金融數量分析(二)

02-12

現金流折現的應用

現金流的折現在公司理財中主要應用於項目評估和資本預算，通常使用凈現值與內部收益率做為參考。

凈現值（NPV，net present value）與內部收益率（IRR，internal rate of return）

1、凈現值(NPV)

凈現值是指特定方案未來現金流入量的現值和未來現金流出量的現值之間的差額。

凈現值與現值的不同在於其強調了差額，所謂凈現金流，也就是負的現金流(成本投入)與正的現金流(回報)的差額。未來凈現金流的貼現，即這個項目的收益情況。

NPV的計算公式為： $NPV=sum_{t=0}^{N}{frac{CF_{t}}{(1+r)^t}}$

其中：CF(cash flow)=項目期間預期凈現金流 N=投資預期周期 r=折現率(投資的機會成本)

例：Lewis向公司申請提交一個投資項目，這個項目的期初成本是$5,000,000，將在一年後收到回報$1,600,000，兩年後收到回報$2,400,000，三年末收到回報$2,800,000。假定折現率收益為12%，這個項目的凈現值為多少？

$NPV=sum_{t=0}^{N}{frac{CF_{t}}{(1+r)^t}} =-5000000+frac{1600000}{1.12}+frac{2400000}{1.12^2}+frac{2800000}{1.12^3}=$334,800$ 計算器：CF，CF0=-5000000，CF1=1600000，CF2=2400000，CF3=2800000，NPV，I=12，NPV，CPT=334800。

項目凈現值為$33,4800。

凈現值為正，意味著項目能夠為公司股東帶來利益。凈現值為負，說明沒有投資價值。在兩個相互排斥的項目NPV同時為正的情況下，選擇NPV高的項目。

但現實情況中NPV並不完全實用，因為未來的收益、折現率都是不確定的，項目的資金占用率也不一致，它只能作為評判項目的一種參考。

2、內部收益率(IRR)

內部收益率可以不考慮一切外部的因素，僅憑項目預期未來現金流就能得出的一種收益率。內部收益率 (IRR) 的定義是：凈現值 (NPV) 為零時的折現率（使得項目流入資金的現值總額與流出資金的現值總額相等的利率）。

IRR可以被認為是項目的預期回報，內部收益率如果高於折現率(融資成本)，意味著項目值得投資。IRR可以表示為能接受貸款的最大利率，也可以表示項目能承受的最大風險。

通俗的理解內部收益率就是一個項目接受的程度但又不完全適應於現實情況的折現率。

內部收益率計算公式為：

$0=CF_{0}+{frac{CF_{1}}{(1+IRR)^1}} +{frac{CF_{2}}{(1+IRR)^2}}+…+{frac{CF_{N}}{(1+IRR)^N}}$

例：Lewis向公司申請了一個投資項目，這個項目的期初成本是$5,000,000，將在一年後收到回報$1,600,000，兩年後收到回報$2,400,000，三年末收到回報$2,800,000。這個項目的IRR為多少？

$0=CF_{0}+{frac{CF_{1}}{(1+IRR)^1}} +{frac{CF_{2}}{(1+IRR)^2}}+…+{frac{CF_{N}}{(1+IRR)^N}}$

$=-5000000+{frac{1600000}{(1+IRR)^1}} +{frac{2400000}{(1+IRR)^2}}+{frac{2800000}{(1+IRR)^3}}$

計算器：CF，CF0=-5000000，CF1=1600000，CF2=2400000，CF3=2800000，IRR，CPT=15.52

這個項目的內部回報率為15.52%

如果這個項目的折現率為12%（機會成本），IRR為15.52%，IRR大於折現率，意味著項目有利可圖。相反，如果IRR低於12%，會得到負的凈現值，從盈利上講項目不具備投資價值。

現實生活中IRR也不是萬能的，因為其內有一個假定，每期凈現金流都能以IRR再投資，這在現實生活中或許是不可能的。項目如果流入流出交替波動，也會存在IRR多解的情況。

對於兩個互相排斥的項目，從股東利益第一原則考慮，應接受NPV大的項目，也就是說NPV的考慮程度優先於IRR。

持有期收益率(holding period return)

持有期收益率指的是投資者從購入到賣出這段期限里所能得到的收益率，所以持有期間的股利、分紅也應考慮在內，公式為：

$HPR=frac{Ending Value+CashFlowReceived}{BeginningValue}-1$

HPR是單純的不考慮期限的總收益情況。但是做投資決策時，卻不能用HPR來做參考，特別是在一些固收類的產品中，需要年化之後再做橫向的比較。

時間加權回報率(time-weighted return)和貨幣加權回報率(money-weighted return)

