何布凡是如何快速的將循環小數轉換為分數的？有什麼技巧嗎？

02-12

CCTV1《少年中國強》節目，何布凡是如何做到快速將循環小球轉換為分數的？有什麼理論方面的研究嗎？

恰好我高中的時候推過這個東西，拿出來曬一下吧。

簡單起見我們不考慮整數位。首先循環小數有兩種，純循環小數和混循環小數，先考慮前一種。

考慮小數 $A=0. alpha alpha alpha cdots$ ，其中 $alpha$ 是一個n位整數.那麼就可以寫成分數求和形式,

$A=frac{alpha}{10^n} +frac{alpha}{10^{2n}}+frac{alpha}{10^{3n}}+cdots$

利用等比數列求和公式，

$A=alpha frac{frac{1}{10^n} }{1-frac{1}{10^n}}=frac{alpha}{10^n-1}$

這時候結果就出來了， $10^n-1$ 恰好是n個9，因此

一個循環節長度為n的純循環小數，化成分數的話，分子是循環節，分母是n個9.

那麼再來看混循環小數，也就是小數 $0. eta alpha alpha alpha cdots$ ，其中 $alpha$ 是一個n位整數， $eta$ 是一個m位整數.

由於 $B=0. eta +frac{1}{10^m} 0. alpha alpha alpha cdots$

利用上一步的結果，就有

$B=frac{eta}{10^m} +frac{alpha}{10^m (10^n-1)}=frac{(10^neta+alpha)-eta}{10^m(10^n-1)}$

我們來看分子分母分別是什麼，首先分母是n個9後面拼上m個0.

分子的話， $10^neta+alpha$ 恰好是不循環部分拼上一個循環節，然後後面再減掉一個不循環部分.因此

一個循環節長度為n，不循環部分長度為m的混循環小數，化成分數的話，分母是n個9拼上m個0，分子是不循環部分和一個循環節拼起來的數減掉不循環部分.

第一部分還是很好理解的，舉個例子

$0.171717cdots=frac{17}{99}$

$0.621621621cdots=frac{621}{999}=frac{23}{37}$

第二部分的話，舉個例子就容易明白了

$0.3171717cdots=frac{317-3}{990} =frac{314}{990} =frac{157}{495}$

$0.2718281828cdots=frac{271828-27}{999900} =frac{271801}{999900}$

以上，下面是自由的評論時間。看完就知道這特么還要理論研究啊，雖然我當時還是覺得有點滿足的，現在看起來全都是平凡的，分分鐘就出來了……而且最後看一下結果，也很簡單嘛，只要知道演算法，並且稍微練過一點心算的話估計秒出沒什麼問題。沒看過題主說的電視節目，但是把這個作為吹噓的點實在是覺得……有點low……

0.abcde循環=abcde/99999

第一次的計算，如樓上所說，用abcde/99999就能得到0.abcde循環，然後再去乘abcde和99999的倍數就能得到一大串。

第二次的計算，是個局部循環。不過也好算，比如 0.8123（123循環）=8115/9990 看到規律了吧，8123減去不循環的8： 8123-8=8115 ，然後除以9990 即可。