第12講：唯一矩形（拓展構型）

上次看到過了唯一矩形的基本構型的思路，今天來看看在此之上得到的拓展版本。

Part 1 標準型

之前講到過標準型的結構。那麼如果這樣，它還可以用UR嗎？

如圖所示，一個「疑似」UR的結構被呈現在這裡。不過你會發現，之前的UR結構，有一個頂點只有三個候選數，這個題非要不走尋常路：它有一個頂點有6個候選數。那麼它是否還可以用UR來刪除r2c7(18)呢？

答案是可以的。因為最初的推導過程之中，我們都是假設這些「額外的數字」不存在，然後再得到結構本身致命，從而得到的結論。這個題也是一樣。如果說r2c7沒有3、4、6、9這些候選數的話，即r2c7隻有1和8兩個候選數的話，這樣就會構成關於1和8的唯一矩形致命形式，所以說，r2c7(3469)至少有一個數是正確的。不管它們之中誰是對的，r2c7都會有一個數，r2c7都不可以再填入1和8了，所以r2c7<>18。

所以，不要認為r2c7隻有一個多餘的數字，UR才可以使用哈。之前的原理需要你反覆把它的思路理解透徹。

另外，「如果r2c7沒有3、4、6、9」可以簡單表示為「如果r2c7(!(3469))」。用符號!表示否定，當然，也可以記為「如果!(3469)r2c7」。這裡簡單提一下。

Part 2 對角區塊組/待定數型（UR Type 2B/Type 5）

歪果仁喜歡把東西分得比較細，所以這裡還有一種區塊組型。但是這種區塊組就不是我們本身意義上的區塊組了。

如圖所示，左側可以觀察到一個雙分支匹配法（XY-Wing）結構。

不論r3c6是1還是5，最終都會使得r3c1和r8c6之中至少一格是4。所以可以去掉它們共同對應到的地方，即r8c1(4)。

在去掉之後，有一個特別的結構就浮出水面了：在r89c19處，只有一格只有3和9，其他都是3、4、9這三個候選數。

如果說，這三個4全部沒有的話，剩下的所有3、9就會構成致命形式。所以，r8c9、r9c19之中至少一格是4。

不管那個單元格是4，這三個4共同對應到的地方，就不應該是4，而{r8c9, r9c19}(4)共同對應的地方應該為r9c78(4)，故結論為r9c8<>4。

這個結構罕見之處在於，它不能單獨直接存在於盤面之中，而必須通過某個刪數之後，才會形成，比如這裡的r8c1(4)。它被稱為對角待定數型，因為結構出現對角上的數字的位置是「待定」的，這一點區別於之前的普通版類型2。而在分類之中，它可以被歸納為待定數型（類型2）之中，作為子類型，所以可以稱為類型2B（Type 2B）；當然了，它也可以直接單獨分類作為類型5（Type 5）。一般來說，分類上稱為類型5的，知道的人要多一些，因為Hodoku軟體就稱為類型5，而在一款叫Sudoku 10000 Plus的APP之中，也叫類型5。

另外做個補充，普通版類型2為了區別於對角待定數型，叫同側待定數型或類型2A（Type 2A）。

當然了，還有更為奇葩的示例：只有對角兩格有待定數。

如圖所示，邏輯就不再多啰嗦啦。有疑問的可以在下方詢問。

Part 3 平行共軛對/二鏈列型（UR Type 4B/Type 6）

之前介紹過一個示例，是帶有一個共軛對的。這裡再介紹兩種類型，而帶有的是涉及兩個同數的共軛對。

如圖所示，我們發現全盤裡面，4隻可能填在r46c37這四格之中。那麼這樣的話，4的位置只可能有如下兩種填法：

• r4c3和r6c7同為4；
• r6c3和r4c7同為4。

這是不是很像是一個二鏈列結構呢，因為二鏈列的最終填法也是交叉的兩種情況？我們接著來看。我們發現，結構的左下角和右上角（r6c3和r4c7）兩格，都只有4和9兩個候選數。如果左上角和右下角（r4c3和r6c7）都同時是4的話，這必然會使得同為4和9兩個候選數的兩個只可以填入9。這樣，就形成了關於4和9的致命形式。雖然已經填入，但因為終歸是自己填入的數字，所以依然可以產生4和9的交換寫法，這樣就跟四格都是4和9兩個候選數的唯一矩形致命形式沒有本質上的區別了。