基金業績的呈現指標主要有時間加權回報率和貨幣加權回報率，這兩種方法對於同一投資業績有不一樣的評估結果，其區別依賴於現金流量的大小和時刻。

1、時間加權回報率(time-weighted return)

時間加權收益率類似幾何平均收益率，它是一種考慮了時間價值，運用了複利思維的收益率。時間加權收益率是指在每單位時間期間計算其金額加權收益率後，計算整個時間期間收益率的幾何平均數。因為時間加權回報率不受現金流出與流入的影響，較受業界青睞。

通俗的說TWR是在一個確定的衡量期間內，在期初投入1美元不取出，在期末可以收回金額的複合回報率。

時間加權回報率的公式為： $TWR=[(1+HPR_1)(1+HPR_2)(1+HPR_n)]^{frac{1}{n}}-1$

例：Lewis今年初(t=0)購買了價格為$100股票(1股，後同)，在今年年末(t=1)，他又購買了這支股票，這時股票價格為$120，在第二年末(t=2)，Lewis將兩支股票賣出，賣出價一共$260。同時他所買的股票在每個持有年末會進行$2的股利分配。請問賬戶的時間加權回報率為多少？

首先計算兩個年度持有期的收益率：

$HPR_1=frac{Ending Value+CashFlowReceived}{BeginningValue}-1=frac{120+2}{100}-1=0.22$ $HPR_2=frac{260+4}{240}-1=0.10$

$（1+TimeWeightedRateOfReturn）^2=(1+0.22)(1+0.1)$

$=(1.22)(1.1)^{0.5}-1=0.1584$

第一年掙的22%，會連同本金一起投資複利到第二年。

賬戶的時間加權回報率為15.84%。

2、貨幣加權回報率(money-weighted return)

在投資本金經常變化的情況下，收益率無疑會受到影響。對於這種情況，計算每次的凈現金流的貼現，這種收益率的演算法叫做貨幣加權回報率。所有的現金流入和流出都會影響價值加權的回報，且現金流大的所佔權重更大。

貨幣加權回報率是考慮所有的現金流入及流出的投資組合回報率，是投資組合的內部收益率。公式為：

$0=CF_{0}+{frac{CF_{1}}{(1+MWR)^1}} +{frac{CF_{2}}{(1+MWR)^2}}+…+{frac{CF_{N}}{(1+MWR)^N}}$

貨幣加權收益率近似等於收益額除以平均佔用資金。

例：Lewis今年初(t=0)購買了價格為$100股票，在今年年末(t=1)，他購買了另一支價格$120的股票，在第二年末(t=2)，Lewis將兩支股票賣出，賣出價一共$260。同時他所買的股票在每個持有年末會進行$2的股利分紅。請問賬戶的貨幣加權回報率為多少？

首先列出時間線上的現金流：

t=0：購買第一支股票=-$100

t=1：購買第二支股票+第一支股票分紅=-120+2=-$118

t=2：賣出兩支股利+第一支股票分紅+第二支股票分紅=260+2+2=$264

其次，計算現金流的IRR。IRR是使NPV等於0(支出現值等於回報現值）的收益率。

$PV_{inflow}=PV_{outflow}$

$frac{264}{(1+r)^2}=100+frac{118}{(1+r)}$

通過反覆試算得出IRR。

或使用計算器：CF0=-100，CF1=-118，CF2=264，IRR，CPT=13.86

賬戶的貨幣加權回報率為13.86%。

兩個幾乎相似的案例，時間加權回報率為15.84%，貨幣加權回報率為13.86%，產生差異的原因是時間加權回報率受第二年的現金流影響拉低了收益率。

銀行折現收益率、持有期收益率、有效年收益率、貨幣市場收益

持有其收益率不能用於決策時的橫向比較，所以在評判一些投資工具的時候，會參考銀行折現收益率、有效年收益率、貨幣市場收益率這些因素，當然這些收益率都是圍繞HPR展開的。

1、銀行折現收益率(BDY,bank discount yield)

監管要求純貼現工具（一年期以內投資工具：如國庫券、商業匯票、銀行承兌票據）以銀行折現收益率報價，計息天數為一年360天，且不計複利。BDY相當於貼現打折的年化，銀行折現收益率計算公式如下：

