電磁場中粒子的運動方程

這是一個略顯宏大的話題...實在懶得打太多字所以讓我們默認一些基本事實:

(1)相對論力學中,自由粒子的作用量是 S=-mcint_{1}^{2}ds ,其中積分沿著粒子在兩個特定事件間的世界線進行, ds 代表元間隔。

(2)帶電粒子與電磁場有相互作用,這一相互作用對應的作用量是 -frac{e}{c}int_{1}^{2}A_{i}dx^{i} ,這裡的 A_{i} 是稱為「四維勢」的四維矢量, e 代表粒子所帶電荷量,它是一個標量。

以上兩條的得到,首先是由於我們希望作用量是一個標量(從而改變坐標系的時候,物體的運動規律不發生改變,符合相對性原理);其次是基於實驗事實(比如說,在低速情形下,我們將Lagrange量對 frac{v}{c} 展開並忽略高階項,希望得到的結果能夠回歸經典的分析力學)。

由此,我們知道,電磁場中電荷的作用量將會是如下形式:

S=int_{1}^{2}(-mcds-frac{e}{c}A_{i}dx^{i}).

四維矢量 A_{i} 的三個空間分量組成一個三維矢量 	extbf{A} ,稱為「矢勢」;時間分量 phi 稱為「標勢」。我們希望提取出Lagrange量的具體形式,因此將作用量改寫為:

S=int_{1}^{2}(-mc^{2}sqrt{1-frac{v^2}{c^2}} + frac{e}{c}	extbf{A}cdot 	extbf{v}-ephi )dt.

從而Lagrange量為:

L=-mc^{2}sqrt{1-frac{v^2}{c^2}} + frac{e}{c}	extbf{A}cdot 	extbf{v}-ephi.

下面我們要求出帶電粒子在電磁場中的運動方程。藉助力學原理,運動方程就是: frac{d}{dt}frac{partial L}{partial 	extbf{v}}=frac{partial L}{partial 	extbf{r}} 。分別求導:

frac{partial L}{partial 	extbf{v}}=frac{m	extbf{v}}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} + frac{e}{c}	extbf{A}=	extbf{p}+frac{e}{c}	extbf{A}.

frac{partial L}{partial 	extbf{r}}=frac{e}{c}igtriangledown(	extbf{A}cdot 	extbf{v})-eigtriangledown phi=frac{e}{c}(	extbf{v}cdot igtriangledown)	extbf{A}+frac{e}{c}	extbf{v}	imes rot	extbf{A}-eigtriangledown phi.

因此Lagrange方程具有如下形式:

frac{d}{dt}(	extbf{p}+frac{e}{c}	extbf{A})=frac{e}{c}(	extbf{v}cdot igtriangledown)	extbf{A}+frac{e}{c}	extbf{v}	imes rot	extbf{A}-eigtriangledown phi.

矢勢對進行微分時,需要注意其微分包含兩部分——一部分對應場本身隨時間變化(偏導數 frac{partial 	extbf{A}}{partial t} ),另一部分( 	extbf{v}cdot igtriangledown 	extbf{A} )對應由於粒子位置改變而導致粒子所在處 	extbf{A} 取值的變化。代入方程,稍加化簡不難得到:

frac{d	extbf{p}}{dt}=-frac{e}{c}frac{partial 	extbf{A}}{partial t}-eigtriangledownphi + frac{e}{c}	extbf{v}	imes rot	extbf{A}.

左邊是粒子動量的變化率,右邊(從經典力學的角度來看)就是粒子所受的力。我們把「力」中與粒子速度無關的部分定義為「電場力」,將與粒子速度有關的部分定義為「磁場力」。這就是場論中電場強度和磁場強度的由來。

電場強度: 	extbf{E}=-frac{1}{c}frac{partial 	extbf{A}}{partial t}-igtriangledown phi.

磁場強度:  	extbf{H}=rot	extbf{A}.

以上藉助最小作用量原理,變分得到了帶電粒子在電磁場中的運動方程。未來我們將會不斷看到,分析力學中的原理並不僅僅在純力學領域有用(預習場論有感...扯遠了...)。

有了粒子在電磁場中運動的方程,我們就可以針對許多特殊的情形來求解這個方程。

需要注意的是有的書可能記號或單位制與這裡用的不一樣...這種方法得到的電場強度和磁場強度量綱相同,不同於經典電磁學中的結果,不過單位制的選取其實並不是我們關注的重點。

(以上內容主要參考朗道《場論》...只是因為上學期理論力學裡恰好學過這部分內容所以才寫一下...)


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