金融數量分析（一）

02-12

貨幣的時間價值（TVM）

Lewis今年投資了100元，因為利息（10%）的存在，他在第二年獲得110元。隨著時間過去，貨幣的價值提升。錢生錢，是貨幣具備時間價值的本質。

這是具備投資機會（有利息）的情況，如果Lewis把現金藏在保險柜里，時間價值也就無從談起。從投資的角度來講，應該默認時間價值的存在，今年的100元，確與明年的100元價值不同，在相同面值情況下，現在的貨幣要更值錢。

複利（Compound Interest）

複利是對本金及其產生的利息一併計算，也就是利上有利。

例1：美凱龍(601828)於2018年1月17日發行上市，發行日收盤價為￥14.73，請問此後股票連續10個漲停，股價是多少？

$14.73（1+0.1）^{10}=￥38.20$

複利情況的計算公式： $F=P（1+i）^{n}$

其中：F=期末值 P=期初值 I=利率 N=周期

例2：美凱龍(601828)漲停之後，在￥38.20的基礎上，再連續十個跌停，股價為多少？

十個漲停接著十個跌停，股價是否會回到原處（￥14.73）？

$F=P（1+i）^{n}=38.20（1-0.1）^{10}=￥13.32$

使用公式計算結果，二者差了10%左右的價格。

股市裡不單獨有複利這種好事，也有復跌這種壞事。當價格基數越來越高，趨勢逆轉向下的時候，高價格的向下復跌會讓虧損變大；當基數越來越低，在趨勢逆轉向上的時候，因為價格基數低，所以需要更多的上漲才能回到原來的位置。

現值（present value）和終值（Future value）

現值和終值，從字面上理解是：現在的值與將來的值，期初的值與期末的值。

例1：Lewis博彩獲得$10,000大獎，彩票公司給出兩種付款方案：a、立刻向Lewis兌現$10,000；b、5年後給Lewis$14,200。假設無風險利率為7.8%（市場上的無風險投資收益），Lewis應接受哪個方案？

現值與終值能幫我們比較兩個方案的收益區別，做理性的判斷：

根據現在的價值和利率，計算未來的價值。這種方式叫做求終值。終值的計算公式與複利一致： $FV=PV（1+I/Y）^{N}$

其中：FV為終值；PV為現值；I/Y為利率（每段複利周期的回報率）；N為周期（複利周期的期數）

相反的，根據未來的價值和折回利率，計算現在的價值。這種方式叫做貼現/求現值。現值的計算公式為：

$PV=frac{FV}{(1+I/Y)^{N}}$

其中：I/Y為折現率（discount rate）（折現率通常也指利率（interest rate），術語可以轉換使用）（每段複利周期的回報率）

回到例題中，比較兩種方案的現值：

a、立刻給Lewis兌現$10,000； b、5年後給Lewis$14,200。

$PV_{a方案}=$10,000$ （立刻兌現$10,000，現值=$10,000）

$PV_{b方案}=frac{FV}{(1+I/Y)^{N}}=frac{14500}{（1+0.078）^{5}}=$9,960.34$ (5年後的終值，按照折現率7.8%折現)

通過現值比較， $PV_{a}>PV_{b}$ ，在7.8%的無風險利率情況下，Lewis直接獲得$10,000是利益最大化的選擇。

從終值的角度來說，第2年$10,000以7.8%的五年複利也會增值到$14,557，最後收益高於方案b。

例2：Luigi的公司近五年銷售額分別為（百萬元）：4.5 , 5.7 , 5.3 , 6.9 , 7.1，請問公司五年銷售額的增長複利率是多少？

如果是普通的增長率，7.1/4.5-1=57.78%即可求出。

考慮複利情況，計算方式應為： $sqrt[4]{{7.1div4.5}}-1=0.1208$

例題本質是現值/終值應用中求利率的問題： $FV=PV（1+I/Y）^{N}=4.5 imes（1+i）^{4}=7.1$ ， $i$ 即增長複利率。

計算器（BAII Plus）操作為：FV=7.1，PV=4.5，N=4；CPT；I/Y=12.08%

現金流(cash flow)和時間線(time line)