$r_{BD}=frac{D}{F} imesfrac{360}{t}$

其中：r(BD)為基於銀行貼現基礎的年收益；D為金錢的折扣，即面值與買價之差；F為票麵價值； t為距離到期時間；360為慣例使用天數

例：Lewis購買了面值為$100,000，價格為$98,500的國庫券，國庫券還有120天到期，請問國庫券的銀行折現收益率是多少？

$r_{BD}=frac{D}{F} imesfrac{360}{t}=frac{100000-98500}{100000} imesfrac{360}{120}=0.045$

國庫券的銀行折現收益率為4.5%。

在上述例子中，4.5%的報價不一定是到期的真實收益，產生差異的地方在於三各方面：

1、銀行折現收益率按年計算，銀行法計息慣例時間為360天而不是365天。2、沒有考慮複利情況，如果半年付息一次，真實利率顯然高於4.5%。3、銀行折現收益率是基於面值計算而不是買價，但實際收益情況應該考慮具體投資金額。

2、持有期收益率(HPR=HPY=holding period return/yield)

持有期收益率之前提到過，指的是投資者從購入到賣出這段期限里所能得到的總收益率，所以持有期間的股利、分紅也應考慮在內，公式為：

$HPR=frac{P_1-P_0+D_1}{P_0}=frac{P_1+D_1}{P_0}-1$

其中：P0是最初價格；P1是到期價格；D1是期間收入(利息)

例：Lewis購買了面值為$100,000，價格為$98,500的國庫券，國庫券還有120天到期，請問國庫券的持有期收益率是多少？

$HPR=frac{Ending Value+CashFlowReceived}{BeginningValue}-1=frac{100000}{98500}-1=0.0152%$

持有期收益率為1.52%。

3、真實年收益率(EAY=EAR=effective annual yield/return)

真實年收益率是基於365天的計息來計算的年複利率，公式與金融數量分析（一）講到的真實年利率公式看起來不一樣，其實是一個意思：

$EAR=(1+HPY)^{365/t}-1$

例：一個還有120天到期，持有期收益率為1.5228%的證券的真實年收益率為多少？

$EAR=(1+HPY)^{365/t}-1=(1+0.15228)^{365/120}-1=0.047042$

真實年收益為4.7%。

據此公式我們可以還實現EAR和HPY的相互推導：

$HPY=(1+EAR)^{t/365}-1=0.047042^{120/365}-1=0.015228$

4、貨幣市場收益率(money market yield or CD equivalent yield)

貨幣市場收益率是指年持有期收益率在360天周期內的收益率，貨幣市場收益率適用於貨幣市場工具(短期)的收益率表達，以360天為計算周期，不考慮複利情況，公式為：

$r_{MM}=HPY imes(360/t)$

前面介紹過的銀行折現收益率(BDY)也是以360天為計算周期，不考慮複利情況，如果給定銀行折現收益率，通過推導，看看二者有什麼聯繫：

BDY公式為： $r_{BD}=frac{D}{F} imesfrac{360}{t}$

HPY的公式為： $HPR=frac{P_1-P_0+D_1}{P_0}$

用BDY與HPR的關係推導：

$r_{BD}=frac{P_1-P_0+D_1}{P_0+D_1} imesfrac{360}{t}Rightarrowfrac{(P_1-P_0+D_1)/P_0}{(P_0+D_1)/P_0} imesfrac{360}{t}$

$Rightarrowfrac{HPY}{1+HPY} imesfrac{360}{t}Rightarrow{HPY}=frac{1}{frac{360}{t imes{r_{BD}}}-1}$

因為 $r_{MM}=HPY imes(360/t)Rightarrow{r_{MM}=frac{1}{frac{360}{t imes{r_{BD}}}-1} imesfrac{360}{t}}$

最終推導出BDY和r_{MM}的關係公式： ${r_{MM}=frac{360 imes{r_{BD}}}{360-(t imes{r_{BD}})}}$

HPY和BDY的關係公式為： $HPY=frac{frac{n}{360} imes{BDY}}{1-frac{n}{360} imes{BDY}}$

例：還有120天到期，銀行貼現收益率為4.5%的證券的貨幣市場收益率為多少？

${r_{MM}=frac{360 imes{r_{BD}}}{360-(t imes{r_{BD}})}}={frac{360 imes{0.045}}{360-(120 imes{0.045})}}=0.04569$

