電磁場中粒子的運動方程
這是一個略顯宏大的話題...實在懶得打太多字所以讓我們默認一些基本事實:
(1)相對論力學中,自由粒子的作用量是 ,其中積分沿著粒子在兩個特定事件間的世界線進行, 代表元間隔。
(2)帶電粒子與電磁場有相互作用,這一相互作用對應的作用量是 ,這裡的 是稱為「四維勢」的四維矢量, 代表粒子所帶電荷量,它是一個標量。
以上兩條的得到,首先是由於我們希望作用量是一個標量(從而改變坐標系的時候,物體的運動規律不發生改變,符合相對性原理);其次是基於實驗事實(比如說,在低速情形下,我們將Lagrange量對 展開並忽略高階項,希望得到的結果能夠回歸經典的分析力學)。
由此,我們知道,電磁場中電荷的作用量將會是如下形式:
四維矢量 的三個空間分量組成一個三維矢量 ,稱為「矢勢」;時間分量 稱為「標勢」。我們希望提取出Lagrange量的具體形式,因此將作用量改寫為:
從而Lagrange量為:
下面我們要求出帶電粒子在電磁場中的運動方程。藉助力學原理,運動方程就是: 。分別求導:
因此Lagrange方程具有如下形式:
矢勢對進行微分時,需要注意其微分包含兩部分——一部分對應場本身隨時間變化(偏導數 ),另一部分( )對應由於粒子位置改變而導致粒子所在處 取值的變化。代入方程,稍加化簡不難得到:
左邊是粒子動量的變化率,右邊(從經典力學的角度來看)就是粒子所受的力。我們把「力」中與粒子速度無關的部分定義為「電場力」,將與粒子速度有關的部分定義為「磁場力」。這就是場論中電場強度和磁場強度的由來。
電場強度:
磁場強度:
以上藉助最小作用量原理,變分得到了帶電粒子在電磁場中的運動方程。未來我們將會不斷看到,分析力學中的原理並不僅僅在純力學領域有用(預習場論有感...扯遠了...)。
有了粒子在電磁場中運動的方程,我們就可以針對許多特殊的情形來求解這個方程。
需要注意的是有的書可能記號或單位制與這裡用的不一樣...這種方法得到的電場強度和磁場強度量綱相同,不同於經典電磁學中的結果,不過單位制的選取其實並不是我們關注的重點。
(以上內容主要參考朗道《場論》...只是因為上學期理論力學裡恰好學過這部分內容所以才寫一下...)
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