如何從微觀上解釋歐姆定律？

02-13

一直不理解 U 為什麼等於 I×R。跪求高手能回答我這個問題！

我現在的工作就是看看 @qfzklm 回答的問題，然後補充一下，這個答案是給不同需求的人寫的，順便算是預習固體物理學了。分別包含經典的Drude模型、量子的Sommerfeld自由電子論以及Bloch等人建立的能帶理論。

基礎

Ohm定律的基礎表述為，導體兩端的電壓與通過導電體的電流成正比，即

$U=IR$

事實上，電阻 $R$ 的定義依賴於電流 $I$ 與電壓 $U$ ，

$R stackrel{def}{=} frac{V}{I}$ ，（對於某些非歐姆元件，還會定義 $au stackrel{def}{=} frac{dV}{dI}$ ）;

電流的微觀傳導模型告訴我們

$I=iint_{S} vec{j}cdot dvec{A}$ ;

其中 $vec{j}=nevec{v}$ ，稱為電流密度矢量； $dvec{A}$ 為電流密度矢量穿過的無窮小面元的面積。

而Ohm定律的微觀表述為 $vec {J}=sigma vec{E}$ ,其中電導率 $sigma$ 為電阻率 $ho$ 的導數。這個式子又常常被稱為本構方程。所有對Ohm定律的微觀解釋，核心在於解釋 $sigma$ 的產生與其與各個參量的變化關係。

Drude模型（高中物理——大學物理）

Drude模型是由1900年由Paul Karl Ludwig Drude提出，以解釋電子在物質（特別是金屬）中的輸運性質。這個模型是分子動理論的一個應用，假設了電子在固體中的微觀表現可以用經典的方法處理，電子不斷在較重的、相對固定的正離子之間來回反彈。

Drude模型的基本圖景：

電子在物質中形成電子氣，電子在運動過程中會受到原子實的撞擊（實際上是散射），從而改變運動狀態（受到阻礙），損失一部分動能，這些動能的宏觀表現就是Joule熱。

Drude模型，來源：Wikipedia

Drude模型的基本假設：

獨立電子近似：假定電子與電子之間無相互作用；
自由電子近似：固體內部電子不再束縛在單個原子周圍，而是在整個固體內部運動，即電子不是束縛在原子實附近的；
電子定向運動的原因：電子只受到均勻外電場 $E$ 的作用。
電子與原子實的作用：電子受到的碰撞是瞬時的，來自電子與離子實（雜質原子）之間的散射；
弛豫時間 $au$ :電子發生兩次散射之間的平均時間間隔；

電子在各種散射下達到熱力學平衡，即電子在碰撞之後的狀態是隨機的，由熱力學平衡決定其分布。

在無外場 $vec{E}$ 的情況下，電子做無規則運動，無定向運動，宏觀上電流密度 $vec{j}=0$ ；

有外場 $vec{E}$ 的情況下，電子沿著電場 $E$ 的方向逆向加速，其加速度為 $vec{a}=-dfrac{e}{m}vec{E}$ ,但由於我們認為電子不斷和離子發生碰撞而不會無限制地加速，其定向平均漂移 $vec{u}=dfrac{1}{2}vec{a} au=-dfrac{1}{2}dfrac{ear{l}}{mar{v}}vec{E}$ ;

其中 $ar{l}$ 稱為平均自由程， $ar{v}$ 稱為電子熱運動的速率，弛豫時間 $au=dfrac{ar{l}}{ar{v}}$ ,數量級估算可知 $u>>ar{v}$

根據電流密度定義 $vec{j}=-nevec{u}=dfrac{ne^2}{2m}dfrac{ar{l}}{ar{v}} vec{E}$ ;

故電導率（電阻率的倒數） $sigma=dfrac{ne^2}{2m}dfrac{ar{l}}{ar{v}}$ ,平均自由程 $ar{l}$ 僅僅與微觀格點的大小有關，不涉及相變的情況下一般認為與溫度 $T$ 無關，根據熱力學， $ar{v} propto sqrt{T}$ ,也可以定性說明電導率與溫度的關係。

