第11講：唯一矩形（基本構型）

今天來看一下新的技能。這個技能需要建立於每一個數獨題目都只能有唯一的一種填法的這樣的一個說法之上。

不過結構的原理比較複雜，希望你能夠耐心細緻地閱讀完。

Part 1 標準型（UR Type 1）

如圖所示，這個結構絕對讓你眼前一亮。

有人說，這個結構好像是數對啊，之前不是講過一種叫顯性數對的東西嗎？對沒有錯，這個跟數對很相似，但邏輯卻不同。

如果我們暫時不看r9c4(9)，先當它不存在。於是乎，你就會發現一個神奇的現象：在r79c47這四格上，全部只有候選數2和3。那麼，這意味著，r79c47所在的區域上（所在區域有：r79、c47、b89，注意b89別漏掉了），都會受到數對的影響，得到刪數。比如r79c4(23)則可以刪除c4和b8內的其餘單元格的2和3。

接著，我們來思考一下。如果刪了，r79c47四格以外的其餘空單元格，除了刪了2和3之後，還是照樣沒有其他的變動；而這四格就很神奇了。數對內部只有兩種填數情況：要麼自己填2，對面填3；要麼自己填3，對面填2。所以，這四格既然都是這樣的，那必然只能產生如下兩種填數狀況。

+-----++-----+| 2 3 || 3 2 || 3 2 || 2 3 |+-----++-----+

沒毛病！那麼，我們這麼去想問題：如果說，既然這麼兩種填法都是這樣四格的內部填數情況，而剛好，對於其餘單元格下，除了數對刪數外，其餘候選均不會發生任何變動。那不就意味著，這四格就有兩種填數方法，而剩餘盤面完全一致，豈不是就兩個填法了？對呀，因為這樣兩種填法，除了對應區域上的2和3會被刪掉外，對剩餘盤面就沒有其餘的任何影響了，這樣就說明這四格是可以互換的、並且等效的兩種填數情況，其中一種填法對，那另外一種肯定也是對的。

那如果盤面繼續往下做，一個唯一答案的題目，怎麼可能允許兩種填數方式完全不同卻不會影響剩餘盤面的結構存在呢？所以，這樣的結構必然不可以存在。因此，最開始的假設，即那個9也就不應該被忽視掉，它才是重中之重！因此，我們可以得到r9c4=9的特別情況。

如果說，你想像能力不夠的話，我也提供一份已經填好2和3兩種情況的兩個盤面，拿給你對照一下：

這兩個圖，你可以對照來看，兩種不一樣的填法，最後的結局都是導致剩餘的單元格「長相」全一樣。

當然了，如果r9c4還有非2和3的其餘候選數的話，那麼就應該說明，這裡的2和3以外的其餘候選數，至少都得有一個是正確的：如果全都不是的話，那就說明可以填2和3咯，那不就形成之前說的矛盾的結構了嗎？所以一個通用的結論就是：r9c4<>23。

這個結構被稱為唯一矩形（Unique Rectangle），並簡稱UR。這裡的「唯一」一詞，指的是結構必然只能有一種情況，使得最後的盤面也只能是唯一答案；當然了，你叫它「唯一長方形」也沒毛病，只是呢，術語用的「矩形」一詞。另外，這樣會導致內部填數出現多種（2種甚至更多），但不會對剩餘盤面造成其他影響的結構，我們稱為致命結構（Deadly Pattern），而唯一矩形就屬於致命結構的其中一種，而形成了「對剩餘盤面不造成其餘影響、長相全一樣」的效果的形式，稱為形成了致命形式。那麼，上面的結構被稱為基本結構，所以也叫唯一矩形的標準型，而英文則直接叫Type 1（類型1）。

Part 2 原理進一步剖析

那麼，考大家一個問題。如果這個結構的四個頂點，分屬於四個宮內（之前的結構只存在於b89，所以稱為「分屬於兩個宮內」），那唯一矩形結構的使用還成立嗎？

不可以的哈。根據剛才的證明思路和過程，比如這個題：

這個題四個頂點就分屬四個宮內（b1379）。但是，這樣內部的填數互換起來，就和剛才的不太一樣了：

你會發現，這樣對照起來，你就看得到，b1379內其餘單元格的填數情況是完全不一致的。這就意味著，這個結構並不是唯一矩形。所以，唯一矩形一定分屬於兩個宮內，分屬於四個宮的結構一定不是唯一矩形。

