一些微分幾何的初步知識

02-12

在家等EAD card，閑來無聊就複習一下本科時學過的一些微分幾何。

第一節：高斯之前的古典微分幾何

高斯之前的微分幾何稱作古典微分幾何。古典微分幾何研究的不是曲面的內蘊性質。在古典微分幾何框架下，為了研究曲面，我們還需要知道曲面是如何嵌入到三維歐幾里得空間的。而且這裡的幾何僅限於三維歐幾里得空間。三維歐式空間中的曲面只有兩個自由度，於是我們只需要兩個獨立坐標, $u, v$ 就可以描述整個曲面. 曲面可以寫作 $oldsymbol{r} = oldsymbol{r}(u, v) = Big(x(u, v), y(u, v), z(u, v)Big)$ . 曲面的第一基本形式和第二基本形式為：

$ext{I} = egin{bmatrix} du & dv end{bmatrix} egin{bmatrix} E & F \ F & G end{bmatrix} egin{bmatrix} du \ dv end{bmatrix}$

$ext{II} = egin{bmatrix} du & dv end{bmatrix} egin{bmatrix} L & M \ M & N end{bmatrix} egin{bmatrix} du \ dv end{bmatrix}$

其中，

$E = oldsymbol{r}_{u}cdotoldsymbol{r}_u, F = oldsymbol{r}_{u}cdotoldsymbol{r}_v, G = oldsymbol{r}_{v}cdotoldsymbol{r}_v$

$L = oldsymbol{r}_{uu}cdotoldsymbol{n}, M = oldsymbol{r}_{uv}cdotoldsymbol{n} , N = oldsymbol{r}_{vv}cdotoldsymbol{n}$ .

用張量的符號來寫，曲面的第一基本形式和第二基本形式為:

$ext{I} = g_{alphaeta}du^{alpha}du^{eta}$

$ext{II} = b_{alphaeta}du^{alpha}du^{eta}$

其中張量元素為 $g_{alphaeta} = oldsymbol{r}_{alpha} cdot oldsymbol{r}_{eta}, b_{alphaeta} = oldsymbol{r}_{alphaeta}cdotoldsymbol{n}$ .

曲面的曲率定義為 $kappa = frac{ ext{II}}{ ext{I}}$ . 這個曲率的值依賴於 $frac{du}{dv}$ 的取值. 定義微分矢量 $delta = egin{bmatrix} du & dv end{bmatrix}^{ ext{T}}$ . 用矩陣來寫，曲率為:

$kappa = frac{delta^T mathbb{B} delta }{delta^T mathbb{G} delta}$

其中, $mathbb{G} = egin{bmatrix} E & F \ F & G end{bmatrix}, mathbb{B} = egin{bmatrix} L & M \ M & N end{bmatrix}$ .

因為曲率依賴於微分矢量 $delta = egin{bmatrix} du & dv end{bmatrix}^{ ext{T}}$ 的方向，所以當微分矢量旋轉一周時，曲率一定會取得極大值和極小值。特殊情況下，極大值與極小值相等。記曲率的極大值和極小值分別為 $kappa_1, kappa_2$ . 對曲率求梯度，得到

$frac{dkappa}{ddelta } = frac{ ext{I} imes mathbb{B}egin{bmatrix}du \ dvend{bmatrix} - ext{II} imesmathbb{G}egin{bmatrix} du \ dvend{bmatrix}}{ ext{I}^2}$

梯度為零時所對應的曲率為曲率的極值。令梯度為零，得到一個關係

$mathbb{G}^{-1}mathbb{B}egin{bmatrix} du \ dv end{bmatrix} = frac{ ext{II}}{ ext{I}} egin{bmatrix} du \ dv end{bmatrix} = kappa egin{bmatrix} du \ dv end{bmatrix}$

所以我們知道曲率的極值是矩陣 $mathbb{G}^{-1}mathbb{B}$ 的兩個本徵值。這個商 $kappa = frac{ ext{II}}{ ext{I}}$ 叫做瑞利商，這個性質正是瑞利商的性質。

現在已知如何計算曲率的極值，那麼我們就可以進一步計算曲面的高斯曲率和平均曲率。高斯曲率定義為兩個曲率極值的乘積，平均曲率定義為兩個曲率極值的和。所以高斯曲率為矩陣 $mathbb{G}^{-1}mathbb{B}$ 的行列式，平均曲率為矩陣 $mathbb{G}^{-1}mathbb{B}$ 的trace. 高斯曲率為 $kappa_{G} = ext{Det}Big(mathbb{G}^{-1}mathbb{B}Big) = frac{ ext{Det}mathbb{B}}{ ext{Det}mathbb{G} } = frac{LN - M^2}{EG - F^2}$ .