現金流是一定期間內，產生的資金流入和流出及其總量情況的總稱。

例：liugi為公司設計了一個項目，只需要在現在投資$1000，隨後的五年內，每年年末可以收到$300的回報。

這個項目涉及到6筆現金流，畫一個時間線能幫我們理清TVM問題，這樣一來項目每年的收支情況都能直觀表述，在求某個時點的現值或終值時會比較方便：

期初投資（支出）1000，未來每年末獲得300收益，持續5年

要注意的是，時間線的現金流出現在期末，也即是說，第二年（t=2）的期末是第三年（t=3）的期初。所以第三年期初的現金流出現在T=2的時間線上。

利率(interest rate)的構成

利率是利息額與本金的比率，所謂利率，或者說要求的回報率，是考慮了資產的風險後，對投資所要求的最低限度的預期回報率。

它代表了資產投資的機會成本，即在其他地方進行風險水平相似的投資可以獲得的最高水平的預期回報率。作為資產投資的機會成本，要求回報率代表了合理補償資產風險的價值門檻。

所以，利率的構成為：

名義利率（nominal risk-free rate）+各類風險溢價（preminms）

其中：

名義利率=真實無風險利率(real risk-free rate)+通貨膨脹預期利率(expected inflation rate)

真實無風險利率是一個沒有通脹預期的單周期借款利率，通常以國債利率為準。通貨膨脹預期利率即字面意思，因預期通貨膨脹而調整的利率。

同時，有價證券（securities）有一種或多種類型的風險，風險類型有三種：

違約風險（default risk）：借了錢不還。流動性風險（liquidity risk）：在快速變現過程中因流動性低導致接受不公的價格。到期風險（maturity risk）：長期債券因為周期時間長而具備更高的不穩定性。與這些風險對應的溢價即為違約風險溢價，流動性溢價，到期風險溢價。

細化來看，利率的公式為：

證券要求的回報利率（required interest rate on a security）＝名義利率＋違約風險溢價＋流動性溢價＋到期風險溢價

真實年利率（effective annual rate），名義年利率（stated annual rate），複利周期(frequency of compounding)

通常金融機構的利率報價都是名義年利率，考慮到周期，名義年利率不能作為投資收益的真實參考。

例：Luigi大銀行報出的某金融產品利率為8%，季度付息，產品的實際年利率是多少？

複利周期＝4，每期利率為8%／4=2%。

所以實際年利率為： $（1+frac{0.08}{4}）^{4}-1=0.0824$ =8.24%

也就是說，如果儲戶年初投資$10,000，年末他將獲得$10,824，而不是$10,800。

實際年利率計算公式為： $EAR=(1+r/m）^m－1$

ERA(effective annual rate)，r為名義年利率，m為複利期數。

EAR會隨著複利周期期數增多而上升（我們分期付款期數越多，付出的實際利率越高）。

還有一種連續複利的情況，即每時每刻都在複利，這種複利方式在現實中很少見，計算公式為： $e^r-1$

r為名義年利率。

不同複利周期的計算

上個例題可以看出，如果複利周期不同，現金流的有效利率會不一致，所以對應的現值、終值都會不同。

例：在不同的周期，投資$1,000元，6%年利率的信息結果如下：

期數越多，實際利率越高，終值上升，現值下降

普通年金（ordinary annuity），遞延年金（Deferred Annuity），先付年金（annuity due ），永續年金（perpetuity），不規則現金流（Uneven cash flow）