經典觀點認為以熱運動速度運動的全部自由電子都參與了導電，但是事實上並非如此。

Sommerfeld模型（量子力學）

1927年，量子力學建立後，Sommerfeld（自己不是Nobel得主，卻是至今成功的老師，手底下的學生Nobel巨多）重新考察了這個問題，他認為Drude模型一點都不量子，我們應該在量子力學的角度下重新審視這個問題，即電子氣應該服從量子力學規律，在保留獨立電子近似和自由電子近似基礎上應通過求解Schrodinger方程給出電子本徵態和本徵能量。

電子在原子實的勢阱，來源：Blakemore

對於單電子，其運動滿足Schrodinger方程：

$[-dfrac{hbar^2}{2m} abla^2+V(r)]psi(r)=Epsi(r)$ ；

實際上呢，忽略了電子-離子實的相互作用，則 $V(r)=0$ ，

$-dfrac{hbar^2}{2m} abla^2 psi(r)=Epsi(r)$ ,這就是一個自由空間的電子波方程，其歸一化解為：

$psi_k(r)=dfrac{1}{sqrt{V}}e^{ivec{k}cdot vec{r}}$ ;

$vec{k}$ 是波矢， $k=dfrac{2pi}{lambda}$

能量 $E(k)=dfrac{hbar^2k^2}{2m}=dfrac{hbar^2}{2m}[(dfrac{2pi}{L}n_x)^2+(dfrac{2pi}{L}n_y)^2+(dfrac{2pi}{L}n_z)^2]$ ;

根據Pauli不相容原理，電子從最低能級開始填充，並且在動量空間中電子的等能面是個球體，統計物理告訴我們，允許存在的電子狀態數目為

$N(E)=dfrac{(2m)^{frac{3}{2}}}{2pi^2hbar^3}E^{1/2}$

由此可見，電子的能態密度並不是均勻分布的，電子能量越高，能態密度就越大。

我們常用Femri球來描述電子的狀態（電子為Fermion，滿足Fermi-Dirac統計），首先我們考慮 $T=0 K$ 的情況，系統的能量最低，由於Pauli不相容原理，所有的電子並不都排在最低的能級上，由於在動量空間中電子的等能面是個球體，電子在動量空間完全填滿這個球，在球外的分布為0，這個球半徑對應的能量稱為Fermi能 $mu_F(0)$ (嚴格意義上講，Fermi能的定義僅僅是 $0K$ 的) ，於是，電子的分布函數為

$f(E)=egin{cases} 1, Eleq mu_F(0) \ 0, E> mu_F(0) \ end{cases}$

同時給出 $mu_F(0)=dfrac{hbar^2 k_F^2}{2m}$ ;

其中 $k_F=sqrt{dfrac{2mmu_F(0)}{hbar^2}}$ ,稱為費米半徑，同理 $p_F=sqrt{2mmu_F(0)}$ 稱為Fermi動量；

同時可以引入Fermi溫度 $T_F=dfrac{mu_F(0)}{k_B}$ ,一般來說 $T_F sim 10^4 K$ ;

並且我們可以得到，電子的Fermi能 $U_0=dfrac{3}{5}nmu_F(0)$ ；

在這種模型下，對電導率的計算可以按以下步驟進行，

在系統無外電場 $E$ 的情況下，Fermi球的球心在原點處，每一個Fermi動量為 $k$ 的電子，都有一個 $-k$ 的電子相抵消，系統宏觀電流為0；

當 $E eq 0$ 時

$F=mdfrac{dvec{v}}{dt}=hbardfrac{dvec{k}}{dt}=-e(vec{E}+dfrac{hbar}{me}vec{k} imes vec{B})$ ；

$dfrac{dvec{k}}{dt}=-dfrac{e}{hbar}vec{E}$ ;

在弛豫時間 $au$ 內，系統Fermi球中心偏離的距離為

$Delta vec{k}=dfrac{dvec{k}}{dt} au=-dfrac{e au}{hbar}vec{E}$ ;

電子的定向漂移速度為

$V_d=dfrac{1}{m}hbarDelta k=-dfrac{e au}{m}E$ ;