表面上看起來高斯曲率還依賴於曲面的第二基本形式，但是事實上高斯曲率僅僅依賴於曲面的第一基本形式，也就是高斯曲率是內蘊的。這就是高斯絕妙定理的內容。這個定理可以概括為，曲面的度量蘊含了彎曲的性質。

第二節：高斯之後的近代微分幾何

高斯通過絕妙定理將微分幾何從古典微分幾何時代帶入到了近代微分幾何時代。從高斯之後，數學家研究的是內蘊的微分幾何。例如在二維曲面的情況下，我們不需要知道曲面是如何嵌入到三維歐式空間的，就可以研究曲面的性質。一個被限制在二維曲面的二維生物只需貼著曲面做測量就可以知道它所生活的曲面是平直的還是彎曲的，而且還可以知道它所生活的空間的整體拓撲性質。類似的，我們人類被限制在四維的時空中，通過高斯的內蘊幾何，我們不需要，也不可能，跳出四維時空就可以知道我們生活的四維時空是平直還是彎曲的。關於判斷我們生活的時空是平直的還是彎曲的，高斯，黎曼，龐加萊都曾經考慮過，最終是愛因斯坦用黎曼幾何解決了這個問題。根據愛因斯坦，我們生活的四維時空被質量彎曲了，引力正是這種彎曲的表象。這就是廣義相對論的內容。研究內蘊微分幾何需要大量地使用張量記號，所以接下來的內容全是基於張量的。

內蘊微分幾何從研究曲面的第一基本形式和第二基本形式的相容關係開始。定義:

$oldsymbol{r}_{alphaeta} = Gamma_{alphaeta}^{xi}oldsymbol{r}_{xi} + b_{alphaeta}oldsymbol{n}$

$oldsymbol{n}_{alpha} = -b^{xi}_{alpha}oldsymbol{r}_{xi}$

因為偏微分次序可以交換，所以 $oldsymbol{r}_{alphaeta} = oldsymbol{r}_{etaalpha}, Gamma_{alphaeta}^{gamma} = Gamma_{etaalpha}^{gamma}, b_{alphaeta} = b_{etaalpha}$ . 進一步，我們有 $frac{partial^2oldsymbol{r}_{alpha}}{partial x^{eta}partial x^{gamma}} = frac{partial^2oldsymbol{r}_{alpha}}{partial x^{gamma}partial x^{eta}}$ . 也就是, $frac{partial oldsymbol{r}_{alphaeta}}{partial x^{gamma}} = frac{partial oldsymbol{r}_{alphagamma}}{partial x^{eta}}$ . 代入到上面的定義，有

$frac{partial oldsymbol{r}_{alphaeta}}{partial x^{gamma}} = frac{partial }{partial x^{gamma}} Big( Gamma_{alphaeta}^{xi} oldsymbol{r}_{xi} + b_{alphaeta}oldsymbol{n}Big) \ = frac{partialGamma_{alphaeta}^{xi}}{partial x^{gamma}}oldsymbol{r}_{xi} + Gamma_{alphaeta}^{xi}oldsymbol{r}_{xigamma} + partial_{gamma}b_{alphaeta}oldsymbol{n} + b_{alphaeta}partial_{gamma}oldsymbol{n} \ = partial_{gamma}Gamma_{alphaeta}^{xi}oldsymbol{r}_{xi} + Gamma_{alphaeta}^{xi}Gamma_{xigamma}^{eta}oldsymbol{r}_{eta} + Gamma_{alphaeta}^{xi}b_{xigamma}oldsymbol{n} + partial_{gamma}b_{alphaeta}oldsymbol{n} - b_{alphaeta}b_{gamma}^{eta}oldsymbol{r}_{eta}$

