電磁場中粒子的運動方程

這是一個略顯宏大的話題...實在懶得打太多字所以讓我們默認一些基本事實：

（1）相對論力學中，自由粒子的作用量是 ，其中積分沿著粒子在兩個特定事件間的世界線進行， 代表元間隔。

（2）帶電粒子與電磁場有相互作用，這一相互作用對應的作用量是 ，這裡的 是稱為「四維勢」的四維矢量， 代表粒子所帶電荷量，它是一個標量。

以上兩條的得到，首先是由於我們希望作用量是一個標量（從而改變坐標系的時候，物體的運動規律不發生改變，符合相對性原理）；其次是基於實驗事實（比如說，在低速情形下，我們將Lagrange量對 展開並忽略高階項，希望得到的結果能夠回歸經典的分析力學）。

由此，我們知道，電磁場中電荷的作用量將會是如下形式：

四維矢量 的三個空間分量組成一個三維矢量 ，稱為「矢勢」；時間分量 稱為「標勢」。我們希望提取出Lagrange量的具體形式，因此將作用量改寫為：

從而Lagrange量為：

下面我們要求出帶電粒子在電磁場中的運動方程。藉助力學原理，運動方程就是： 。分別求導：

因此Lagrange方程具有如下形式：

矢勢對進行微分時，需要注意其微分包含兩部分——一部分對應場本身隨時間變化（偏導數 ），另一部分（ ）對應由於粒子位置改變而導致粒子所在處 取值的變化。代入方程，稍加化簡不難得到：

左邊是粒子動量的變化率，右邊（從經典力學的角度來看）就是粒子所受的力。我們把「力」中與粒子速度無關的部分定義為「電場力」，將與粒子速度有關的部分定義為「磁場力」。這就是場論中電場強度和磁場強度的由來。

電場強度：

磁場強度：

以上藉助最小作用量原理，變分得到了帶電粒子在電磁場中的運動方程。未來我們將會不斷看到，分析力學中的原理並不僅僅在純力學領域有用（預習場論有感...扯遠了...）。

有了粒子在電磁場中運動的方程，我們就可以針對許多特殊的情形來求解這個方程。

需要注意的是有的書可能記號或單位制與這裡用的不一樣...這種方法得到的電場強度和磁場強度量綱相同，不同於經典電磁學中的結果，不過單位制的選取其實並不是我們關注的重點。

（以上內容主要參考朗道《場論》...只是因為上學期理論力學裡恰好學過這部分內容所以才寫一下...）