電流 $j=-neV_d=dfrac{ne^2 au}{m}E=sigma E$ ；

故 $sigma =dfrac{ne^2 au}{m}$ 是經典的兩倍，人們對電子電導可以提出兩種不同的解釋：

一種看法認為，金屬中的所有自由電子都參與了導電過程，而每個電子的漂移速度都比較小；另一種看法則認為，並非所有電子都參與了傳輸電流的過程，只有在費米面附近的電子才對金屬的導電有貢獻，但由於在費米面附近的電子具有很高的速度（ $V_F sim 10^6 m/s$ ），所以，雖然參與導電的電子數少，其效果與大量的低漂移速度的電子對電流的貢獻相當。

能帶理論（固體物理學）

能帶理論是1928年，年僅23歲的Bloch，在他的博士論文中提出來的（寫到這裡我已經哭了，我還有兩年就23了，我都不知道本科完了會不會失學），接著1931年Wilson用能帶觀點說明了絕緣體與金屬的區別，能帶理論本質上還是一個近似理論。

我們知道，從某些角度來看，量子力學就是解Schrodinger方程

$ihbar partial_t psi=hat{H}psi$ 的問題，關鍵是 $hat{H}$ （Hamiltonian）怎麼寫的問題

對於體積為 $V=L^3$ 中 $N$ 個具有正電荷 $Ze$ 的原子實來說，其價電子為 $NZ$ 個，則系統的 $hat{H}$ 為

$hat{H}=-sum^{NZ}_{i=1}dfrac{hbar^2}{2m} abla^2_i+dfrac{1}{2}sum_{i,j}dfrac{e^2}{4pivarepsilon_0}dfrac{1}{|vec{r}_i-vec{r}_j|}-sum^{N}_{n=1}dfrac{hbar^2}{2M} abla^2_n+dfrac{1}{2}sum_{m,n}dfrac{(Ze)^2}{4pivarepsilon_0}dfrac{1}{|vec{r}_n-vec{r}_m|}-sum_{i,j}sum_{m,n}dfrac{Ze^2}{4pivarepsilon_0}dfrac{1}{|vec{r}_i-vec{r}_n|}$

別怕這個式子，這個式子實際上再說，系統的能量（Hamiltonian）由以下幾部分構成：

$NZ$ 個電子的動能項， $hat{T}_e=-sum^{NZ}_{i=1}dfrac{hbar^2}{2m} abla^2_i$ ;
$NZ$ 個電子的相互作用能， $hat{V}_{ee}=dfrac{1}{2}sum_{i,j}dfrac{e^2}{4pivarepsilon_0}dfrac{1}{|vec{r}_i-vec{r}_j|}$ ;
$N$ 個原子實的動能， $hat{T}_n=-sum^{N}_{n=1}dfrac{hbar^2}{2M} abla^2_n$ ;
$N$ 個原子實的相互作用能， $hat{V}_{nn}=dfrac{1}{2}sum_{m,n}dfrac{(Ze)^2}{4pivarepsilon_0}dfrac{1}{|vec{r}_n-vec{r}_m|}$ ;
電子與原子實之間的相互作用能， $hat{V}_{ne}=-sum_{i,j}sum_{m,n}dfrac{Ze^2}{4pivarepsilon_0}dfrac{1}{|vec{r}_i-vec{r}_n|}$ ；

但是這個多體問題根本是無法解得，我們要做一些近似和假設:

Born-Oppenheimer 絕熱近似

由於電子的質量遠遠小於原子實的質量，可以認為原子實是不動的，故 $T_napprox 0$ ;

Hatree－Fock 平均場近似

多電子體系中由於相互作用，所有電子的運動都關聯在一起，這樣的系統仍是非常複雜的。但可以應用平均場近似，讓其餘電子對一個電子的相互作用等價為一個不隨時間變化的平均

場

$hat{V}_{ee}=-dfrac{1}{2}sum_{i,j}dfrac{e^2}{4pivarepsilon_0}dfrac{1}{|vec{r}_i-vec{r}_j|}approx sum^{NZ}_{i=1}u_e(vec{r}_i)$ ;