分離曲面的切向矢量和法向矢量，得到

$partial_{gamma}oldsymbol{r}_{alphaeta} = Big(partial_{gamma}Gamma_{alphaeta}^{eta} + Gamma_{alphaeta}^{xi}Gamma_{xigamma}^{eta} - b_{alphaeta}b^{eta}_{gamma}Big)oldsymbol{r}_{eta} + Big( Gamma_{alphaeta}^{xi}b_{xigamma} + partial_{gamma}b_{alphaeta}Big) oldsymbol{n}$ .

交換偏微分次序，得到

$partial_{eta}oldsymbol{r}_{alphagamma} = Big(partial_{eta}Gamma_{alphagamma}^{eta} + Gamma_{alphagamma}^{xi}Gamma_{xieta}^{eta} - b_{alphagamma}b^{eta}_{eta}Big)oldsymbol{r}_{eta} + Big( Gamma_{alphagamma}^{xi}b_{xieta} + partial_{eta}b_{alphagamma}Big) oldsymbol{n}$ .

這兩個量應該相等，於是得到兩個相容性條件:

$partial_{gamma}Gamma_{alphaeta}^{eta} + Gamma_{alphaeta}^{xi}Gamma_{xigamma}^{eta} - b_{alphaeta}b^{eta}_{gamma} = partial_{eta}Gamma_{alphagamma}^{eta} + Gamma_{alphagamma}^{xi}Gamma_{xieta}^{eta} - b_{alphagamma}b^{eta}_{eta}$

$Gamma_{alphaeta}^{xi}b_{xigamma} + partial_{gamma}b_{alphaeta} = Gamma_{alphagamma}^{xi}b_{xieta} + partial_{eta}b_{alphagamma}$

可以把條件一重新寫成:

$partial_{gamma}Gamma_{alphaeta}^{eta} - partial_{eta}Gamma_{alphagamma}^{eta} + Gamma_{alphaeta}^{xi}Gamma_{xigamma}^{eta} - Gamma_{alphagamma}^{xi}Gamma_{xieta}^{eta}= b_{alphaeta}b^{eta}_{gamma} - b_{alphagamma}b^{eta}_{eta}$

引入黎曼曲率張量，

$R_{alphaetagamma}^{eta} = partial_{gamma}Gamma_{alphaeta}^{eta} - partial_{eta}Gamma_{alphagamma}^{eta} + Gamma_{alphaeta}^{xi}Gamma_{xigamma}^{eta} - Gamma_{alphagamma}^{xi}Gamma_{xieta}^{eta}$

於是就有相容性條件的更簡潔的表達:

$R_{alphaetagamma}^{eta} = b_{alphaeta}b^{eta}_{gamma} - b_{alphagamma}b_{eta}^{eta}$

二維情形下，黎曼曲率張量只有一個獨立分量非零，就是 $R_{112}^{2}$ . 將上面的式子的指標 $eta$ 升上去，得到

$g^{etalambda}R_{alphalambdagamma}^{eta} = b_{alpha}^{eta}b_{gamma}^{eta} - b_{alphagamma}b^{etaeta}$ .

二維情況下總可以選擇坐標系，使得曲面的第一基本形式為對角型. 當 $alpha = eta = 1, gamma = eta = 2$ 時，式子的左邊為

$g^{11}R_{112}^{2} = frac{1}{E}Big( partial_{2}Gamma_{11}^{2} - partial_{1}Gamma_{12}^{2} + Gamma_{11}^{xi}Gamma_{xi2}^{2} - Gamma_{12}^{xi}Gamma_{xi 1}^{2} Big)$

式子的右邊為高斯曲率，

$b_{1}^{1}b_{2}^{2} - b_{12}b^{21} = frac{LN}{EG} = kappa_{G}$

因為式子的左邊僅僅依賴於曲面的第一基本形式，所以曲面的高斯曲率僅僅從曲面的第一基本形式就可以算出來。因此，高斯曲率是內蘊的。

第三節：測地線與測地曲率

測地線問題早在微分幾何出現之前就已經被數學家提出過。伯努利曾經提出過這樣一個問題，對三維歐式空間中間的一張曲面，從曲面上一點A到另外一點B，我們可以畫無數條曲線，這些曲線都被限制在曲面上。所有的這些曲線中，一定有一條（特殊情況下可以有很多條）的長度是最短的。那麼問題是，如何確定最短的這條曲線？

