Note:GR初探之張量基礎

02-12

寫在前面的話：

如果從高一起看硬科普算接觸廣相的話，應該有4、5年了吧，當時看的是這本。

當時給我的最大感受就是，圖很好看哈哈。另一個感受就是，若沒到一定高度，沒有數學的物理就是民科。我的專業安排是大三上上廣相，那這裡的筆記就權當做初探預習和了卻一下多年想學沒學的心愿吧。不過我做的筆記可能有些凌亂不甚合理，因為我是想做個給自己看的備註，而且可能會隨著理解的加深不時修改添加。

By the way我現在預習主要用的參考教材是劉遼趙崢著的廣義相對論（第二版）與梁燦彬周彬的微分幾何入門與廣義相對論（第二版）。

第一章度量空間基本概念

$LargeS extbf{ 1.1張量基礎}$

0.引入坐標變換：

$x^{mu}=x^{mu}(x^{ u})$ (1.1.1)

此式意為這是一個從x坐標繫到x坐標系的變換，所以是函數。若變換符合以下條件：

（a）變換本身連續，並且 $C^{r}$ 階可微；

（b）雅可比行列式 $frac{D(x^{mu})}{D(x^{ u})}$ $e0$ ，因而逆變換存在。

在此變換下，凡變換性質滿足下述條件的量就被稱為張量。可分為標量，矢量，二級張量，高級張量等等。

1.標量

設有函數a(x),在上述變換下有：

$a^{}(x^{})=a(x)$

則 $a(x)$ 稱為標量，零級張量或不變數。

2.矢量

設有四個數量的集合{ $a^{mu}(x)$ }，

(1)在變換下有：

$a^{mu}(x^{})=frac{partial x^{mu}}{partial x^{ u}}a^{ u}(x)=a_{ u}^{mu}a^{ u}(x)$

則 ${a^{mu}(x)}$ 稱為逆變矢量，或逆變一級張量。逆變指標為上標。

(2)在變換下有：

$a^{mu}(x^{})=frac{partial x^{ u}}{partial x^{mu}}a_{ u}(x)=check{a}_{ u}^{mu}a_{ u}(x)$

則 ${a_{mu}(x)}$ 稱為協變矢量，或協變一級張量。協變指標為下標。

用 ${a}$ 和 $check{a}$ 表示矩陣元 $a_{ u}^{mu}$ 和 $check{a}_{ u}^{mu}$ 所對應的矩陣。由於

$check{a}_{sigma}^{ u}a^{sigma}_{mu}=frac{partial x^{sigma}}{partial x^{ u}}frac{partial x^{mu}}{partial x^{sigma}}=frac{partial x^{mu}}{partial x^{ u}} =delta_{mu}^{ u}$

則 $（check{a}）(a)=I$ ，即 $left( check{a} ight)=left( a ight)^{-1}$ .

可見在變換（1.1.1）下，逆變矢量與協變矢量的變換矩陣互為逆矩陣。

3.高級張量

由上可推廣得到n級混合張量為：

$a^{{mu}{ u}{...}}_{{p}{q}{...}}(x^{})=alpha_{ au}^{mu}alpha_{lambda}^{ u}...check{alpha}_{p}^{r}check{alpha}_{q}^{s}...a_{{ au}{lambda}{...}}^{{r}{s}{...}}(x)$

上下標總數為n 。

定義服從下述變換規律的叫做贗矢量。

$a^{{mu}{ u}{...}}_{{p}{q}{...}}(x^{})=frac{|alpha|}{alpha}alpha_{ au}^{mu}alpha_{lambda}^{ u}...check{alpha}_{p}^{r}check{alpha}_{q}^{s}...a_{{ au}{lambda}{...}}^{{r}{s}{...}}(x)$

其中 $alpha$ 代表矩陣 $left( alpha ight)$ 的行列式， $left| alpha ight|$ 代表行列式 $alpha$ 的絕對值。顯然 $alpha$ 就是雅可比行列式 $frac{D(x^{mu})}{D(x^{ u})}$ .

