了一個隱含的中心棱奇置換。

我們在圖案五階魔方上做一下的一個基礎的O特公式：MR2 B2 U2 ML U2 MR U2 MR U2 F2 MR F2 ML B2 MR2，演示見：alg.cubing.net-OLL Parity，得到的結果如下：

可見，整個魔方只有一個外棱的二交換（奇置換）、一個中心棱的二交換（奇置換）和一個角塊的兩兩對換（偶置換）。這也驗證了上述觀點。（為了看的清楚，做了這個公式的純中層轉版本，帶外層轉的話對外層的擾動也很有意思，有興趣可以自己看一下。）

至於P特，本質上是一個外棱塊的兩兩交換（偶置換），可以拆成兩個三循環（偶置換）的疊加，其實我覺得本質上並不是什麼特殊情況……

所以通過這個討論可以得到一個推論：圖案高階（以及等價的魔方，如四階魔中魔二號），按照降階法，拼好中心後不會出O特，但會出P特。

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又讀了一遍發現答的有點歪……應該這麼說：四階O特本質上是個邊棱二交換，產生的原因是不完全降階，所以本質上是因為五階上會出二交換。而五階邊棱二交換的原因才是上面解釋的……如果直接看四階的話，內層轉本身就是一個邊棱的四循環，奇置換，所以產生二交換就是內層「少轉了一下」。

O特情況的出現，按照我的理解可以被稱為「不完全降階」。

像偶數階，其就是奇數階魔方隱藏了最中間的所有塊。像四階，就是五階去除中間那條；六階，就是七階去除中間那條。以四階舉例，也就是說，復原四階時候，其實就是在復原五階的一部分。當五階降階時，所有塊都是能看到的，因此不會出現那種情況；然而對於四階，由於有塊是被隱藏的，因此不能判斷出其是否真正降階了。O特情況的出現，其實就可以視為四階在五階的形態下，實質上有一個棱塊是沒有合好的。

對於P特，同理。

https://itunes.apple.com/cn/app/puzzle-cosmo/id1161107753 (二維碼自動識別)

簡單來說O特就是奇數高階的棱還是一條五階反正反或者七階反反正反反的狀態 P特就是兩條棱是ABA和BAB五階七階是AABAA BBABB