Part 3 區塊組型/待定數型（UR Type 2）

如圖所示，這個結構就是剛才的結構的拓展版。我們可以看到，如果r8c13(5)都沒有了的話，r38c13就會構成關於3和9的唯一矩形，至於推導過程這裡就不再過多重複了哈。反正就是有3和9的數對，然後結構涉及的區域r38、c13和b17內，都會有這樣的39顯性數對，於是乎，這個結構內就有兩種「互換」的填數情況，但都對其餘單元格不造成除了3和9外的任何刪數或出數影響，這樣來違背唯一解的說法的。因此結構不允許存在，故兩個5（r8c13(5)）至少有一個5是格裡面應該填的數。

那麼，不管哪一個格是5，這兩個5就形成了一種類似於區塊組的結構，那麼，b7和r8其餘單元格都不應該有5的出現了，所以，r7c3, r8c7, r9c1<>5。

另外，這樣的結構稱為區塊組型、待定數型或直接稱為類型2（Type 2）。這裡的待定數就指的是這裡的數字5。

Part 4 待定數組型（UR Type 3）

如圖所示，如果r7c2(6)和r7c3(7)同時從盤面上消失，那麼結局是什麼呢？結局就是r47c23會形成唯一矩形致命的形式。但是，r7c2(6)和r7c3(7)又不能同時都填進去。如果同時都填進去，即r7c2=6的同時r7c3=7，這樣會明顯導致r7c5沒有數字可填，這樣就違反了數獨的填數規則，所以，r7c2(6)和r7c3(7)，有且僅有一個數是最終正確的。

然後呢？然後看剛才的r7c5啦。如果r7c2(6)和r7c3(7)只有一個是對的，那不管是6對還是7對，都會和r7c5形成數對結構嘛。有人會說了，數對還能這麼用？當然了，同一個區域下，兩個格內只有兩種不同候選數，不就叫數對嘛。即使r7c2(6)對還是r7c3(7)對，始終都是針對於數字6和7的情況，而恰好，隔壁r7c5這個單元格就需要接納一個關於6和7的單元格來構成數對。不管是只有6或7的其中一個候選數的單元格，還是有6和7兩個候選數的單元格，依然是一種「數對」，但數對結構並不確定，只能確定其中一格，另一格則確定不了到底是r7c2還是r7c3，所以我稱它為待定的數對。

那麼最後的結論呢，就是r7c8<>7了。

這個結構稱為待定數組型，或者直接叫類型3（Type 3）。嚴格來說，它是一種顯性數組。當然了，還有更大結構的例子。

那麼，怎麼推導的，這裡就不再詳細地解釋了，簡單說一下：如果r4c4(7)和r6c4(1)同時從盤面上消失，則唯一矩形結構會形成關於4和9的致命形式；但r4c4=7且r6c4=1的時候，則r5c4和r9c4兩個單元格上，填數就會出現錯誤：都只能填2。所以r4c4(7)和r6c4(1)有且僅有一個是最終正確的。

不管是哪個最終正確，最終配合r59c4，形成關於數字1、2、7的顯性三數組結構。所以，最終的結論則為r8c4<>1。

所以，帶有顯性待定數組的結構，我們稱之為顯性待定數組型，或類型3A（Type 3A）。

數組還分顯性和隱性的，所以配合的待定的數組結構同樣也有隱性的，再帶著大家看一則隱性待定數組的示例。

如圖所示，這個示例就得反過來看了：r1c78這兩個單元格有且僅有一格只有候選數4和8：如果兩格都只有4和8，必然形成關於4和8的數對，那配合下面r8c78(48)，就over了，就致命了；但是都沒有4和8的話，好像也不對，因為r1之中，填入4和8的地方，就會產生矛盾：4沒有位置可以填了。

所以，r1c78是只能有其中一格只有候選數4和8的。那麼，這樣一來，結構就清晰多了。觀察r1，r1隻有一格含有4和8的候選數，這樣一來，4和8就只能填入到這兩個單元格內了，誒恰好就構成了隱性數對形式。所以按照隱性數對的方式考慮，針對於r1c6而言，它應該是固定的，而隱性數對剩下的另一格，則是r1c78的其中之一，這我們無法確定。所以，結論應該是刪除r1c6裡面所有非4和8的候選數，所以，r1c6<>6。