伯努利猜測這條最短的曲線，稱作短程線或者測地線，應該具有這樣的性質，那就是這條曲線上每一點處的主法向量應該平行於該點處曲面的法向量。從直覺上，我們可以這樣理解這個性質。對一張曲面，有一條光滑的繩子通過曲面上兩點。我們拉緊這條繩子，當繩子繃緊時, 我們就得到了一條短程線。因為繩子與曲面之間沒有摩擦，所以當繩子繃緊的時候，繩子與曲面之間只有法向力，沒有切向力。於是，短程線上面每一點處曲面的法向量就應該平行於曲線的主法向量，也就是短程線在曲面的切平面上不能有曲率。

A. 測地線的短程性

曲面上的一條曲線可以表示為 $oldsymbol{r} = oldsymbol{r}(s) = Big( x(s), y(s), z(s) Big)$ , 其中 $s$ 為弧長參數。曲線的微分為 $doldsymbol{r}(s) = oldsymbol{r}_{alpha}frac{dx^{alpha}}{ds}ds$ , 弧長微分為

$ds = sqrt{doldsymbol{r}cdot{doldsymbol{r}}} = sqrt{oldsymbol{r}_{alpha}cdot{oldsymbol{r}_{eta}}frac{dx^{alpha}}{ds}frac{dx^{eta}}{ds}}ds$

於是曲線的總長度為

$S = int_{s_0}^{s_1}sqrt{g_{alphaeta}frac{dx^{alpha}}{ds}frac{dx^{eta}}{ds}}ds$

總長度取極值的必要條件是 $delta S = 0$ . 求變分，得到

$delta S = int_{s_0}^{s_1}frac{deltaBig(g_{alphaeta}dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta} Big)}{2sqrt{g_{alphaeta}dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta}}}ds$

因為 $1 = g_{alphaeta}dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta}$ , 所以弧長的變分可以重新寫作

$delta S = int_{s_0}^{s_1}frac{1}{2}deltaBig(g_{alphaeta}dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta} Big)ds$ .

將積分號裡面的各項展開，得到

$deltaBig(g_{alphaeta}dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta} Big) = frac{delta g_{alphaeta}}{delta x^{gamma}}delta x^{gamma} dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta} + g_{alphaeta}delta dot{x}^{alpha} dot{x}^{eta} + g_{alphaeta} dot{x}^{alpha} delta dot{x}^{eta}$ $g_{alphaeta}delta dot{x}^{alpha} dot{x}^{eta} ds= g_{alphaeta}dot{x}^{eta}ddelta x^{alpha} = dBig(g_{alphaeta}dot{x}^{eta}delta x^{alpha} Big) - dBig(g_{alphaeta}dot{x}^{eta} Big)delta x^{alpha}$

$g_{alphaeta}dot{x}^{alpha} delta dot{x}^{eta} ds= g_{alphaeta}dot{x}^{alpha}ddelta x^{eta} = dBig(g_{alphaeta}dot{x}^{alpha}delta x^{eta} Big) - dBig(g_{alphaeta}dot{x}^{alpha} Big)delta x^{eta}$

於是弧長變分可以重新寫作

$delta S = frac{1}{2}int_{s_0}^{s_1} dsBigg(partial_{gamma}g_{alphaeta}dot{x}^{alpha}dot{eta}delta x^{gamma} - frac{d}{ds}Big(g_{alphaeta}dot{x}^{eta}Big)delta x^{alpha} - frac{d}{ds}Big(g_{alphaeta}dot{x}^{alpha} Big)delta x^{eta} Bigg) + frac{1}{2}g_{alphaeta}dot{x}^{eta}delta x^{alpha}Bigvert_{s_0}^{s_1} + frac{1}{2}g_{alphaeta}dot{x}^{alpha}delta x^{eta}Bigvert_{s_0}^{s_1}$

扔掉邊界條件，弧長變分為

$delta S = frac{1}{2} int_{s_0}^{s_1}dsBigg(partial_{gamma}g_{alphaeta}dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta} - partial_{alpha}g_{gammaeta}dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta} - partial_{eta}g_{alphagamma}dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta} - 2g_{gammalambda}ddot{x}^{lambda}Bigg)delta x^{gamma}$

因為對任意的坐標變分，弧長變分恆等零，所以積分號裡面的量恆等零.