年金應用最廣的兩個方面，是抵押按揭（mortgages）和退休計劃（retirement）。

抵押按揭指一段時間內定期定量支付現金，直至付清。退休計劃有兩個方面，一是在退休之前定期定量存入資金，二是在退休之後定期定量取出資金。

1、普通年金

年金的定義是在相同時間間隔出現的一系列相等的現金流，即等額，定期的系列收支。普通年金是最普遍的年金，它的現金流出現在每期期末，所以又稱後付年金。

例1：Lewis找到一個年利率為7%的產品，決定在每年末投資$150，15年後能他得到多少錢？

這是一個定投問題，也可以看做一個普通年金問題，在定期定量的投資過程中，年金終值實際上等於每期期末現金流終值之和，涉及到複利和固定現金流，公式為：

$FV=A+A(1+i)^{1}+A(1+i)^{2}+...+A(1+i)^{n－1}=Acdotsum_{t=1}^{n}{(1+i)^{n-1}}$

其中：FV為終值，A為每期固定現金流，i為利率，n為年金期限

通過推導，年金終值最終計算公式為：

$FV=A imesfrac{(1+i)^{n}-1}{i} ＝150 imesfrac{(1+0.07)^{15}-1}{0.07}=$3,769.35$

計算器的步驟為：PMT=-150，N=15，I/Y=7，CPT，FV=3769.35。

如果概念模糊不清，畫一個時間線來幫助梳理：

Lewis在未來的15年中，每年末投入$150，產品年利率為7%，15年後將得到$3,769.35

例2：Lewis預計未來的婚禮需花費$100,000，他打算在8年之內存夠，假定他的存款賬戶（投資賬戶）年利率為10%，每年末需固定存入多少錢？

從題幹得知，8年後的終值（FV）為$100,000，求的是每期的存款A（payment），利率為10%（i）。

$FV=Acdotsum_{a}^{b}{x}=A imesfrac{(1+i)^{n}-1}{i}＝A imesfrac{(1+0.10)^{8}-1}{0.10}=$100,000$ 得出A=$8,744.40

計算器的步驟為：FV=100000，I/Y=10，N=8，CPT，PMT=-8744.40

Lewis每年末需固定存入$8,744.4。

例：Lewis投資了一個面值€1000，息票利率為7%的五年期債券。每年他將獲得€70的收益，在債券到期後，再獲得€1000本金。如果折現率為8%，這個債券的現值應為多少？

這個問題也可以通過年金計算方式解答，定期定量的現金流（€70）有5次，第五年期末額外獲得€1000本金。

我們先計算5次現金流的現值，上個例子提到，年金終值等於各期現金流終值之和；對應的，年金的現值也就等於各期現金流貼現之和（係數不再是n-1），公式為： $PV=A imessum_{t=1}^{n}{frac{1}{(1+i)^{n}}}=frac{A}{(1+i)^{1}}+frac{A}{(1+i)^{2}}+…+frac{A}{(1+i)^{n}}$

通過推導，年金現值計算公式為： $PV=A imes[frac{1}{i}-frac{{1}}{i(1+i)^{n}}] ＝70 imes[frac{1}{0.08}-frac{1}{0.08 imes(1+0.08)^{5}}]=€279.3$

額外的，我們計算一筆第5年€1000的現值：

$PV=frac{FV}{(1+I/Y)^{N}}=PV=frac{1000}{(1+0.08)^{5}}=€680.58$

把求出的現值加和：

$PV_{face value}+PV_{annuity}=680.53+279.3=€ 959.83$

通過計算器可以直接算出債券的現值：PMT=70，N=5，I/Y=8，FV=1000，CPT，PV=-960。

在到期收益率為8%的情況下，此債券的現值為€959.83。

2、遞延年金

遞延年金是指第一次收付款發生時間與第一期無關，而是隔若干期（m）後才開始發生的系列等額收付款項，又稱為延期年金。

例：Lewis的投資賬戶年回報為9%，如果Lewis想在三年後開始每年從賬戶取出$100，持續4年，請問今年賬戶內的頭寸至少應為多少？

從題干分析，年金的發生出現在三年之後，在三年之前是複利問題；三年之後是年金問題。

分成兩個部分解題，第一部分，求出第2年年末的終值，也就是4年期年金的現值。第二部分，求出今年（t=0）的現值。

年金現值最終計算公式為： $PV=A imes[frac{1}{i}-frac{{1}}{i(1+i)^{n}}] ＝100 imes[frac{1}{0.09}-frac{1}{0.09 imes(1+0.09)^{4}}]=$323.98$ 計算器：PMT=-100，N=4，I/Y=9，CPT，FV=323.97。

根據第二年(t=2)終值求今年的現值，公式為： $PV=frac{FV}{(1+I/Y)^{N}}=PV=frac{323.98}{(1+0.09)^{2}}=$272.68$