因此可以使用分離變數法求解這個問題，稱為單電子近似。

Bloch 周期場近似

Bloch波最出名的應用不是在這裡，而是在光子隙帶與光子晶體中，現在已經普遍的應用在光纖中。它完全是晶體平移對稱性的體現。

對於單電子而言，其受到的勢場為

$hat{V}=hat{u}_e(vec{r})-sum_{R_m}dfrac{1}{4pivarepsilon_m}dfrac{Ze^2}{|vec{r}-vec{R}_m|}$ ;

其最大的特點在於平移對稱性，即

$hat{V}(vec{r}+vec{R}_n)=hat{V}(vec{r})$ ;

硅晶體中的Bloch波，來源：Wikipedia

Bloch定理告訴我們，在具有周期 $vec{R}_n$ 的勢場中，電子波包要收晶格周期調製，即

$psi (vec{r})=e^{ivec{k}cdotvec{r}} u(vec{r})$ ;

且滿足性質

$psi(vec{r}+vec{R}_n)=e^{ivec{k}cdot vec{R}_n}psi(r)$ ;

形象的舉幾個例子就是

周期場調製平面波，來源：方俊鑫

按照能帶論，處於 $vec{k}$ 態的電子具有速率

$vec{v}(vec{k})=dfrac{1}{hbar} abla_{vec{k}}E_n(vec{k})$ ,

處於不同能帶、不同狀態的電子有著不同的速度（波包速度），所以它們對電導的貢獻是不同的，只有建立起能夠確定外場作用下非平衡分布函數的半經典方程—— Boltzmann運輸方程後才有可能處理好金屬電導問題。

在近（和）平衡假設下，Boltzmann運輸方程化為

$-dfrac{e}{hbar}vec{E}cdotvec{ abla}_{vec{k}} f(k)=-dfrac{f-f_0}{ au}$ ;

考慮一級近似 $fapprox f_0+f_1$ ;

則非平衡運輸項 $f_1$ 對電流的貢獻為：

$vec{j}=-dfrac{2e}{(2pi)^3}int vec{v} f_1 dk=sigma vec{E}$ ;

因而得到電阻率 $sigma=dfrac{ne^2 au(mu_F)}{m^*}$ ,其中 $m^*$ 稱為有效質量，能帶論較好的解釋了導體中電子的傳導，與實驗符合的不錯。

歐姆定理在弱場下成立是因為我們總是可以把I(U)泰勒展開至一階並把係數定義為電阻的倒數（電導）…

當然要實際通過微觀機制計算出這個係數並不太容易，事實上輸運問題也可以說是凝聚態中的重頭了。經典處理方法是假定一種碰撞機制然後求解玻爾茲曼方程，給出相空間分布函數，進而計算電導。在某些能帶具有非平庸拓撲性質的固體體系中，也常常利用經Berry carventure修正的玻爾茲曼方程來解釋一些諸如反常霍爾效應，負磁阻等現象，這可以看作一種半經典的處理方法。量子的方法則是計算單電子能級，以及在各種微擾下的能級修正等，此時電導的計算就轉化為能級按照狄拉克分布填充下的力學量期望問題。更精細的計算則要考慮多體之間的庫倫相互作用，這個時候就要用場論的那一套來處理了。

第一種方法計算出非零電阻得益於玻爾茲曼方程中碰撞項的引入（雜質散射），否則只能得到零電阻。量子力學的方法同樣也是在考慮微擾對能級的修正後才能得到非零電阻。多體理論也是在計算庫倫散射對電阻的修正。這和我們的直觀感受也是一致的，如果電子在固體裡面「暢通無阻」，顯然是不應該有電阻的。固體中電流平衡的建立是外電場作用和固體中的碰撞（雜質散射，電子聲子散射，電子電子散射）相互「妥協」的結果。

而且通過以上任意一種方法，我們都可以發現電流和電壓並不完全是線性關係，任意一階泰勒展開係數在各自的處理方法上，我們都可以計算出來。所以歐姆定理實際上只是一種弱場下的線性近似。

