淺談beam splitter(分光鏡)

02-12

趁著寫作業的機會把這東西的概念理清一下。

beam splitter其實就是部分反射部分透射的介質。一般是半反射半透射的（通過鍍膜控制反射透射的比例），這樣（在干涉儀中）干涉效果最明顯。

在量子光學意義上，這個東西的物理實質就是光子的彈性散射。在光子穿過分光鏡原子的過程中，有一定振幅發生散射，也有一定振幅不發生散射直接透射過去。於是，一個1（或2）方向入射的光子在通過分光鏡後就變成了3和4方向的疊加態。

光子的彈性散射過程中，因為分光鏡的狀態幾乎不發生改變，因此只需要考慮光子的態空間即可（不像在光子激發原子能級時，必須在光場和原子的張量積空間中考慮問題）。

彈性散射計算過程略。下文直接闡述觀看量子光學的書籍&論文時需要用到的結論。為了產生干涉，上面兩個入射模是同頻率，同偏振方向的。

——————————————————————————————

首先，1方向就是3方向，2方向就是4方向，所以1方向的光子和3方向的光子，對應的是同一個狀態。

假設光場在和鏡子作用前的態為 $|psi_{1,2} angle$ ,作用後的態為 $|psi_{3,4} angle$ 。

那麼鏡子的作用就相當於一個幺正算符 $U$ ，即 $|psi_{3,4} angle=U|psi_{1,2} angle$ 。

寫出電場強度的算符（只考慮兩個波模）：

$hat{E}(r)=izeta(hat{a}_1 e^{ik_1r}+hat{a}_2e^{ik_2r})+H.C.$ （此處及後文的所有 $kr$ 都是矢量內積，為簡單省略了矢量符號）

其中 $zeta$ 是單光子振幅， $a_1,a_2$ 是1，2方向的光子湮滅算符。可以用單模場

$hat{E}_1(r)=izeta hat{a}_1 e^{ik_1r}+H.C.$

$hat{E}_2(r)=izeta hat{a}_2 e^{ik_2r}+H.C.$

把 $hat{E}(r)$ 表示為 $hat{E}(r)=hat{E}_1(r)+hat{E}_2(r)$ .

光場和鏡作用前的平均值為 $langle psi_{1,2}|hat{E}(r)|psi_{1,2} angle$

作用後的平均值為 $langle psi_{3,4}|hat{E}(r)|psi_{3,4} angle=langle psi_{1,2}|U^dagger hat{E}(r)U|psi_{1,2} angle$

我們定義 $hat{E}(r)=U^dagger hat{E}(r)U$

現在不經證明的給出量子光學中關於beam splitter最重要的結論之一：

$hat{E}(r)$ 可以表示為 $hat{E}_3(r)+hat{E}_4(r)$ ,其中 $hat{E}_3(r),hat{E}_4(r)$ 與 $hat{E}_1(r),hat{E}_2(r)$ 的關係和經典情況下出射波和入射波的關係相同。

即（取反射邊界上某點為原點O）：

$hat{E}_3(r)=hat{E}_3(O)e^{ik_1 r}$

$hat{E}_3(O)=rhat{E}_1(O)+that{E}_2(O)$

以及

$hat{E}_4(r)=hat{E}_4(O)e^{ik_2 r}$

$hat{E}_4(O)=that{E}_1(O)-rhat{E}_2(O)$

將先前的公式 $hat{E}_1(r)=izeta hat{a}_1 e^{ik_1r}+H.C.$ 以及 $hat{E}_2(r)=izeta hat{a}_2 e^{ik_2r}+H.C.$ 代入

得 $hat{E}_3(r)=izeta(r hat{a}_1+that{a}_2) e^{ik_1r}$

定義 $hat{a}_3:rhat{a}_1+that{a}_2$ ，則 $hat{E}_3(r)=izeta hat{a}_3 e^{ik_1r}$

同理可定義 $hat{a}_4:that{a}_1-rhat{a}_2$ ,則 $hat{E}_4(r)=izeta hat{a}_4 e^{ik_2r}$

通過簡單計算可以驗證， $hat{a}_3,hat{a}_4$ 滿足升降算符應遵守的對易關係： $[hat{a}_3,hat{a}_3^dagger]=1,[hat{a}_4,hat{a}_4^dagger]=1$

_____________________________________________________

最後寫一下態的變化。

我們以一個比較簡單的入射態作為例子：在1方向有一個光子，在2方向沒有光子的態 $|1 angle_1|0 angle_2$ .

首先把這個態寫成產生算符作用於真空態的形式：

$|1 angle_1|0 angle_2=hat{a}_1^dagger|0 angle_1|0 angle_2$

我們要計算 $U|1 angle_1|0 angle_2=Uhat{a}_1^dagger|0 angle_1|0 angle_2$

注意到U作用在真空態上依然得到真空態（基於簡單的物理直覺：真空光場和粒子的彈性散射不產生光子。這一結論的具體的證明應該要依靠彈性散射作用的具體哈密頓作用形式）。

即 $U|0 angle_1|0 angle_2=|0 angle_1|0 angle_2$

兩邊同時左乘 $U^dagger$ ，得 $|0 angle_1|0 angle_2=U^dagger|0 angle_1|0 angle_2$

於是我們要算的東西就成了 $U|1 angle_1|0 angle_2=Uhat{a}_1^dagger|0 angle_1|0 angle_2 =Uhat{a}_1^dagger U^dagger|0 angle_1|0 angle_2$

$U^dagger hat{a}_1 U$ 就是 $hat{a}_3$ ,故有

$U^dagger hat{a}_1 U=rhat{a}_1+that{a}_2$

取厄米共軛，有 $U^dagger hat{a}^dagger_1 U=rhat{a}_1^dagger+that{a}_2^dagger$ (這裡假設r,t為實數。據說總是可以選擇適當的相位，使得r,t為實數。)

左乘 $U$ 右乘 $U^dagger$ ，得 $hat{a}^dagger_1 =rUhat{a}_1^dagger U^dagger+tUhat{a}_2^dagger U^dagger$

類似可以得到 $a_2^dagger=tUa_1^dagger U^dagger-rUa_2^dagger U^dagger$

可以解得（利用 $r^2+t^2=1$ ）,

$Uhat{a}_1^dagger U^dagger=ra_1^dagger+ta_2^dagger$

$Uhat{a}_2^dagger U^dagger=ta_1^dagger-ra_2^dagger$

終於，我們可以計算鏡子對 $|1 angle_1|0 angle_2$ 作用後得態 $U|1 angle_1|0 angle_2$ 了。 $U|1 angle_1|0 angle_2=Uhat{a}_1^dagger|0 angle_1|0 angle_2 =Uhat{a}_1^dagger U^dagger|0 angle_1|0 angle_2$

$=(ra_1^dagger+ta_2^dagger)|0 angle_1|0 angle_2$

$=r|1 angle_1|0 angle_2+t|0 angle_1|1 angle_2$

________________________________________

最後提一下，有些書的處理方法有點不一樣。他們默認態不變，變幻的是基矢量(也就是3，4方向光和1，2方向光對應不同的物理狀態。而總光場態被認為是恆定不變的)。當然兩者數學上是等效的（態關於基矢的展開係數一樣），但物理上我總覺得很奇怪....反正我不喜歡這種處理。