第13講：拓展矩形和唯一環

02-12

這一節將講到的是另外兩種致命結構，他們從兩個不同的維度拓展了唯一矩形結構，使得唯一矩形拓展到依然可用。

這一節難度可能會比較高，請分多次閱讀，並最好有草稿紙寫寫畫畫。^_^

Part 1 唯一環（Unique Loop）

如圖所示，圖中有一個全涉及2和6的結構。不過，奇怪的是，唯一矩形是只涉及4格的，這個涉及6格。

接下來，回顧一下UR致命的原因。

UR涉及的四個頂點是分屬兩個宮內的，而形成致命形式的原因是，結構本身而言，拋開它們四個單元格所在的區域下可以刪除的數字，其餘位置不會有任何候選數的變動。而這意味著，數對結構本身而言，是可以交換填數的，也就是說結構內有兩種填法，但兩種填法都使得剩下的盤面部分只有同一種填法，根據數獨要求唯一解而言，既然剩餘盤面都是同一種填法了，前面的部分就不可能存在有兩種完全不一致的填法，所以說違背了唯一解的要求。

你把這個說法代入到這裡來看。如果r7c4隻有2和6兩個候選數的話，由於這個結構涉及到三行（r479）、三列（c234）和三個宮（b478），而所有涉及的區域下，都會有26數對的存在。那麼刪除掉這些2和6之後，其餘候選數不會變化。就結構本身而言，內部是有多種不同的填數情況的（由於數對的關係，內部填數就可以完全發生交換，產生兩種填法），而使這樣不同的填數情況最終都可以得到一致的剩餘盤面情形。唯一解要求，每一個單元格都只可能有一種填數可能，所以數對這個結構也不能發生變化才是。所以，這個結構不能存在在盤面之中，也就是出現了致命形式了。

為了規避這個結構的存在，r7c4<>26。

這個結構被稱為唯一環（Unique Loop），簡稱為UL，因為這個結構首尾拼接可以構成環狀形式，而且利用到的是和UR一樣的思維方式。那麼，UL既然是從唯一矩形拓展而來的結構，那麼它最大可以到多大呢？

試想一下，UL是由完全一致的數對形式拼接成環、利用唯一解來得到矛盾的結構。那麼唯一矩形會涉及兩行、兩列、兩個宮；而上面的結構會涉及三行、三列和三個宮。那麼最大的結構，就應當是九行、九列和九個宮了。但是，如果真是這樣的話，那全盤都會存在這樣兩個完全可以互換的數對，那不就直接產生兩個填法了嗎？所以說，最多只會涉及八行、八列和八個宮，跟著這樣的類比，我們可以知道的是，最大的結構應當可以涉及16格。

不過可憐的是，我們沒有找到這樣的結構，只有一個14格的UL。

這個結構涉及的區域是r1246789c456789b2356789。是不是很可愛呢？要不自己試試看怎麼推導的吧！（提示：UR有四種類型喲，UL應該是一樣的，那麼想想看UL裡面對應的四種類型的邏輯吧！）

其實的確只能是14格結構為最大。這一點暫時講不到，內容會靠後一些，所以你可以自己想想看喲！它使用到的證明的邏輯是Reverse結構，有興趣的可以去EnjoySudoku論壇上找找看。

Part 2 拓展矩形（Extended Rectangle）

要說唯一環是從規格拓展的結構，那麼拓展矩形（Extended Rectangle）就是從數的維度進行拓展的結構。

如圖所示，這個結構頗像唯一矩形，不過唯一矩形是只有4格的，而這個結構佔了6格，而且涉及的數字也從兩種變化為三種。

如果說，使用原定的邏輯，這個推導就行不通了。為什麼呢？因為這個結構特別複雜，而且對於r57來說，並不是單單的數對這麼簡單，涉及了兩個三個候選數的單元格，這最終能體現出數對的效果，才可以導致類似於UR的致命效果才對。可是，我們確定不下來數對，所以行不通了。

這個思路就得改一下啦。觀察結構涉及的兩列。特別引起注意哈，這一次只看列，行和宮都暫時不管。然後，試想一下。如果r3c3隻有1和5的話，c1和c3上，就都會有135數組。那麼，刪除掉c1和c3的135之後，其餘單元格就落定了填法了。

如果此時，這兩列涉及的數組每一格對應同行的話，比如圖上的狀態就是「每一格對應同行」，那麼c13的填數就完全沒有差別了呀。既然沒有差別，那r13的填數狀態就可以完全互換了。

啊？什麼意思喲？說白了，因為刪掉135數組該刪的數字之後，結構涉及的單元格又恰好對應同行，那麼就這6格而言呢，填數是可以完全交換的，怎麼交換法呢？就是c1順次的三個單元格可以順次填入到c3里，而原本c3裡面該填的數字呢，也可以順次填到c1里。

所以，這樣的結構依然致命，雖然不同於原本的邏輯，但依然可以得到兩個完全可以互換的填法，所以也算致命。這種結構稱為拓展矩形。那麼，最大的結構有多大呢？按照推導方式呢，如果兩行或者兩列沒有一個提示數的話，肯定是多解的，因為這兩行或兩列，就相當於兩個「九數組」，雖然沒有刪數了，但是兩行或兩列的填數是完全可以交換的，因為結構只會存在於同一個大行或大列之中。也就是說，如果結構跨越大行或大列，那就不能交換啦，因為宮內的填法會受到影響，就像UR涉及的單元格不能分屬四個宮內一樣。所以，18格（2×9）肯定是不可以的。那就只能是16了。

但是，和UL最大只能涉及14格一樣，這裡給不出16格不成立的證明，在我們講到Reverse結構後，再對這個結構作出補充。所以最大的拓展矩形結構應該為14格。

我們來看一下這個結構的樣子：

如圖所示。這個結構涉及14個單元格。不折不扣的大致命結構。至於是為什麼這樣致命呢，這裡就不用啰嗦啦，你看著就可以了！

另外，只涉及6格的拓展矩形結構，還有一种放置方式，如圖所示。

不過，這個結構是類似於UR類型2（待定數型）的喲！想想這個結構是怎麼致命的吧！思考這一點可能有點難度哦，加油！

Part 3 總結

這一節是針對講到的技巧做的一個統一的難度歸納和理論分析。

唯一環

英文名：Unique Loop
難度係數：4.3 + 涉及的單元格數 ÷ 2 × 0.1 + 類型對應權值
命名空間：Tech.DP.Loop

拓展矩形

英文名：Extended Rectangle
難度係數：4.3 + 涉及的單元格數 ÷ 2 × 0.1 + 類型對應權值
命名空間：Tech.DP.Extended

「類型對應權值」指的是技巧使用的過程之中，類似於唯一矩形下的類型，所對應的難度係數增量。比如唯一矩形的類型1（標準型），因為是基礎結構，所以增量是0，唯一環如果使用類型1（標準型）進行刪數時，因為也是基礎結構，所以增量為0，即「類型對應權值」參數值為0；如果使用類型2A（同側待定數型），增量則為0.1，類型3A（顯性待定數組型）時，如果涉及顯性數對，則增量為0.1。以此類推。