看了很多回答，都很專業，不過可能超出了高中生能理解的程度吧，試著從高中/大一層次回答一下這個問題。

導體中的自由電子本來是在做無規則的熱運動的，但是如果存在電場，則電子在電場的作用下會產生定向的運動，從而形成電流。定向運動的速度（漂移速度）與電子受到的電場力成正比，也就是說電場越強，電子加速度越大，定向運動的速度越大， $v sim E$

引入一個高中沒有的物理量，電流密度矢量 $j$ ，就是單位時間內通過單位面積的電量（注意與電流的區別，電流是單位時間內通過導體整個橫截面的電量）。電子定向運動的速度越大，則單位時間內通過單位面積的電量就越多，所以 $j sim v sim E$ ，把這個比例關係寫成 $j=sigma E$ ， $sigma$ 是一個跟導體本身性質有關的物理量（電導率），這個式子本身叫做歐姆定律的微觀形式。

$j=sigma E$ ，兩邊同乘導體截面積S，得到 $I=jS=sigma ES$ ，式子右邊乘以導體的長度再除以導體的長度，值不變，得到 $I= (Ed)(sigma S/d)=U/R$ ，其中電阻 $R= ho d/S=d/sigma S$ ，電阻率 $ho$ 是電導率 $sigma$ 的倒數。這樣就得到了宏觀的歐姆定律。

經典模型，是高中競賽經典習題。。

量子模型，是固體物理經典習題。。

所以，翻書就好了。。

╮(╯_╰)╭

這個很容易解釋，利用高中知識就可以大概的解釋。

歐姆定律是宏觀定律，宏觀定律是微觀的統計結果，就是平均的效果。

首先，在導體（以金屬導體為例）內存在大量能自由運動的電子，而且這些自由電子是均勻分布的，也就是一個電子周圍的自由電子是均勻的，這樣一個電子受到周圍電子的合力可以認為是零，只有在碰撞的時候才認為兩個電子存在作用力，但是電子是點粒子，不佔據空間位置，所以可以認為兩個電子的碰撞概率是零（因為電子體積是零），所以我們可以大致的得到這樣的假設：自由電子之間不存在相互作用力。

這樣，自由電子可以看作是理想氣體那樣的。除了自由運動的電子，還有大量原子核和核外束縛電子（就是被原子核束縛的非自由電子）組成的整體，由於原子核質量比電子大得多，所以原子核（含束縛電子）的熱運動比起自由電子來說很弱，可以近似認為是靜止的，這樣金屬內的原子核和自由電子的運動歸結為以下三點：

①導體內的所有自由電子之間無相互作用，它們可以像理想氣體那樣做無規則熱運動；

②導體內的所有原子核（包含束縛電子）看作是靜止的，把它們看作是靜止的「框架」；

③自由電子在熱運動的同時會與原子核組成的「框架」發生碰撞，從統計的角度來看，自由電子在與「框架」碰撞後的運動是隨機的。

可以把自由電子想像成「不長眼」的熊孩子，把原子核想像成柱子，導體內的情況就相當於一大群「不長眼」的熊孩子在一個屋子裡到處亂跑，屋子裡到處都是柱子，熊孩子跑著跑著就會撞柱子，然後再隨機的到處跑，但兩個熊孩子之間不會相撞。

有了以上前提就可以計算導體兩端有電壓時，導體內的電流了。

設有一個導體棒，長為 $l$ ，橫截面積為 $S$ ，假設導體棒兩端電壓為 $U$ ，則電場強度為 $E=frac{U}{l}$ ，自由電子雖然有熱運動，但是由於熱運動是隨機的，所以一定時間內穿過導體截面的電荷量是零（因為穿出截面和穿入截面的相等），熱運動對電流沒有貢獻。當有了外加電場，自由電子就附加了一個定向移動的速度， $v=at=frac{Ee}{m}t$ ①。但是加速時間 $t$ 是有限的，因為自由電子總是會與「框架」發生碰撞，設兩次碰撞的平均距離為 $lambda$ ，則兩個碰撞之間的時間是自由電子可以被電場加速的時間，碰撞後自由電子的運動又是隨機的，對電流的貢獻又變成零了。