同樣的，我們也可以運用HPY來計算貨幣市場收益率。

真實折扣率=BDY*(120/360)=0.045*(1/3)=1.5%，以$1000的的票麵價值為準。

$r_{MM}=HPY imes(360/t)=frac{1000}{1000-(1000 imes0.015)} imes(360/120)=0.04569$

貨幣市場收益率為4.569%。

5、債券等值收益(BEY,bond equivalent yield)

債券的付息周期一般半年一次，所以債券等值收益等於2*半年的折現率。

公式為： $BDY=[sqrt{(1+EAY)}-1] imes2$

例1：一個3月期的貸款的持有期收益為2%，求債券等值收益。

首先要計算半年的折現率，再乘以2。半年的折現率應該是複利形式，求半年的真實收益率：

(1+0.02)2-1=4.04%

4.04%*2=8.08%

債券等值收益率為8.08%。

例2：求真實年收益為8%的債券等值收益率。

首先計算半年的折現率，再乘以2。

$sqrt{(1+0.08)}-1=$ 3.923%

3.923%*2=7.846%

債券等值收益率為7.846%。

持有期收益率、有效年收益率、貨幣市場收益的互相轉換

當確定HPY、EAY、 $r_{MM}$ 中的任何兩個，便可求出第三個值。

1、HPY是投資者的貨幣市場工具持有到到期(賣出)後的收到的總回報。2、EAY是HPY基於365-day一年含複利的年收益。3、貨幣市場收益率是基於360-day一年的不含複利的年收益。

例：假設Lewis購買了面值為$100,000的國庫券，買價為$98,000，還有150天到期。經紀商報價的貨幣市場收益為4.898%，計算並轉換它的EAY、HPY、 $r_{MM}$ 。

首先我們來看HPY的直接計算公式：

$HPY=frac{P_1-P_0+D_1}{P_0}=frac{P_1+D_1}{P_0}-1=frac{100000-98000}{98000}=0.02041$

根據HPY求出 $r_{MM}$ ：

$r_{MM}=HPY imes(360/t)=0.02041 imes(360/150)=0.04898$

根據HPY求出EAY：

$EAY=(1+HPY)^{365/t}-1=(1+0.02041)^{365/150}-1=0.05039$

在三個收益率的推導中，HPY是推導的中轉，在EAY和MMY的推導中，先換算HPY，再計算另一個收益率。

錯題：

1.An investor buys one share of stock for $100.At the end of year one she buys three more shares at $89 per share.At the end of year two she sells all four shares for $98 each.The stock paid a dividend of $1.00 per share at the end of year one and year two.What is the investor』s time-weighted rate of return?

A.11.24%
B.6.35%
C.0.06%

錯誤原因：第二年期初的單位價值應該是89，而不是89+1，1的股利不應該計入股價。

2.Which of the following is most accurate with respect to the relationship of the money-weighted return to the time-weighted return? If funds are contributed to a portfolio just prior to a period of favorable performance,the:

A.money-weighted rate of return will tend to be elevated
B.time-weighted rate of return will tend to be elevated
C.money-weighted rate of returnwill tend to be depressed

The time-weighted returns are what they are and will not be affected by cash inflows or outflows.The money-weighted return is susceptible to distortions resulting from cash inflows and outflows.The money-weighted return will be biased upward if the funds are invested just prior to a period of favorable performance and will be biased downward if funds are invested just prior to a period of relatively unfavorable performance.The opposite will be true for cash outflows.

錯誤原因：TWR和MWR特性混淆，MWR受現金流影響，在業績較好的時候，現金流量大會使MWR抬升。

3.On January 1,Jonathan Wood invests $50,000.At the end of March,his investment is worth $51,000.On April 1,Wood deposits $10,000 into his account,and by the end of June,his account is worth $60,000.Wood withdraws $30,000 on July 1 and makes no additional deposits or withdrawals the rest of the year.By the end of the year,his account is worth $33,000 The time-weighted return for the year is closest to:

A.5.5%
B.7.0%
C.10.4%

January-March return=51,000/50,000-1=2.00%

April-June return=60,000/(51,000+10,000)-1=-1.64%

July-December return=33,000/(60,000-30,000)-1=10.00%

Time-weighted return=[(1+0.02)×(1-0.0164)×(1+0.10)]-1=0.1036 or 10.36%

錯誤原因：本來是一年內的HPR，不需要開3次方。