計算器：FV=323.98，N=2，I/Y=9，CPT，PV=-272.68。

如果Lewis想在3年後每年能取出$100，取4年後取完，今年賬戶內的頭寸應為$272.68。

3、先付年金

區別於普通年金（後付年金），先付年金的第一筆現金流出現在期初，推算下去，相同周期內，先付年金要比普通年金多一期現金流。簡單表達為：

$FVA_{due}=FVA_{ordinary} imes(1+I/Y)$

$PVA_{due}=PVA_{ordinary} imes(1+I/Y)$

例1：Lewis今天在銀行存入了$1,000，同時打算在後面三年的每年期初也存入$1,000，銀行存款利率為6%，請問六年後，他賬戶里有多少錢？

這道題也分為兩個部分，一是4年期先付年金的終值，二是2年期複利。

畫出時間線如下：

計算器切換到【BGN】模式，輸入N=4，I/Y=6，PMT=-1000，CPT，FV=4637.09

第二部分，以第四年末的金額為現值，求第六年末的終值，兩個計息周期。

計算器為：N=2，I/Y=6，PV=-4637.09，CPT，FV=5210.23

第六年，Lewis賬戶里有$5,210.23。

PS:先付年金現值也有最直接的計算公式：

例2：Lewis投資了一個三年的先付年金，從現在起每期投資$100，年金利息為10%（折現率），請問年金的現值為多少？

啥也別多說，先畫圖：

兩種方法可以解題：第一種使用計算器，比較方便。

切換到【BGN】模式，輸入N=3，I/Y=10，PMT=-100，CPT，PV=273.55

第二種在普通年金的基礎上多乘一期利率：先求出普通年金的值，值為248.68，然後乘（1=I/Y）。

$PVA_{due}=PVA_{ordinary} imes(1+I/Y)$

PV=248.68*1.1=273.55

PS：先付年金現值也有最直接的計算公式：

年金現值為$273.55。

4、永續年金

永續年金指的是沒有支付期限的年金，即一系列沒有到期日的現金流，所以它沒有終值。它是普通年金的特殊形式，即期限趨於無窮的普通年金。

例：Luigi賽車公司發行的優先股的股利為每年$4.9，經過高層確定，未來每年都將分配股息。假定投資回報為8%，請問Luigi賽車公司優先股今天是什麼價格？

從題干中得知：I/Y=8%，PMT=4.9，N= $infty$

概念指出，永續年金是期限趨於正無窮的普通年金，所以普通年金的公式也適用於永續年金。

$PV=A imessum_{t=1}^{n}{frac{1}{(1+i)^{n}}}=frac{A}{(1+i)^{1}}+frac{A}{(1+i)^{2}}+…+frac{A}{(1+i)^{n}}$

通過等比數列求和，推導後的普通年金公式為： $PV=A imes[frac{1}{i}-frac{{1}}{i(1+i)^{n}}]$

如果n趨向於無窮大， $frac{{1}}{i(1+i)^{n}}$ 趨向於0，所以永續年金公式為： $PV_{perpetuity}=frac{PMT}{I/Y}$

例題解答為：PV=4.9/0.08=$56.25。優先股的現價為$56.25。

例：Luigi賽車公司發行的優先股的股利為每年$4.9，經過高層確定，在三年之後，每年都將分配股息（也就是說，最近三年內不支付股息）。假定投資回報為8%，請問Luigi賽車公司優先股今天是什麼價格？