現在要計算出自由電子的加速時間。雖然電場對電子有個加速，但是自由電子因為這個加速而得到的定向移動速度很小，與自由電子熱運動的速度相比是忽略不計的，所以自由電子兩次碰撞的時間間隔為 $t=frac{lambda}{u}$ ，這裡 $u$ 是自由電子熱運動的平均速度，一般用熱運動平均動能的表達式 $E_k=frac{1}{2}mu^2$ 將時間間隔 $t$ 的表達式改寫為 $t=frac{lambdasqrt{m}}{sqrt{2E_k}}$ ②

好了，現在可以求出自由電子被電場加速的最大速度了，最大速度就是

$v=frac{Ee}{m}frac{lambdasqrt{m}}{sqrt{2E_k}}=frac{Eelambda}{sqrt{2mE_k}}$ ③（這個可以用動量定理直接算出來）

自由電子的加速過程是勻加速的，所以平均速度就是

$ar{v}=frac{1}{2}v=frac{Eelambda}{2sqrt{2mE_k}}$ ④

而電流的定義是單位時間內通過截面 $S$ 的電荷量，由於此時自由電子有了定向移動的速度 $ar{v}$ ，所以 $Delta t$ 時間內通過導體截面 $S$ 的電荷量為 $Delta q=neSar{v}Delta t$ ，這裡 $n$ 為單位體積內的自由電子數量（或者說自由電子的數密度），這樣就得到電流的表達式為

$I=frac{Delta q}{Delta t}=neSar{v}$ ⑤

把④代入⑤，得到

$I=frac{ne^2lambda}{2sqrt{2mE_k}}ES$ ⑥

再利用 $E=frac{U}{l}$ ，得到

$I=frac{ne^2lambda}{2sqrt{2mE_k}}frac{U}{l}S$ ⑦

這就是歐姆定律。與歐姆定律 $I=frac{U}{R}$ 做比較，得到電阻

$R=frac{2sqrt{2mE_k}}{ne^2lambda}frac{l}{S}$ ，電阻率為 $ho=frac{2sqrt{2mE_k}}{ne^2lambda}$ ⑧

可以看到，整個過程基本用高中物理就可推導出來，上式中的 $m$ 是電子的質量。

觀察⑧式，發現電阻率 $ho∝sqrt{E_k}$ ， $E_k$ 為自由電子熱運動的動能，按照理想氣體模型，動能是正比於溫度的，所以我們得到電阻率隨著溫度升高而增大，也就是同一根電阻溫度越高電阻越大，這對大部分常見導體是成立的。

以上推導只是一個非常粗略的過程，還有更精細的理論，更精確的理論需要用到量子力學方面的知識。

電能和熱能的轉化大致的可以這樣解釋：自由電子被電場加速後與框架碰撞，這樣自由電子從電場中獲得的動能轉化為了框架的內能，也就是電能轉化為導體的內能。我們也可以據此推導出焦耳定律 $Q=I^2Rt$ 。