當然，顯隱性互補，大家都應該是知道的，這一點在前面介紹過啦。那麼你也可以用互補的角度去看，這裡有一個帶有一個待定的顯性四數組1267的結構哦。

那麼，帶隱性的呢，就被稱為隱性待定數組型，或類型3B（Type 3B）。

Part 5 共軛對型（UR Type 4）

如圖所示，這個結構厲害了，刪的數字不是跟結構無關的數，而就是本身內部的數字。

首先，我們能夠觀察到的是，r4c15兩格是一個關於2和7的顯性數對結構，這說明兩格只可能是2和7了；接下來，我們發現r5上，填2的位置只可能是r5c15，而且還是有且僅有一格是2。那麼，由於上面是只能填2和7的，而且下面r5c15里有一處已經是2了，那四格裡面，最後剩下的唯一一個單元格，就一定不應該是7。換句話說，r5c15里一旦任意一格是7，那對應的另外一格就一定只能是2（因為2的位置只可能在r5c15內），再加上上面的27數對，所以這樣就一定會構成關於2和7的致命形式。所以，r5c15<>7。

這種刪除方式更加新奇。它利用了2的填數情況只能位於結構內部的特性，得到了致命形式，從而排除了這麼一個假設。這裡要介紹一個術語：共軛對（Conjugate Pair）。共軛對指的就是這裡的這個r5的這倆數字2。

共軛對的定義是：在同一區域下，只有兩處可填某一個候選數的單元格下的這兩個相同的候選數；或是同一個只有兩個候選數的單元格下的這兩個不同的候選數。

解釋起來有點複雜，說白了就是：因為r5上只有兩處可填2的位置r5c15，所以r5c1(2)和r5c5(2)就是共軛對。

共軛對的特徵是，兩個數有且僅有一個正確。這一點希望你記住，不止是這一節才會用到，後面鏈以及更靠後的地方，也會使用到這一個特徵。

下一節依然是唯一矩形，不過下一節的內容，則會介紹到，這些基本類型的拓展版。

Part 6 總結

這一節是針對講到的技巧做的一個統一的難度歸納和理論分析。

• 唯一矩形標準型
• 英文名：UR Type 1
• 難度係數：4.5
• 命名空間：Tech.DP.Basic.One
• 唯一矩形區塊組型
• 英文名：UR Type 2
• 難度係數：SER 4.5，XR 4.6
• 命名空間：Tech.DP.Basic.Two
• 唯一矩形顯性待定數組型
• 英文名：UR Type 3A
• 難度係數：4.4 + 待定數組規格 × 0.1
• 命名空間：Tech.DP.Basic.Three.Naked
• 唯一矩形隱性待定數組型
• 英文名：UR Type 3B
• 難度係數：SER 4.3 + 待定數組規格 × 0.1，XR 4.5 + 待定素組規格 × 0.1
• 命名空間：Tech.DP.Basic.Three.Hidden
• 唯一矩形共軛對型
• 英文名：UR Type 4
• 難度係數：SER 4.5，XR 4.6
• 命名空間：Tech.DP.Basic.Four

註：SER（Sudoku Explainer Rating），SE評分制度，指的是軟體測定的難度係數標準，目前作為技巧的難度分析的標準之一；而XR（XiangProgram Rating），向軟評分制度，指的是為了統一規範化所有技巧，對SER體系做了優化後的新版難度係數標準。當SER和XR難度係數不一致時，會給出兩種不同的標準；如果相同時，則只寫一個。後同。

使用到的術語：

• 共軛（鏈內術語）
• 英文名：Conjugate in Chain
• 解釋：在同一行、列、宮下，有且僅有一個正確的兩個相同候選數，或是同一個單元格內，有且僅有一個正確的兩個不同候選數。
• 共軛對
• 英文名：Conjugate Pair
• 解釋：在同一區域下，只有兩處可填某一個候選數的單元格下的這兩個相同的候選數；或是同一個只有兩個候選數的單元格下的這兩個不同的候選數。

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