題目含有遞延的概念，永續年金實際發生在三年以後。所以解題分成兩個部分，一是永續年金的現值(t=3)，二是第三年(t=3)終值的折現。

首先計算年金的現值為：

$PV_{perpetuity}=frac{PMT}{I/Y}=frac{4.9}{1.08}=$56.25$

在對此值（t=3）進行折現：

$PV=frac{FV}{(1+I/Y)^{N}}=frac{56.25}{(1+0.08)^{3}}=$44.65$

Luigi賽車公司優先股今天的價格是$44.65。

5、不規則現金流

在公司理財問題中，經常會面臨一系列不規則的現金流，如下圖：

毫無疑問它不是年金，沒有一勞永逸的公式可以計算。直覺上的做法是，把每期現金流貼現/複利，得到它的現值/終值。

例：如果利率是10%，計算上述6年期不規則現金流的終值。

運用複利(求終值)公式： $FV=PV（1+I/Y）^{N}$

$FV_{1}=-1000（1+0.1）^{5}=-1610.51$ $FV_{2}=-500（1+0.1）^{4}=-732.05$

……

FV3=0；FV4=4840；FV5=3850；FV6=2000。

注意，求每一筆現金流的終值，是把即期現值向未來複利，所以FV1複利周期是5（N=5），直到FV6複利周期為0（N=0）。

最後把求出來的終值加和，這個系列現金流的現值為： $∑_{individual}=8,347.44$

計算器能更快的得出答案，使用CF-NPV（凈現值）CF-NFV（凈終值）功能，把每一段現金流錄入，輸入利率，即可得出現值/終值。

貸款與分期付款（Loan payment &amortization）類型問題

分期付款/抵押按揭指一段時間內定期定量支付現金，直至付清。

例：Luigi的公司打算向銀行借款$50000用於生產蘑菇，銀行要求9%的年回報，每年年底付款，五年付清。請問每期要還多少？

這其實是類似年金的問題，PV=50000，N=5，I/Y=9；CPT-PMT=$-12854.62

實際上，每一次$12854.62的付款都包含著本金與利息，我們構建一個分期表，可以更清晰的了解付款情況。

借款$50,000，利率9%，5期分期表。

例：Lewis借了$10,000，10%利率的十年期貸款，銀行要求每年付款兩次，在Luigi第二次付款之後，還剩多少本金部分沒有還完？

首先我們計算它的每期付款(payment)，這裡應注意付款周期是一年付款兩次(semiannually)，所以：PV=100000，I/Y=10/2=5，N=10*2=20；CPT，PMT=$802.43

然後我們根據分期表的思路計算第二筆後的本金餘額：

payment 1：利息=10000*0.05=$500 本金=802.43-500=302.43

payment 2：利息=(10000-302.43)-0.05=484.88 本金=802.43-484.88=317.55

第二次付款後的本金餘額=10000-302.43-317.55=9380.02

Lewis還剩$9380.02沒有還完。

為未來債務存錢

教育準備金、養老計劃是典型的一種貨幣時間價值的應用。這類應用表現在兩個方面，一是在某個時點之前定期定量存入資金，二是在某個時點之後再定期定量取出資金。

例1：Luigi打算為兒子存好大學四年的花費，已知重點大學平均學費為$30,000一年，兒子十年後將考入大學，Luigi的存款賬戶（投資賬戶）利率為8%，十年內每年末應存入多少錢？

看起來有點複雜，畫一個時間線來幫助我們梳理：

正負號不需要太多糾結，存和取的符號相反即可。

這道題分為兩個部分，一是四年先付年金（一般來說，學費都是期初付）的現值，二是十年普通年金的PMT（存款）。

通過計算器計算得：【BGN】PMT=-30000，I/Y=8，N=4，CPT，PV=107,312.91。四年先付年金的現值，也是10年普通年金應有的終值。

通過計算器：【END】FV=107,312.91，I/Y=8，N=4，CPT，PMT=-7407.76

Luigi在十年內每年末存入$7,407.76，才能為兒子存好足夠的學費。

例2：Lewis今年35歲，他打算60歲後退休，他預估退休前自己的投資賬戶年收益能做到12.5%，退休後每年10%。Lewis這25年每年末需要存多少錢，才能在退休直到90歲這段時間（30年），每年初提現$25，000？