有點意思的問題。

猜想，題主所指的歐姆定律宏觀解釋，應當是指利用麥克斯韋方程組推導出歐姆定律，或者歐姆定理；而所謂歐姆定律的微觀解釋，應當是指從量子物理學的角度來分析。

第三種解釋就是從純粹的電路分析觀點下看歐姆定律。

對於第一種和第二種觀點，在任何一本《大學物理》或者《電磁場理論》、《量子物理學》中都有，可以參閱。

我來回答這第三種觀點吧。事實上，我覺得這可能是題主的本意。

歐姆定律可以從物理系統都遵守的基本公式直接演變而來，這個公式是：

$阻礙作用=frac{動因}{效果}$ ，式1

以中學生最愛的水管來說，如果缺少壓力，水就不會有任何反應。

我們把系統針對動因產生的效果叫做響應。對於電路來說，電流就是電路中施加了電壓後的響應。

施加在水管上的壓力越大，根據式1，則水流的速度也就越大；同理，根據式1，電壓越高，則電流也就越大。

我們看圖1：

設，我們把電源的電壓調節到U1，測量流過電阻的電流，發現它等於I1。然後我們再把電源電壓調節到U2，測量流過電阻的電流，發現它等於I2。

於是，我們由式1，得到：

$阻礙作用=frac{動因的改變數}{效果的改變數}Rightarrow 阻礙作用R=frac{U_2-U_1}{I_2-I_1}$ ，式2

由於式2是從動因與效果之比中直接推導而來的，因此它體現了能量轉換的關係。理解這一點很重要。

我們把式2寫成一般式，如下： $R=frac{U_2-U_1}{I_2-I_1}$ ，式3

如果式3中的動因改變數U1等於0，則它的響應I1當然等於0。我們再讓U=U2、I=I2，把它們代入到式3中，就得到歐姆定律的完整形式：

$R=frac{U}{I}$ ，式4

歐姆定律的形式如此簡單，所以當歐姆第一次給出這個結論時，引起了嘲笑，甚至丟失了他的工作長達二十餘年。

在我的《你所不知道的電氣知識——電氣世界漫遊初級版》書稿中，有一段介紹歐姆的內容，如下：

（說明一下：此書將在今年上半年出版）。

正是歐姆定律脫胎於能量關係，所以歐姆定律可用於直流電路、交流電路、數字電路、微波電路，甚至還可以運用到電弧分析，幾乎是無所不能。

現在，我們仔細觀察圖1和式3。我們把式3改成如下模樣：

$frac{U_2-U_1}{I_2-I_1}=frac{Delta U}{Delta I}= an heta =R$ ，式5

原來，電阻R就是電阻的伏安特性曲線（直線）的斜率而已。

我們可以把式5寫成更一般的形式，如下：

$R=lim_{Delta I ightarrow 0}{frac{Delta U}{Delta I}}=frac{dU}{dI}$ ，式6

式6告訴我們，電阻就是電路伏安特性曲線動因改變數U與效果改變數I在某點處的導數。

下圖是我在書稿中列舉的一個例子：

從此圖中，我們看到曲線斜率也即動態電阻的變化，可謂淋漓盡致。我們由此也可以揣摩出歐姆定律的實質是什麼。

我的解釋就到這裡吧。這些名詞，例如動態電阻、負電阻、正電阻、非線性電阻已經遠遠超出題主的疑問範疇了，就此打住。

另外，我寫過四篇有關歐姆定律的系列文章，如下：

Patrick Zhang：淺談電阻和歐姆定律1?

zhuanlan.zhihu.comPatrick Zhang：淺談電阻和歐姆定律2?

zhuanlan.zhihu.comPatrick Zhang：淺談電阻和歐姆定律3?

zhuanlan.zhihu.comPatrick Zhang：淺談電阻和歐姆定律4——擴展知識?

zhuanlan.zhihu.com

這些文章可供參閱。

線性關係用Drude Model可以解釋，簡單來說是電子在電場作用下加速，但是平均每隔t時間會碰撞到損失所用動量（電阻來源），推導見wiki

Drude model - Wikipedia?

en.wikipedia.org

電阻這個概念在微觀上差不多是反應材料中的雜質原子、材料原子本身對電子影響，電子與電子之間的互相影響等，導致電子定向運動受阻程度的。微觀上有電阻率等於電場強度E和電流密度J的比值。

殘酷地講，微觀尺度上談歐姆定律是沒有意義的。撇開溫度、材料、尺寸、場環境談微觀上的電學，是耍流氓。歐姆定律的適用範圍在現今的物理學中應該是極其狹小的，但當初它提出時意義很大。

如果給樓主回答的話

U=IR實際上描述了U和R之間的線性關係，但是這個物理圖像很難清晰的用初中知識表達。我們主要來看看等價於它的I=U/R。現在你可以這麼理解：因為電阻是妨礙電流通過的導體的，所以我們需要電壓來使得電流能夠通過，也就是有人攔著，你就需要一個力推著才能通過。最直接的想法是：1.每有一個人攔著，我就有一份力推著。2.如果有兩個人攔著，我就出兩份力。換句話說：對於任意一個電阻的微觀（結構或者過程上）單元，我們需要施加恆定量的電壓，才能夠順利維持電流I。這個實際上說明了：1.電壓是維持電流，克服電阻的力量源。2.電阻的微觀單元（無論是作為結構還是作為過程來看）之間，在統計上是沒有相互作用的。U和R一個作為推力，一個作為阻力，是成比例出現的。想到這些，我們可以很自然的寫下：I=kU/R，k是一個任意的，固定的數。這是我們能想像到的最簡單的物理圖像，它已經給出了歐姆定律的基本形式，同時唯象的解釋了為什麼。至於裡面k等於多少，實驗告訴我們它是1。