所以，為了避免致命形式出現，4的位置只可能是另外一種情況：r6c3和r4c7同為4。

這個結構因為運用了二鏈列的思路，所以被稱為二鏈列型；而我們在使用二鏈列的思路的時候，原理依然是藉助了「共軛對」的方式的：如果r4c3=4時，則r6c3<>4，而r6有4的共軛對，所以r6c7=4。反過來也是一樣的：如果r6c7=4時，則r4c7<>4，而r4有4的共軛對，所以r4c3=4。這一點使用了兩個共軛對，而且是「平行」的形式（r4和r6都是「行」，當然是平行的了）出現的，所以還被稱為平行共軛對型。分類的話，引用用到了同數的共軛對，所以屬於類型4，為了和原本的類型4作區別，它歸為類型4B（Type 4B），而原結構歸為類型4A（Type 4A）；而也可以單獨為其分類為類型6（Type 6）。同類型5，軟體都將其劃分為類型6。

Part 4 正交/垂直共軛對型（UR Type 4C/7/Hidden UR）

如圖所示。首先我們觀察到，r1和c3上，都有5的共軛對，而且共軛對涉及的單元格剛好是這個結構涉及的其中三個單元格。那這有什麼用處呢？

試想一下，5的共軛對涉及r1c3、r1c7和r3c3這三個單元格，那麼就這三格而言，填5隻可能有以下兩種可能：

• r3r3和r1c7同為5；
• r1c3為5。

如果r3r3和r1c7同為5的話，可以確定的是，r3c7隻能填1（因為r3c7隻有1和5兩個候選數）。那麼，r1c3就不能填1了。因為r1c3如果此時還填1的話，r3c7也是1，然後剩餘兩格又是5，這就構成了1和5的致命形式。之前類型6就說過，雖然已經填入了四格，看似已經不能發生變動，但是終歸是自己填的，而不是提示數，這樣就可以交換四格的填數，產生另外一種填法，就形成了類似於標準型致命的形式。所以此時r1c3不應為1。

第二種情況則是r1c3為5。那很明顯，r1c3都是5了，那肯定這格就不能填1咯。

所以，所有兩種情況都能使得r1c3不可以填1，所以r1c3<>1，所以可以安全地刪除掉這個候選數。

這個結構運用到的是行和列兩個「維度」上的同數的共軛對，恰好還是「垂直」擺放的，所以稱為正交共軛對型或者垂直共軛對型。而至於分類呢，為類型4C（區別於類型4A和4B）或類型7（單獨分一個類型）。但是有趣的是，歪果仁還給這種刪除方式專門定了一個額外的名字：隱性唯一矩形（Hidden Unique Rectangle或Hidden Rectangle），說明這個唯一矩形的位置是隱藏在裡面的，不容易看到。

那麼，所有基本的唯一矩形構型（被分類好的）已經全部講完了。

Part 5 類型名稱總結

因為唯一矩形結構的類型非常多，所以此處做一個歸納，防止大家被繞暈。

• 標準型：第1大類型
• 待定數型：第2大類型
• 區塊組型、同側待定數型：類型2A、類型2
• 對角待定數型：類型2B、類型5
• 待定數組型：第3大類型
• 顯性待定數組型：類型3A
• 隱性待定數組型：類型3B
• 共軛對型：第4大類型
• （單）共軛對型：類型4A、類型4
• 平行（雙）共軛對型：類型4B、類型6
• 正交（雙）共軛對型、垂直（雙）共軛對型：類型4C、類型7、隱性唯一矩形

Part 6 總結

這一節是針對講到的技巧做的一個統一的難度歸納和理論分析。

• 唯一矩形對角待定數型
• 英文名：UR Type 2B 或 UR Type 5
• 難度係數：SER 無，XR 4.6
• 命名空間：Tech.DP.Basic.Two.B
• 唯一矩形平行共軛對型
• 英文名：UR Type 4B 或 UR Type 6
• 難度係數：SER 無，XR 4.6
• 命名空間：Tech.DP.Basic.Four.B
• 唯一矩形垂直共軛對型
• 英文名：UR Type 4C 或 UR Type 7 或 Hidden UR
• 難度係數：SER 無，XR 4.8
• 命名空間：Tech.DP.Basic.Four.C

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