同樣分為兩個部分，首先確認一筆30年的先付年金現值。

通過計算器：【BGN】PMT=-25000，I/Y=10，N=30，CPT，PV=259240.14。30年先付年金的現值，也是25年普通年金應有的終值。

第二部分，計算25年普通年金的現值。

通過計算器：【END】FV=259240.14，I/Y=12.5，N=25，CPT，PMT=-1800.02

Lewis需要每年末存入$1,800.02，才能在退休到90歲這個階段，每年初取出$25,000。

現值、終值、一系列現金流的聯繫

在前面舉到過的例子中，我們計算後發現，每個現金流的現值之和，等於一系列現金流的現值。每個現金流的終值之和，等於一些列現金流的終值。

一個關於系列現金流現值的解釋是，為了在未來不停取現直至最後一次取現後耗空賬戶，今天應該存入多少錢。

我們計算一個現金流的現值，1,2,3年分別是$100,$200,$300，假設利率為10%，它的現值應等於：

$frac{100}{1.1}+frac{200}{1.1^2}+frac{300}{1.1^3}=$481.59$

換個方式思考，如果我們存$481.59進入一個年收益10%的賬戶，一年後收益為481.59*1.1=$529.75，如果提現$100，將變成$429.75。

第二年，$429.75將會增值為429.75*1.1=$472.73，如果提現$200，將會變成$272.73。

第三年，$272.73將會增值為272.73*1.1=$300，提現$300將耗空這個賬戶。

關於系列現金流終值的解釋是，最後一次存款後，賬戶內有多少錢？

其實這個思路只是幫助我們理解現值，終值，現金流之間的關係，理解即可，不必太過深究。

可加性原則（不規則現金流的快速計算）

例：Luigi購買了一個證券，年利率為10%，證券在四年末給他分別帶來回報：￥100，￥100，￥400，￥100。請問在購買產品的時候，產品是什麼價格？

這道題求的是不規則現金流的現值，正常解法我們需要計算每筆現金流的貼現，但考慮到可加性原則，我們可以拆分現金流為兩條：

cash flow series #1： 100 100 100 100 +

cash flow series #2： 0 0 300 0 =

100 100 400 100

計算第一個系列現值：N=4，PMT=100，I/Y=10，CPT，PV=-316.99（需要忽略負號）

第二個系列現值中，因為第1,2,4年現金流為0，所以現值也為0；第三年現金流為300，計算單筆的貼現： $PV=frac{FV}{(1+I/Y)^{N}}=frac{300}{(1+0.10)^{3}}=255.39$

兩個系列現值相加，即得出這個產品的現值：316.99+255.39=$542.38

Luigi購買產品的時候，價格為$542.38。

錯題：

1、An annuity will pay eight annual payments of $100,with the first payment to be received three years from now.If the interest rate is 12% per year,what is the present value of this annuity?The present value of:

A.a lump sum discounted for 2 years,where the lump sum is the present value of an ordinary annuity of 8 periods at 12%.

B.a lump sum discounted for 3 years,where the lump sum is the present value of an ordinary annuity of 8 periods at 12%.

C.an ordinary annuity of 8 periods at 12%.

遞延年金的現值，計算8期年金後，再進行折現。

錯誤原因：在第三個月開始收到payment，下意識N=3，實際上題目講第三個月已經有payment了，所以前期複利N=2，有2個折現周期。the first payment to be received three years from now。

2、An investor invested $10,000 into an account five years ago.Today,the account value is $18,682.What is the investors annual rate of return on a continuously compounded basis?

A.11.33%

B.12.50%

C.13.31%

考察的的是連續複利，計算回報率後，代入連續複利公式 $e^r-1$ ：

$e^r-1$ =13.31%

$e^r$ =0.1331+1=1.1331

$ln^{1.1331}=0.125$

錯誤原因：對公式的轉換和ln，e 在計算器的用法不熟悉。

3、Optimal Insurance is offering a deferred annuity that promises to pay 10% per annum with equal annual payments beginning at the end of 10 years and continuing for a total of 10 annual payments.For an initial investment of $100,000,what will be the amount of the annual payments?

A.$42,212

B.$25,937

C.$38,375

遞延年金的PMT計算，首先算出前半段的終值，再計算普通年金的payment。

前半段是一個10期的現金流，PV=-100000，N=10，I/Y=10，CPT，FV=259374.25

後半段是一個先付年金，PV=259374.25，N=10，I/Y=10，CPT，PMT=383746.51

錯題原因：後半段忘記切BGN模式。beginning at the end of 10 years。

4、Compute the present value of a perpetuity with $100 payments beginning four years from now.Assume the appropriate annual interest rate is 10%.

A.$683

B.$751

C.$1000

考察的是永續年金現值計算與折現。

首先計算年金現值：100/0.1=1000

再計算3年期的折現：FV=1000，I/Y=10，N=3，CPT，PV=751

錯誤原因：下意識N=4，實際上beginning four years from now，意味著前面的複利只有3年。

5、An investor makes 48 monthly payments of $500 each beginning today into an account that will have a value of $29,000 at the end of four years.The stated annual interest rate is closest to:

A.9.00%

B.9.50%

C.10.00%

考察計算先付年金的利率，及名義利率與持有期利率的轉換。

首先計算年金的利率為：BGN，N=48，PMT=-500，FV=29000，CPT，I/Y=0.7532

如果計算真實利率：(1+0.7532)^12-1=9.5%

計算名義利率=0.7532*12=9.00%

錯誤原因：計算成真實年利率，題目要求是名義利率。 stated annual interest rate 。