Hamilton-Jacobi方程

02-12

上一篇文章中，我們介紹了正則變換。正則變換的一個重要應用是導出所謂的Hamilton-Jacobi方程。

首先我們知道，一個力學體系的作用量可以如下表示： $S=int _{1}^2 Ldt=int _{1}^2 (dot{q_{alpha}}p_{alpha}-H)dt.$ 從而我們可以得到： $frac{partial S}{partial t}+H(q,p,t)=0.$ 以及 $p_{alpha}=frac{partial S}{partial q_{alpha}}.$ 將所有廣義動量消去，可以寫出方程的最原始形式： $frac{partial S}{partial t}+H(q_{1},...q_{s},frac{partial S}{partial q_{1}},...,frac{partial S}{partial q_{s}},t)=0.$ 並且希望能夠從這個方程出發，解出S的形式（原則上是可以解出來的，只不過求解過程一般會比較複雜）： $S=f(t,q_{1},...,q_{s};alpha_{1},...,alpha_{s})+A.$ 其中 $alpha_{1},...,alpha_{s},A$ 是常數。之所以寫成這樣的形式，是由於原方程中獨立變數的數目有s+1個。

這時候，我們突發奇想：可以把 $alpha_{1},...,alpha_{s}$ 看作變數（或者更進一步，看作某種形式的廣義動量），將 $f(t,q,alpha)$ 作為生成函數，進行正則變換。我們來看一下會得到怎樣的結果。

$df(t,q,alpha)=p_{i}dq_{i} + eta_{i} dalpha_{i} +(H-H)dt.$ 妙處已經很明顯了，我們還是把偏導按部就班地寫出來： $p_{i}=frac{partial f}{partial q_{i}},eta _{i}=frac{partial f}{partial alpha_{i}}, H=H+frac{partial f}{partial t}.$

從第三個式子和 $S=f(t,q,alpha)$ 的關係可以看出 $H=0Rightarrow dot{alpha_{i}}=-frac{partial H}{partial eta_{i}}=0, dot{eta_{i}}=frac{partial H}{partial alpha_{i}}=0.$ 顯然，經過正則變換之後，新的廣義坐標、廣義動量都是不隨時間變化的常量！

鑒於 $eta _{i}=frac{partial f}{partial alpha_{i}}$ ，並且 $f(t,q,alpha)$ 的形式我們已經解出來了，考慮到新的廣義坐標、廣義動量不隨時間變化，可以把舊的廣義坐標反解出來，用時間和2s個常數表示。

至此，利用Hamilton-Jacobi方程解決問題的基本步驟就完成了。這一過程當中，比較困難的一步顯然是求S（只要求得了作用量的函數形式，後面的步驟都順理成章）。為了簡化方程 $frac{partial S}{partial t}+H(q_{1},...q_{s},frac{partial S}{partial q_{1}},...,frac{partial S}{partial q_{s}},t)=0$ 的求解過程，我們可以採用「分離變數法」，具體過程如下：

如果某一個廣義坐標（記作 $q_{1}$ ）和它的導數在方程中總是「結對出現「，也就是說，總是以函數 $phi(q_{1},frac{partial S}{partial q_{1}})$ 的形式出現： $Phi{ q_{i}, t, frac{partial S}{partial q_{i}}, frac{partial S}{partial t},phi(q_{1},frac{partial S}{partial q_{1}}) }=0.$ 這時我們可以直接分離變數：設解 $S=S(q_{i},t)+S_{1}(q_{1}).$ 方程變為： $Phi{ q_{i}, t, frac{partial S}{partial q_{i}}, frac{partial S}{partial t},phi(q_{1},frac{partial S_{1}}{partial q_{1}}) }=0.$ 進而可以實現變數的分離： $Phi{ q_{i}, t, frac{partial S}{partial q_{i}}, frac{partial S}{partial t},alpha_{1}}=0.$ 和 $phi(q_{1},frac{partial S_{1}}{partial q_{1}})=alpha_{1}.$ 簡化了方程！

下面我們看一個具體的栗子。

在重力場中拋出質點，廣義坐標取為x,y（g沿-y方向），用Hamilton-Jacobi方程解質點的運動。

首先寫出Hamilton量： $H=mgy+frac{1}{2m}[(frac{partial S}{partial x})^2 + (frac{partial S}{partial y})^2].$

對應的方程是： $frac{partial S}{partial t}+[mgy+frac{1}{2m}(frac{partial S}{partial y})^2] +frac{1}{2m} (frac{partial S}{partial x})^2=0.$ 第一次分離： $S=S+S_{1}(y)Rightarrow mgy+frac{1}{2m}(frac{partial S_{1}}{partial y})^2=alpha_{1}, frac{partial S}{partial t} +alpha_{1} + frac{1}{2m}(frac{partial S}{partial x})^2=0.$

第二次分離： $S=S+S_{2}(x)Rightarrow frac{1}{2m}(frac{partial S_{2}}{partial x})^2=alpha_{2}, frac{partial S}{partial t} +alpha_{1} + alpha_{2}=0.$

考慮到 $alpha_{1}, alpha_{2}$ 都是常量，可以通過簡單的積分解出： $S(x,y,t)=-frac{2}{3g}sqrt{frac{2}{m}}(alpha_{1}-mgy)^frac{3}{2} + sqrt{2malpha_{2}}x-(alpha_{1}+alpha_{2})t+A.$ 再求導計算 $eta$ 就可以得到： $eta_{1}=frac{partial S}{partial alpha_{1}}=-frac{1}{g}sqrt{frac{2}{m}}( alpha_{1}-mgy )^frac{1}{2}-t.$ 以及 $eta_{2}=frac{partial S}{partial alpha_{2}}=frac{mx}{sqrt{2malpha_{2}}}-t.$

求解運動，希望知道廣義坐標隨時間的變化關係。從 $eta_{1}, eta_{2}$ 的表達式反解x和y得到：

$x=(eta_{2}+t)sqrt{frac{2alpha_{2}}{m}}, y=frac{alpha_{1}}{mg}-frac{g}{2}(eta_{1}+t)^2.$ 至此問題還沒有結束——要求得完整的解，還需要將參數 $alpha,eta$ 用初始條件 $x_{0},y_{0},v_{x0},v_{y0}$ 表示。最終得到的結果應當與直接用牛二定律計算出的結果完全相同（這部分計算很簡單就不寫了...）。

值得說明的是，求解力學問題時，Hamilton-Jacobi方程與基於Hamilton量的Hamilton正則方程、基於Lagrange量的Lagrange方程是完全等價的。正如大家所見，解Hamilton-Jacobi方程的過程往往顯得比較繁雜。為了簡化方程，往往需要分離變數，從而在描述力學問題時，根據問題本身的特性選取合適的坐標是十分關鍵的。