高等代數複習拾遺（一）

02-12

線性空間

如果一個方程組中某一個方程是其餘方程的線性組合，則稱這個方程組中的方程線性相關（linearly dependent）,反之若每個方程都不是其餘方程的線性組合，則稱為線性無關（linearly independent）.

一般對於數域F上的一組n維數組向量 $alpha_1,...alpha_m，$ 要看其要看是否某個 $alpha_i$ 是否是其餘向量的線性組合（即為此組向量線性相關），只需要看是否有不全為0的 $lambda_1,...,lambda_min F$ 使得 $lambda_1alpha_1+lambda_2alpha_2+...+lambda_malpha_m=0$

Ex1

數域F上的向量組 $mu_1,mu_2,mu_3$ 線性無關，試判斷 $mu_1,mu_2,mu_3$ 是否線性相關

解

設有

$lambda_1(mu_1+mu_2)+lambda_2(mu_2+mu_3)+lambda_3(mu_1+mu_3)=0$ $Rightarrow$

$(lambda_1+lambda_3)mu_1+(lambda_1+lambda_2)mu_2+(lambda_2+lambda_3)mu_3=0$ $Rightarrow$

$egin{equation}left{ egin{aligned}&lambda_1+lambda_2=0\&lambda_2+lambda_3=0\&lambda_1+lambda_3=0end{aligned} ight.end{equation} Rightarrow lambda_1= lambda_2= lambda_3=0$

所以 $mu_1,mu_2,mu_3$ 線性無關

定理2.1.1

設m $geq$ 2,則：

向量組 $alpha_1,···,alpha_m$ 線性相關 $Leftrightarrow$ 某個向量 $alpha_i$ 是其餘向量的線性組合

定理2.1.2

向量組 $left{alpha_1,··· ,alpha_m ight}$ 線性相關 $Leftrightarrow$ 某個向量 $alpha_i$ 是前面向量的線性組合

Prof:

由於線性相關，所以存在不全部為0的 $lambda_1,···,lambda_m$ 使 $lambda_1alpha_1+lambda_2alpha_2+...+lambda_malpha_m=0$ 設 $lambda_i$ 是最後一個非零的的數，即 $lambda_i e0$ 並且對於 $i<jleq m$ 有 $lambda_j =0$ ,則 $lambda_1alpha_1+lambda_2alpha_2+...+lambda_ialpha_i=0$ $Rightarrow$ $alpha_i=-frac{lambda_1}{lambda_i}alpha_1-frac{lambda_2}{lambda_i}alpha_2-···-frac{lambda_{i-1}}{lambda_i}alpha_{i-1}$ ,原命題得證。

定理2.1.3

向量組包含一個子集線性相關，那麼整個向量組線性相關；向量組線性無關，則它的每個子集線性無關.

定理2.1.4

把一個線性無關的向量組每個向量都增加一個維度後得到的新的向量組依舊是線性無關

定理2.1.5

設 $mu_1,···,mu_m$ 是n維向量空間 $F^n$ 中的m個向量.如果m>n，那麼 $mu_1,···,mu_m$ 線性相關.

定理2.1.6

$alpha_1,···,alpha_n$ 是n維向量空間 $F^n$ 中n個線性無關的向量，則 $F^n$ 中任何一個向量 $eta$ 都能寫成 $alpha_1,···,alpha_n$ 的線性組合,並且係數是唯一的.

Prof:

易知： $alpha_1,···,alpha_n,eta$ 是線性相關的，所以存在不全為0的數 $lambda_1,···,lambda_{n+1}$ 使得 $lambda_1alpha_1+lambda_2alpha_2+...+lambda_{n}alpha_{n}+lambda_{n+1}eta=0$ ,假設 $lambda_{n+1}=0$ ,那麼與 $alpha_1,···,alpha_n$ 矛盾，所以 $lambda_{n+1} e0$ ,所以可以表示成線性組合.

下面證明係數是唯一的,反證，假設不唯一，則存在：

$-lambda_{n+1}^{-1}(lambda_1alpha_1+lambda_2alpha_2+...+lambda_{n}alpha_{n})=eta$

$-lambda_{n+1}^{-1}(lambda_1^{}alpha_1+lambda_2^{}alpha_2+...+lambda_{n}^{}alpha_{n})=eta$

相減之後既可以推出矛盾.