4.度規張量

現在我們需要在流形中定義一個長度： $ds^2=g_{mu u}dx^{mu}dx^{ u}$ ,則此流形變為度量空間。 $g_{mu u}$ 即為度規張量，它是一個二級協變對稱張量。

$g=$ $egin{equation} left| egin{array}{ccc} g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03}\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13}\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23}\ g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33}\ end{array} ight| end{equation}$ $<0$ （此性質由普遍的時空坐標系得，證明略）,定義其逆 $g^{mu u}$ 為 $g_{mulambda}g^{lambda u}=delta_mu^ u=g_mu^ u$ ,它是二級逆變對稱張量。

其中， $delta_mu^ u$ 為Kronecker符號，定義為： $delta_mu^ u=egin{equation} left{ egin{aligned} 0 (mu eq u)\ 1 (mu= u)\ end{aligned} ight. end{equation}$ ，顯然此為單位張量。它的分量在坐標變換下是一個不變數，有「規整符號的作用」。

度規張量 $g_{mu u}$ 的行列式 $g$ 在變換（1.1.1）下的變換規律為：

$sqrt{-g^{}}=frac{1}{|alpha|}sqrt{-g}$

5.度量空間的體元

在三維歐幾里得空間中，採用笛卡爾坐標時，度規張量為：

$egin{equation} left( g_{mu u} ight)= left( egin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1\ end{array} ight) end{equation}$ ， $g=1$ ,體積元為 $dSigma=dxdydz$ .

採用球坐標時，度規張量為：

$left( g_{mu u} ight)=egin{equation} left( egin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\ 0 & r^2 & 0\ 0 & 0 & r^2sin^2 heta\ end{array} ight) end{equation}$ ， $g=r^4sin^2 heta$ ,體積元為 $dSigma=r^2sin heta dr d heta dvarphi$ .

推廣到一般度量空間.自然空間度量體元為 $dSigma=sqrt{-g}dOmega$ .

體元在度量空間中兩坐標系間變換規律為：

$dOmega^{}=d x^{0} d x^{1} d x^{2} d x^{3}=frac{partial{x^mu}}{partial{x^{0}}}frac{partial{x^ u}}{partial{x^{1}}}frac{partial{x^lambda}}{partial{x^{2}}}frac{partial{x^ ho}}{partial{x^{3}}}d x^mu d x^ u d x^lambda d x^ ho$ ，當 $mu, u,lambda, ho$ 中有任意兩個指標相同時，約掉，所以最後只剩下：

$dOmega^{}=frac{D(x^mu)}{D(x^ u)}d x^{0} d x^{1} d x^{2} d x^{3}=alpha d Omega$ .

所以 $dSigma^{}=frac{alpha}{|alpha|}sqrt{-g}dOmega=frac{alpha}{|alpha|}dSigma$ .由1.1.4知這是一個贗標量。

Draft：

下面動手計算一下，以球坐標係為例驗證一下度規張量是一個協變張量。

線元表示為： $ds^2=dr^2+r^2d heta^2= G_{mn}dx^mdx^n$ . $G_{mn}=egin{equation} left( egin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & r^2 \ end{array} ight) end{equation}$ .

現在欲將其變換到笛卡爾坐標系中去.

設 $egin{equation} left{ egin{aligned} x^i=(x^1,x^2)=(x,y) \ z^m=(z^1,z^2)=(r, heta) \ end{aligned} ight. end{equation}$

$g_{ij}(x,y)=frac{partial z^m}{partial x^i}frac{partial z^n}{partial x^j} G_{mn}(r, heta)$

可暴力計算一下:

$egin{equation} left{ egin{aligned} frac{partial Z^1}{partial X^1}=frac{partial r}{partial x}=frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}\ frac{partial Z^1}{partial X^2}=frac{partial r}{partial y}=frac{y}{sqrt{x^2+y^2}}\ frac{partial Z^2}{partial X^1}=frac{partial heta}{partial x}=frac{-y}{{x^2+y^2}}\ frac{partial Z^2}{partial X^2}=frac{partial heta}{partial y}=frac{x}{{x^2+y^2}}\ end{aligned} ight. end{equation}$

代入得到：

$g_{11}(x^i)=frac{partial z^m}{partial x^1}frac{partial z^n}{partial x^2} G_{mn}$

$=frac{partial z^1}{partial x^1}frac{partial z^1}{partial x^1} G_{11}+frac{partial z^1}{partial x^1}frac{partial z^2}{partial x^1} G_{12}+frac{partial z^2}{partial x^1}frac{partial z^1}{partial x^1} G_{21}+frac{partial z^2}{partial x^2}frac{partial z^1}{partial x^1} G_{22}=1$