$g_{gammalambda}ddot{x}^{lambda} - frac{1}{2}(partial_{gamma}g_{alphaeta}- partial_{alpha} g_{gammaeta} - partial_{eta}g_{alphagamma}) dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta} = 0$

或者等價地

$ddot{x}^{lambda} - frac{1}{2}g^{gammalambda}Big(partial_{gamma}g_{alphaeta} - partial_{alpha}g_{gammaeta} - partial_{eta}g_{alphagamma} Big)dot{x}^{alpha}dot{x}^{eta} = 0$

引入黎曼聯絡係數

$Gamma_{alphaeta}^{lambda} = frac{1}{2}g^{gammalambda}(partial_{alpha}g_{gammaeta} + partial_{eta}g_{alphagamma} - partial_{gamma}g_{alphaeta})$ ,

測地線微分方程可以更簡潔地寫作

$frac{d^2 x^{lambda}}{ds^2} + Gamma_{alphaeta}^{lambda}frac{dx^{alpha}}{ds}frac{dx^{eta}}{ds} = 0$

在第二節研究曲面理論的時候也引入了黎曼聯絡係數，可以證明那裡的黎曼聯絡係數跟這裡的聯絡係數是等價的。曲面論裡面的黎曼聯絡係數滿足這樣的關係：

$oldsymbol{r}_{alphaeta}cdot{oldsymbol{r}_{gamma}} = g_{xigamma}Gamma^{xi}_{alphaeta} = Gamma_{alphaeta, gamma}$

輪換指標 $alpha, eta, gamma$ ,我們得到三個式子：

$ext{I: }Gamma_{alphaeta, gamma} = oldsymbol{r}_{alphaeta}cdot{oldsymbol{r}_{gamma}} = partial_{alpha}g_{etagamma} - oldsymbol{r}_{eta} cdot{oldsymbol{r}_{alphagamma}}$

$ext{II: }Gamma_{etagamma, alpha} = oldsymbol{r}_{etagamma}cdot{oldsymbol{r}_{alpha} } = partial_{eta}g_{gammaalpha} - oldsymbol{r}_{gamma}cdot{oldsymbol{r}_{etaalpha}}$

$ext{III: } Gamma_{gammaalpha, eta} = oldsymbol{r}_{gammaalpha}cdot{oldsymbol{r}_{eta}} = partial_{gamma}g_{alphaeta} - oldsymbol{r}_{alpha}cdot{oldsymbol{r}_{gammaeta}}$

計算 $ext{I + II - III}$ , 化簡後得到

$Gamma_{alphaeta, gamma} = frac{1}{2}(partial_{alpha}g_{etagamma} + partial_{eta}g_{gammaalpha} - partial_{gamma}g_{alphaeta})$

所以只要度規張量的兩個下標對稱，兩個黎曼聯絡的定義就是等價的。

B. 測地線的另外一個等價定義--測地曲率為零

根據Frenet的活動框架理論，空間曲線的曲率向量為 $ddot{oldsymbol{r}}(s)$ . 曲率矢量的長度為曲率的大小，方向與曲線主法向量平行。根據黎曼聯絡的定義，我們有

當曲線的主法向量 $ddot{oldsymbol{r}}$ 與曲面的法向量 $oldsymbol{n}$ 平行的時候， $ddot{oldsymbol{r}}$ 不可以含有與曲面相切的成分，所以就有

$frac{d^2u^{gamma}}{ds^2} + Gamma_{alphaeta}^{gamma}frac{du^{alpha}}{ds}frac{du^{eta}}{ds} = 0$ .