當然這是非常不嚴謹的，我們只是在猜測。物理學很少是這樣來做的。

如果給其他查到此問題的有一定基礎的人

你們去看固體物理吧。我可以簡單的說一說：

按照動量定力寫出下面方程：

$p(t+dt)=(1-dt/ au)[p(t)+F(t)dt]$

其中tau是弛豫時間，每tau時間電子發生一次散射。在dt時刻內發生了dt/tau次，發生了散射的電子我們假設它動量變為0，被完全「阻擋」了。後面乘的就是普通的變化後的動量。把上式化簡有：

$p+dtfrac{dp}{dt}=p-frac{dt}{ au}p+Fdt-Fdt^{2}$

dt^2是高階無窮小，在dt趨於0是完全忽略，化簡到下面：

$frac{dp}{dt}=frac{-p}{ au}+F$

帶入條件 $frac{dp}{dt}=0, F=-eE, p=vm^{*}$ 後有：

$v=frac{-e au*E}{m^{*}}$

考慮電子流：

$j=-nev=frac{ne^{2} au*E}{m^{*}}=kE$ ，於是我們就找到了j和E之間的線性關係。當然k一般都寫sigma。。。

電場強度乘以電導率等於電流密度

因為E=ρj

今天心情好寫個回答。

電阻是一個灰色系統，在電阻兩端加上電壓，電阻這個系統產生相應的響應，而我們將其稱為電流。當擁有大量的實驗數據情況下，就可以研究這樣的一個灰色系統的白化型。而白化型的類型可以表示為U=I x R+U』。U是由於很多因素導致的誤差，實際上電阻系統在沒有增加電壓激勵時，電流響應為0 。所以應該U=0 。

而至於R本身是由什麼決定的，它自身的微觀機理是什麼，在電磁學當中有初級理論，可以自行翻閱。

實際上，U和I既有幅頻特性，又有相頻特性，U=I x R只是研究了其幅頻特性。實際表達式在電磁學中會有詳細的討論，可以自行翻閱。

我只知道這個是通過實驗發現的規律。

為了估計導體對電流阻礙的大小，人為規定的

這個，通俗點吧，因為當年歐姆經過多次實驗後得到的結果。不過和現在不太一樣了，做實驗嘛，最重要的是發現和總結規律，然後他得到了導體兩端的電壓和電流成正比唄，也就是U＝kI了，不過每個導體的k不一樣了，而它反應的也就是每個導體的本身屬性，一不小心就定義為電阻了。本身這個規律就是實驗定律，也沒啥好說的，就是這樣，嗯，對。

ps:多看點歷史有好處。

U=IR這個只是歐姆定律的數學變形式而已，並無物理學的實際意義，只是用來幫助運算的。

真正的歐姆定律是I=U/R，表示電流跟電壓呈正比，跟電阻成反比，這就容易理解了吧？

電流其實跟水流有很多相似之處，想像你手裡有個裝滿水針管，是不是你按壓針管的力氣越大，噴出來的水流越強呢？所以電壓越大電流也越強，是正比關係；再想像一下針管還是原來那個，你的力氣也保持不變，把水換成膠水，是不是水流明顯變緩了？膠水更粘稠相當於增加了水的阻力，所以電阻越大，電流越弱，是反比關係。

不用給你解答，這是初中物理裡面很簡單的一個概念，在課堂上完全能掌握，或者問問你的老師，他能現在你初中生的角度給你講題，不像知乎大神，裝逼是滿分，但是你會更迷惑。

所以我建議少玩知乎，認真聽課，問題會迎刃而解，並祝你在物理的道路上越走越遠！