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圓錐曲線數學解析幾何

【解析幾何】雙聯立（齊次化處理）解決定點問題

02-12

這個是我們的數學老師在課上提到的方法，原本是講2018年泉州市高三質檢的題目，後來發現可以做2017年的全國一卷理數的壓軸題，並且特別快！！

過去嘗試用一般的方法做這道題，也就是：設點、設線、求斜率。

計算量非常大，最後能夠得到一串表達式。

得到那串式子（或是用我們數學老師的話說，那一坨）後，要代回去求定點。

用個人最快的運算速度來做的話，要花近十分鐘。

但是用雙聯立的方法，式子一列，熟練的話一分鐘可以解決。

沒錯！你沒有看錯！一分鐘！！

（在這裡向我們的數學老師比心）

例題 (2017年全國1理)

第一步只要代入 $P_2$ ， $P_3$ ， $P_4$ 四個點，就可以求出橢圓的方程為 $C：frac{x^2}{4}+y^2=1$ 。

接下來直接做第二步。

解設直線 $P_2A$ 的斜率為 $k_1$ ，直線 $P_2B$ 的斜率為 $k_2$ ，

$P_2A:y=k_1x+1$ ，即 $k_1x+(1-y)=0$

同理 $P_2B：k_2x+(1-y)=0$

此時將 $P_2A$ 和 $P_2B$ 的方程合在一起： $[k_1x+(1-y)]cdot [k_2x+(1-y)]=0$

這個式子就可以表示 $P_2A$ 和 $P_2B$ 這兩個直線上所有的點，化簡後得到

$k_1k_2x^2+(k_1+k_2)x(1-y)+(1-y)^2=0$

題目條件有 $k_1+k_2=-1$ ， $frac{x^2}{4}+y^2=1$

即 $x^2=4(1-y^2)=4(1+y)(1-y)$

代入得 $4k_1k_2(1+y)(1-y)-x(1-y)+(1-y)^2=0$

因為直線 $l$ 不經過 $P_2(0,1)$ ， $y e1$ ， $1-y e0$

所以消去 $(1-y)$ 得 $l:4k_1k_2(1+y)-x+(1-y)=0$ 。

在這裡，要求出直線所過的定點，只需聯立以下方程：

$1+y=0$ 和 $-x+(1-y)=0$ ，解得 $x=2$ ， $y=-1$

即直線 $l$ 過定點 $(2,-1)$

換個角度，我們再來做一下這道題，現在跳過無關的講解，只寫關鍵步驟。

若直線 $l$ 經過定點 $(2,-1)$ ，且不經過點 $P_2(0,1)$ ,與 $C$ 交於 $A$ ， $B$ 兩點，證明：直線 $P_2A$ 與直線 $P_2B$ 的斜率的和為定值．

解設 $P_2A:y=k_1x+1$ ，即 $k_1x+(1-y)=0$ ，

同理 $P_2B：k_2x+(1-y)=0$

$[k_1x+(1-y)]cdot [k_2x+(1-y)]=0$

化簡得： $k_1k_2x^2+(k_1+k_2)x(1-y)+(1-y)^2=0$

因為 $frac{x^2}{4}+y^2=1$ ， $x^2=4(1-y^2)=4(1+y)(1-y)$

所以 $4k_1k_2(1+y)(1-y)+(k_1+k_2)x(1-y)+(1-y)^2=0$

因為 $l$ 不經過點 $P_2$ ， $y e1$ ， $1-y e0$ ，

所以消去 $(1-y)$ 得 $l:4k_1k_2(1+y)+(k_1+k_2)x+(1-y)=0$

因為 $l$ 經過定點 $(2,-1)$ ，代入得

$2(k_1+k_2)+2=0$ ， $k_1+k_2=-1$

在做完這兩道題後，我們可以得到如下框架：

已知兩直線斜率的和或積可以推出直線過定點；已知直線過定點可以推出兩直線的和或積

當然，雖然這個方法很棒，但是書寫過程要特別注意，並且不是所有時候都可以算出答案。

放上我們數學老師的原話：這個方法慎用。

註：和超人老師的某節課有點相似的地方，「齊次化處理」這個名字也是從超人老師那裡借鑒過來的，可以當作是超人老師的課的一點補充。

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