這正是我們剛才用變分法求得的測地線微分方程。所以就證明了，當曲線的主法向量與曲面的法向量平行時，曲線的弧長取得極值。這就與伯努利的短程線定義相吻合，也與我們的物理學直覺相吻合，因為一條緊貼曲面的繃緊的光滑繩子不可能承受任何來自曲面的切向力。

C. 測地曲率與活動框架法

為了推導曲線的測地曲率，我們要藉助一下活動框架法。活動框架法被Cartan和陳省身引入到微分幾何領域中，這個方法與外微分相結合發揮了巨大的威力，也引領了二十世紀微分幾何的潮流，並且已經成為現代整體微分幾何研究的必備工具。在三維歐式空間裡面，在一張曲面上任意一點，我們都可以建立起一個三維正交坐標系， $oldsymbol{e}_1, oldsymbol{e}_2, oldsymbol{n}$ . 其中 $oldsymbol{e}_1, oldsymbol{e}_2$ 與曲面相切， $oldsymbol{n} = oldsymbol{e}_1 imes oldsymbol{e}_2$ . 在三維歐式空間中，我們總可以選擇曲面的坐標 $u, v$ ，使得 $oldsymbol{e}_1 = frac{oldsymbol{r}_u}{sqrt{E}}, oldsymbol{e}_2 = frac{oldsymbol{r}_v}{sqrt{G}}$ . 用活動框架的語言，曲面上一條曲線的微分可以寫作:

$frac{doldsymbol{r}}{ds} = frac{du}{ds}sqrt{E}oldsymbol{e}_1 + frac{dv}{ds}sqrt{G}oldsymbol{e}_2$ .

因為採用了弧長微分做參數，所以 $dot{oldsymbol{r}}^2 = 1$ ,於是可以令 $cos heta = frac{du}{ds}sqrt{E}, sin heta = frac{dv}{ds}sqrt{G}$ , 這裡 $heta = heta(s)$ 是一個關於弧長的函數。於是就有

$dot{oldsymbol{r}} = cos heta oldsymbol{e}_1 + sin hetaoldsymbol{e}_2$

$ddot{oldsymbol{r}} = -sin hetafrac{d heta}{ds}oldsymbol{e}_1 + cos hetafrac{doldsymbol{e}_1}{ds} + cos hetafrac{d heta}{ds} oldsymbol{e}_2 + sin hetafrac{doldsymbol{e}_2}{ds}$

因為 $oldsymbol{e}_1, oldsymbol{e}_2$ 為單位正交矢量，所以 $oldsymbol{e}_1cdotoldsymbol{e}_2 = 0, frac{doldsymbol{e}_1}{ds}cdot{e}_1 = 0, frac{doldsymbol{e}_2}{ds}cdot{oldsymbol{e}_2} = 0$ . $ddot{oldsymbol{r}}$ 在曲面的切方向上的投影為

$ddot{r}cdot{oldsymbol{e}_1} = -sin hetafrac{d heta}{ds} + sin hetafrac{doldsymbol{e}_2}{ds}cdot{oldsymbol{e}_1}$

$ddot{r}cdot{oldsymbol{e}_2} = cos hetafrac{d heta}{ds} + cos hetafrac{doldsymbol{e}_1}{ds}cdot{oldsymbol{e}_2}$

另外根據 $frac{doldsymbol{e}_1}{ds}cdotoldsymbol{e}_2 + oldsymbol{e}_1cdotfrac{doldsymbol{e}_2}{ds} = 0$ ，我們可以算出來 $ddot{oldsymbol{r}}$ 在曲面切方向的投影矢量的有向長度為

$kappa_g = frac{d heta}{ds} + frac{doldsymbol{e}_1}{ds}cdotoldsymbol{e}_2$

這個有向長度就定義為曲線的測地曲率。測地曲率為零意味著曲線的主法向量在曲面的切平面上沒有投影，也就意味著該曲線是一條測地線。聯想到平面上一條曲率為零的曲線是直線，所以曲面上的測地線就是平面上直線的推廣，而測地曲率則是平面曲線曲率的推廣。

