SJ極限下超流僅由ABS唯一貢獻的證明

02-12

考慮超導/正常金屬/超導~(S/N/S)~結的正常區域在~$|x|<L/2$，$L$~是結的長度，Josephson~結的准粒子激發譜可由~BdG~方程得到

$egin{pmatrix} mathcal{H}_0 &Delta(m r) \ Delta^*(m r)&- mathcal{H}_0 end{pmatrix}egin{pmatrix} u(m r)\ v(m r) end{pmatrix}=varepsilonegin{pmatrix} u(m r)\ v(m r) end{pmatrix}，$

其中~$mathcal{H}_0=m p^2/2m-mu$~是單粒子哈密頓量。配對勢~$Delta(m r)$~滿足~$lim_{x
ightarrow pm infty}Delta(m r)=Delta_0 e^{mp ivarphi/2}$。同時還需滿足自洽方程

$Delta(m r)=left|g(m r) ight|sum_{varepsilon>0}v^{*}(m r)u(m r)left[1-2f(varepsilon) ight].$

求和遍歷所有正值的本徵能量，$g$~是~BCS~給出的相互作用因子。在~S/N~界面上，$g$~迅速衰減到~0~(在原子尺度的量級上)。因此配對勢可用階躍函數模型來描述

$Delta(m r)=egin{cases} Delta_0 e^{ivarphi/2} & x<L/2 \ 0 & |x|<L/2 \ Delta_0 e^{-ivarphi/2} & x>L/2 end{cases}.$

BdG~方程的解為

$u(m r)=mathcal{V}^{-1/2}left[frac{varepsilon+sqrt{varepsilon^2-Delta_0^2}}{2varepsilon} ight]^{1/2}e^{im kcdotm r},~v(m r)=mathcal{V}^{-1/2}left[frac{varepsilon-sqrt{varepsilon^2-Delta_0^2}}{2varepsilon} ight]^{1/2}e^{im kcdotm r}.$

其中~$varepsilon=sqrt{left(hbar^2k^2/2m-mu
ight)^2+Delta_0^2}$~為準粒子激發能量，$u(m r)$，$v(m r)$~在體積~$mathcal{V}$~內滿足歸一化條件

$int_{mathcal{V}}dm rleft(|u|^2+|v|^2 ight)=1.$

准粒子激發譜存在連續譜和離散譜，其中離散譜對應與能隙內的能量~($0<varepsilon<Delta_0$)，稱為~Andreev~能級，對應的本徵態稱為~Andreev~ 束縛態。

平衡態下，Josephson~流滿足關係

$I=frac{2e}{hbar}frac{partial F}{partial varphi}.$

自由能~$F$~可通過~BdG~方程直接計算得到

$F=-2k_{ ext{B}}Tsum_{varepsilon>0}left[2coshleft(varepsilon/2k_{ ext{B}}T ight) ight]+int dm r |Delta|^2/|g|+ ext{Tr}mathcal{H}_0.$

帶入~(1.17)~可求得電流表達式

$egin{split} I=&-frac{2e}{hbar}sum_{ ext{p}} anhleft(varepsilon_{ ext{p}}/2k_{ ext{B}}T ight)frac{partial varepsilon_{ ext{p}}}{partialvarphi}\-&frac{2e}{hbar}cdot2k_{ ext{B}}Tint_{Delta_0}^{infty}d varepsilonlnleft[2coshleft(varepsilon/2k_{ ext{B}}T ight) ight]frac{d ho}{dvarphi}+frac{2e}{hbar}frac{d}{dvarphi}int dm r|Delta|^2/|g|. end{split}$

這裡將所有能譜的求和~$sum_{varepsilon>0}$~拆成對離散譜的求和~$sum_{ ext{p}>0}$，$ ext{p}=1,2,...$~和對態密度為~$
ho(varepsilon)$~的連續譜的積分~$int_{Delta_0}^{infty}$。(1.18)~式中的~$ ext{Tr}mathcal{H}_0$~和~$varphi$~無關，因此對電流無貢獻。一般而言，$|Delta|^2/|g|$~的空間積分和~$varphi$~有關，從而對電流有貢獻。但是，如果認為配對勢為階躍函數模型的話，該項對電流則沒有貢獻了。

直接計算得到，(1.19)~式第~2~項的量級為~$Nleft(eDelta_0/hbar
ight)cdot L/xi$，$N$~為~x~方向傳播的總模式數，~$xi$~是超導相干長度，且第~3~項中的積分

$frac{2e}{hbar}int dm r|Delta|^2/|g|propto left(eDelta_0/hbar ight)cdot L/xi.$

因此，當結的長度遠小於超導相干長度時，即滿足短結極限~$L/xi
ightarrow0$，(1.19)~中第~2，3~兩項為~0，電流為

$I=-frac{2e}{hbar}sum_{ ext{p}} anhleft(varepsilon_{ ext{p}}/2k_{ ext{B}}T ight)frac{partial varepsilon_{ ext{p}}}{partialvarphi}，$

此時只有離散譜~(Andreev~能級)~對電流有貢獻。