第四節：高斯-博內公式

整體微分幾何的開端是高斯-博內公式。這個公式的內容是，在封閉曲面上對高斯曲率求積分，得到的值不依賴於封閉曲面的具體形狀，而只依賴於曲面的整體拓撲性質。假設有一個充滿氣的氣球，我們可以任意地讓這個氣球變形，只要不把氣球戳破，那麼氣球的高斯曲率的面積積分總是一個常數，等於 $4pi$ .氣球的虧格等於0，所以高斯曲率的積分等於 $4pi$ . 如果我們對一個輪胎求高斯曲率的表面積分，那麼得到的值總是等於0. 這是因為輪胎的虧格等於1. 直覺上，我們可以認為虧格就是在數曲面上洞的個數。如果我們研究的是一個抽象的流形，那麼流形上洞的個數就只能通過計算流形的 Homotopy group 來確定了。我並不懂Homotopy group. 這裡證明一下最簡單的情況下的高斯-博內公式，就是證明一下與球面 Isomorphic 的二維封閉曲面的高斯曲率的表面積分總是等於 $4pi$ .

在二維封閉曲面上畫一條封閉的曲線，這條曲線未必是光滑的，只要是分段光滑就可以。根據劉維爾公式，測地曲率可以寫作

$kappa_g = frac{d heta}{ds} + frac{doldsymbol{e}_1}{ds}cdotoldsymbol{e}_2$ .

因為

所以測地曲率為

對測地曲率求曲線積分，得到

$ointkappa_g ds = oint d heta + oint -frac{1}{2}frac{1}{sqrt{EG}}frac{partial E}{partial v} du + frac{1}{2}frac{1}{sqrt{EG}}frac{partial G}{partial u}dv$

根據Stokes公式，

$- oint -frac{1}{2}frac{1}{sqrt{EG}}frac{partial E}{partial v} du + frac{1}{2}frac{1}{sqrt{EG}}frac{partial G}{partial u}dv = iint_{Sigma}frac{-1}{sqrt{EG}}Bigg[ frac{partial}{partial v}Bigg(frac{1}{2}frac{1}{sqrt{EG}}frac{partial E}{partial v} Bigg) + frac{partial }{partial u} Bigg( frac{1}{2}frac{1}{sqrt{EG}}frac{partial G}{partial u}Bigg) Bigg]sqrt{EG}dudv$

根據高斯絕妙定理和黎曼曲率張量，當我們選擇了正交曲線坐標時，高斯曲率可以寫作

$kappa_G = frac{-1}{sqrt{EG}}Bigg[ frac{partial}{partial v}Bigg(frac{1}{2}frac{1}{sqrt{EG}}frac{partial E}{partial v} Bigg) + frac{partial }{partial u} Bigg( frac{1}{2}frac{1}{sqrt{EG}}frac{partial G}{partial u}Bigg) Bigg]$

所以，斯托克斯公式右邊的曲面積分是對高斯曲率的曲面積分。如果我們選擇的封閉曲線是由幾條測地線圍成的，那麼因為測地線的測地曲率總是為零，所以公式就可以簡化為

$oint d heta = iint_{Sigma}kappa_G dS$

公式的右邊為高斯曲率在封閉曲線內部的面積分。因為沿著曲線逆時針繞行一周時，角度總是旋轉 $2pi$ , 所以高斯積分在封閉曲線內部的面積分總是等於 $2pi$ . 如果我們沿著曲線順時針繞行一周，因為曲面是封閉的，所以我們可以將這條曲線看做是區域 $Sigma$ 外滿的那部分曲面的邊界，於是沿著 $Sigma$ 邊界順時針繞行一周可以理解為繞著 $Sigma$ 的補曲面的邊界逆時針繞行一周，於是高斯曲率在補曲面上的積分仍然是 $2pi$ .把這兩個曲面積分加起來，就可以得到高斯曲率在整個曲面上的積分等於 $4pi$ . 於是就有最簡單的情形下的高斯-博內公式:

$iintkappa_G dS = 4pi$ .

如果緊緻流形不是二維的，而是任意高維的，那麼高斯-博內公式就應該用高斯-博內-陳省身公式來代替，而高斯曲率也應該由陳省身示性類來代替。這些內容我始終也沒有弄明白過，所以微分幾何初步就到此為止。